Transcript Synchronisation - physics (Johannes Dörr)

Synchronisation
Vortrag von Johannes Dörr und Thomas Wanschik
Fachpraktikum Nichtlineare Dynamik, Universität Göttingen
Was ist Synchronisation?
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Beispiele
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Metronome
Orgelpfeifen
Glühwürmchen
Millennium Bridge
Tagesrhythmus
Gegenbeispiel
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Wolf-Hase-System
Globale Synchronisation (all-to-all)
Einseitige Synchronisation (Master/Slave)
Was ist Synchronisation?

Voraussetzungen
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Selbsterregte Schwingungen
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Dissipation
Stabilität, Nichtlinearität
Keine zu starke Kopplung

Gegenbeispiel:
Was ist Synchronisation?
Relevante Größen

Phase
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

frei bei selbsterregten Schwingungen
Anschaulich: Schiefe Ebene
Amplitude


Stabil
Anschaulich: Minimum
Was ist Synchronisation?
Relevante Größen

Frequenzen




0(1) , 0( 2) , ...
Eigenfrequenzen (ohne Kopplung):
Frequenzdifferenz:   0(1)  0( 2)
Beobachtete Frequenz (mit Kopplung):
(1) , ( 2) , ...
Definition von Synchronisation
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
„Feste“ Phasendifferenz (Phase Locking)
„Festes“ Frequenzverhältnis (Frequency Locking)
Einseitige Synchronisation

Mathematische Beschreibung:
klein
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dx
 f (x)   p(x, t ), x  ( x1 , x2 , ..., xM )
dt
Externe Kraft

Periodische, externe Kraft mit Periodendauer T
Einseitige Synchronisation
Definition der Phase


Problem: System nie genau auf Limit Cycle
Lösung: Isochronen definieren Phase an jedem Ort
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x(t )  x(t  T0 )  (x)
I ( (x*))  {x | lim  ( n ) (x)  x *  0}
n 

d (x)
 0
Eigenfrequenz:
dt
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik

Man erhält für Änderung der Phase:

d
 0   Q( , t )
dt
2π-periodisch, T-periodisch

Es folgt für die Phasendifferenz:

d
    q( ) mit00    0 ,      t
dt
2π-periodisch
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik

Einfachster Fall: Störung q Sinus-förmig

Adler-Gleichung:
d
    sin
dt
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik

d
    q( )
dt

Wenn gilt:  qmin     qmax

Phasendifferenz wird konstant (Phase Locking)
  0
stabil
instabil
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
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Arnold-Zunge
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
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Übergang zur Synchronisation

Beat Frequency:
    
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
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Vorstellung als Potential
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Ohne Kopplung
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Synchronisation
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Kopplung zu schwach
Synchronisation höherer Ordnung
Stroboskopische Beobachtung
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
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Bisher: Synchronisation auf selbe Frequenz
Auch möglich: rationales Verhältnis
Betrachtung: Stroboskopisch
n1  n  0 T   F (n )
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Zeitintervall wie Periode T des antreibenden Systems
Synchronisation höherer Ordnung

Impulsanregung
Synchronisation höherer Ordnung

Arnoldzungen für höhere Ordnungen
Synchronisation höherer Ordnung
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„Teufelstreppe“
Synchronisation höherer Ordnung
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Genauere Definition von Synchronisation
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Frequency Locking:

Phase Locking:
n  m
nt  m  const.
Globale Synchronisation
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Eigenschaften
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Oszillatoren „einigen“ sich auf gemeinsame Frequenz
Quenching möglich: „Tod der Oszillationen“
Globale Synchronisation
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Kuramoto-Modell
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Für zwei Oszillatoren:
dx (1)
dx ( 2)
(1)
(1)
(1)
(1)
( 2)
 f (x )   p (x , x ),
 f ( 2) (x ( 2) )   p ( 2) (x ( 2) , x (1) )
dt
dt

Änderung der Phase für N Oszillatoren:
dk
 N
 k   sin( j  k )
dt
N j 1
Globale Synchronisation
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Änderung der Phase bei N Oszillatoren ergibt sich zu:
dk
 k   K sin(   k )
dt
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Oszillator wird von einem „mittlerem Feld“ getrieben
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
Mittlere Amplitude:
Mittlere Phase: 
K
Chaotische Oszillatoren
Phasensynchronisation
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Problem: Wie führen wir die Periodendauer ein?
0  2N ( ) / 
Chaotische Oszillatoren
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Ähnelt einem Oszillator überlagert mit Rauschen
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Potentialbild:
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Kraft darf nicht zu groß aber auch nicht zu klein sein!
Chaotische Oszillatoren
Complete Synchronization

Betrachte zwei identische Systeme
x  x i
1
i
2
i