Transcript 11. Wellenlehre

11. Wellenlehre
11.1 Harmonische Wellen
Definition: Gebilde, die harmonische Schwingungen ausführen
können, bezeichnet man als harmonische Oszillatoren.
Kopplung gleichartiger harmonischer Oszillatoren durch
Kopplungskräfte:
Versuch mit Wellenmaschine:
x-Richtung
y-Richtung
Hin und Herbew egen
Kapitel 11 - Wellen
Die einzelnen
Oszillatoren führen, um
einen bestimmten
Zeitabschnitt
verschoben, gleiche
Schwingungen aus.
Wir verwenden wieder die übliche mathematische Orientierung:
y
y .... Schwingungsrichtung des
einzelnen Oszillators.
x
x .... Fortpflanzungsrichtung
der Schwingungsbewegung.
Eine Welle entsteht, wenn eine Reihe gekoppelter Oszillatoren
nacheinander gleichartige Schwingungen ausführt.
Wir unterscheiden:
Transversalwelle: Die Schwingungsrichtung (der Oszillatoren) steht
normal auf die Fortpflanzungsrichtung.
Longitudinalwelle: Die Schwingungsrichtung (der Oszillatoren) steht
parallel zur Fortpflanzungsrichtung.
Kapitel 11 - Wellen
Beispiel für Transversalwellen: Wellenmaschine.
Beispiel für Longitudinalwellen: Schallwellen in Luft.
Begriffe:
Amplitude der Welle =
Schwingungsdauer der Welle
Frequenz der Welle
=
Elongation der Welle =
Amplitude des Oszillators
= Schwingungsdauer des Oszillators
Frequenz des Oszillators
Elongation des Oszillators
Neue Begriffe:
Versuch:
Langsames Hin- und Herbewegen des ersten
Oszillators:
Schnelles Hin- und Herbewegen des ersten
Oszillators:
Ergebnis: Die Entfernung zweier Wellenberge ändert sich.
Kapitel 11 - Wellen
y
λ ... Wellenlänge

x

= Abstand zweier Wellenberge, bzw.
Abstand zweier benachbarter gleichartiger
Schwingungszustände.
bei Longitudinalwellen: Abstand zweier Verdichtungen.
Grundgleichung der Wellenlehre:
c
  cT 
f
c … Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle.
Beachte: c ≠ v (v .... Geschwindigkeit des Oszillators)
Kapitel 11 - Wellen
11.1.1 Mathematische Behandlung der Wellenbewegung:
Ausgangspunkt: harmonische Schwingung: y = y0·sin t
Im Ort x beginnt die Schwingung
um die Zeit tx später.
x
x
x = c.tx
y
für Ort x = 0:
Ort :x=0
y  y0  sin t
t
y
für den Ort x:
Ort: x
t
tx
x
t x= c
y  y0  sin[(t  t x )]
x
y  y 0  sin[ ( t  )]
c
y  y 0  sin[ 2(
Kapitel 11 - Wellen
t
x

)]
T cT
wir setzen :
ω = 2π/T
y  y 0  sin[ 2(
t
x

)]
T cT
t x
y  y 0  sin[ 2(  )]
T 
Wellengleichung:
t
T
x
Dabei gibt
die zeitliche Periodizität,
die räumliche

Periodizität an.
Diskussion:
• für x = konst. : Jeder Schwingungszustand an der Stelle x
kann berechnet werden. Videokamera mit Schlitzblende.
• für t = konst. : Für einen bestimmten Zeitpunkt wird eine
räumliche Aufnahme gemacht. (Schnappschuss mit Fotoapparat).
Kapitel 11 - Wellen
Aufgabe: Mache für die Zeitpunkte: t = 0 s; t = T/8 s; t = T/4 s;
t = 3T/8 s; ... 7T/8 s; t = T s Momentaufnahmen an den Orten
x = 0; x = 1 cm; x = 2 cm; ... x = 8 cm
0
c=8 cm/s; T = 1 s; y0 = 1 cm
Damit ergibt sich als Wellengleichung:
t x
y  1 sin[ 2(  )]
1 8
T
8
T
4
3T
8
T
2
5T
8
3T
4
7T
8
T
Kapitel 11 - Wellen
Entstehung einer Welle
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t x
y  1 sin[ 2(  )]
1 8
T
8
Zeitpunkte
T
4
3T
8
T
2
5T
8
3T
4
7T
8
T
Ort
λ = c∙T
Kapitel 11 - Wellen
Kapitel 11 - Wellen
11.1.2 Überlagerung von Wellen:
Versuch: Mit einer Installationsfeder erzeugen wir am einen Ende eine
waagrechte Querstörung, mit dem anderen eine senkrechte
Querstörung. Etwa in der Mitte treffen sich die beiden.
Zwei Wellen laufen übereinander
hinweg ohne sich gegenseitig zu
beeinflussen.
An der Überlagerungsstelle
erhält man die Elongation der
resultierenden Welle durch
vektorielle Addition der El. der
Einzelwellen.
Kapitel 11 - Wellen
Begriffe:
Schwingungsebene einer Transversalwelle: = Ebene, die von der
Schwingungsrichtung und der Fortpflanzungsrichtung festgelegt ist.
Gangunterschied zweier harmon. Wellen mit gleicher Wellenlänge:
= Abstand, um den die erste Welle vor der zweiten herläuft.
Beispiel: Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit gleicher
Schwingungsebene:
b) Gangunterschied d = λ/2
a) Gangunterschied d = 0
y1
y1
x
x
y2
y2
x
x
y
y
x
x
Konstruktive Interferenz
( Verstärkung )
Kapitel 11 - Wellen
Destruktive Interferenz
( Auslöschung )
Die Schwebung:
Versuch:
Zwei Stimmgabeln, von denen die eine leicht verstimmt ist anschlagen.
Mit Mikrophon und Oszillograph aufzeichnen ( Coach6-Versuch).
Ergebnis: Wir hören Lautstärkeschwankungen.
Eine Schwebung tritt auf, wenn sich zwei Wellen mit
"benachbarten" Frequenzen überlagern.
Kapitel 11 - Wellen
Die Schwebung:
8Hz
9Hz
Kapitel 11 - Wellen
Mathematische Behandlung:
Wir halten einen Ort x fest und können daher nur die Schwingungen an
diesem Ort betrachten.
Weitere Vereinfachung: die beiden Amplituden seien gleich groß y0.
Einzelschwingungen:
y1  y0  sin 1t
y 2  y0  sin 2 t
y  y1  y2  y0  sin1t  y0  sin2t  y0  (sin1t  sin2t)
Zweiter Summensatz:
sin   sin   2  cos(
 (  2 )t 
 (1  2 )t 
y  2y 0  cos 1

sin



2
2




Bewirkt
Amplitudenschwankung


)  cos(
)
2
2
Schwebungsgleichung
bewirkt die Tonhöhe des gehörten Tones
( Mittelwert der Frequenzen der
Einzeltöne.
Die Schwebungsfrequenz errechnet sich aus:
Kapitel 11 - Wellen
fS  f1  f2
Anwendung der Schwebung:
Stimmen von Musikinstrumenten
Reine Schwebung, wenn die Amplituden der beiden Tonerzeuger
gleich groß sind, sonst unreine Schwebung.
Kapitel 11 - Wellen
11.1.3 Fourier-Analyse
Jede Welle lässt sich eindeutig aus harmonischen Wellen
zusammensetzen.
f(x) =
A0 + A1 sinx + A2 sin2x + A3 sin3x + ....
+ B1 cosx + B2 cos2x + B3 cos3x + ...
x ... Grundfrequenz
2x, 3x, 4x, .... Oberfrequenzen
y
Zerlege die Rechteckwelle in
eine Summe harmonischer
Wellen!
Kapitel 11 - Wellen
x
y  cos x
y  cos x 
y  cos x 
Kapitel 11 - Wellen
1
cos 3x
3
1
1
cos 3x  cos 5x
3
5
11.2 Reflexion von Wellen
Versuch:
Mit Installationsfeder Störung von einem Ende zum anderen schicken.
1. festes Ende:
Wellenberg wird als Wellental reflektiert
und umgekehrt.
Es tritt ein Phasensprung auf.
Ist das Ende befestigt, kann das letzte Teilchen der
Feder keine Schwingung senkrecht zur Feder
ausführen. Kommt also ein Wellenberg an, so führen
bereits die vorletzten Teilchen die ihnen nach oben
erteilte Schwingung nicht voll aus, denn das feste Ende
übt einen Zug nach unten auf sie aus, durch den sie
einen Bewegungsantrieb nach unten erfahren.
→ Wellental.
Kapitel 11 - Wellen
2. loses Ende:
Wellenberg wird als Wellenberg
reflektiert.
Kein Phasensprung.
Ist das Ende lose, kann das letzte Teilchen
der Feder die Schwingung senkrecht zur
Feder voll ausführen. So als ob man diesem
Teilchen eine ruckartige Bewegung nach
oben erteilt hätte, die als Wellenberg
zurückwandert.
Kapitel 11 - Wellen
11.3 Stehende Wellen
Entstehung stehender Wellen
t=0
Eine Welle kommt von links,
die andere von rechts. Die
beiden überlagern sich.
T
t
4
Situation wie in einem
begrenzten Medium.
tT
2
t  3T
4
t T
K
K
B
K
B
K
B
Kapitel 11 - Wellen
Erkenntnis: Stehende Wellen
entstehen nur in begrenzten
Medien, wenn sich die Welle
und die an der Mediengrenze
reflektierte Welle überlagern.
Es können sich dabei nur
Wellen mit bestimmten
Frequenzen
(Eigenfrequenzen) ausbilden.
Führe folgende Schülerversuche zur stehenden Welle aus:
11.3.1. Stehende Transversalwelle
Erregermotor wird an den
Funktionsgenerator angeschlossen.
(Sinus; x10; Amplitude ca. 0,5)
Frequenz langsam steigern, bis der
Gummifaden in der Mitte besonders stark
schwingt.
Kapitel 11 - Wellen
Länge l
f 1 = ....
f 2 = ....
Überprüfe die Ergebnisse
mit folgender Berechnung:
Abstand zweier Knoten
beträgt λ/2.
l
f 3 = ....
fn  n 
c
2l

2
und
c
2l

Zu f2: l  2  2
2
Frequenzen der
stehenden Welle
Kapitel 11 - Wellen

c

f
f1 

c
f2  2 
2l
Länge l
f1 =
f2 =
Überprüfe die Ergebnisse
mit folgender Berechnung:
Abstand zweier Knoten
beträgt λ/2.
f3 =
l
f4 =
fn  n 
c
2l

2
und
c
2l

Zu f2: l  2  2
2
Frequenzen der
stehenden Welle
Kapitel 11 - Wellen

c

f
f1 

c
f2  2 
2l
Seilwellen
Seilschwingungsgerät
c=1·f1
f1 =
1=2·l
c
2l
f2=2·f1
f3=3·f1
f4=4·f1
Kapitel 11 - Wellen
11.3.2 Stehende Longitudinalwelle
Der Hebel des Schwingungserregers
wird mit einem Gummi waagrecht
gespannt, die Schraubenfeder wird in
diesem Hebel eingehängt.
Verändere die Frequenz so, dass
eine stehende Longitudinalwelle
entsteht!
Auch hier ist zu erkennen, dass sich
nur bei ganz bestimmten Frequenzen
stehende Wellen ausbilden.
Kapitel 11 - Wellen
Beispiele für stehende Wellen:
Saiten bei Saiteninstrumenten
Hier gilt eine empirische Formel:
1
F
f 
2l   A
l ... Länge der Saite
F ... Spannkraft
ρ ...Dichte des Saitenmaterials
A ... Querschnitt des Saitenmat.
Kapitel 11 - Wellen
11.3.3 Stehende Wellen in Luftsäulen:
Versuch:
Der Kolben wird so lange
verschoben, bis ein lauter
Ton hörbar ist.
l
1. Ergebnis: l = 19 cm
2. Ergebnis: l = 57 cm (also das dreifache)
Am festen Ende ist stets ein Knoten, am offenen ein Bauch.
Daher ist das erste Ereignis folgendermaßen anzugeben:
l

4
c
l
4f
Daraus lässt sich die Schallgeschwindigkeit in Luft berechnen:
c = 4·l·f
c = 4·0,19·440 = 334,4m/s
Kapitel 11 - Wellen
Gedeckte und offene Pfeifen
c
Frequenz bei gedeckter Pfeife:
f
Frequenz bei offener Pfeife:
f 
4l
 (2k  1)
c
k
2l
Funktion der Zungenpfeife: Die Zunge schwingt mit ihrer
Eigenfrequenz und regt dadurch die Luftsäule zu periodischen
Schwingungen an.
Beispiele: Mundharmonika, Oboe, Fagott, Klarinette
Kapitel 11 - Wellen
Funktion der Lippenpfeife: Die Luft wird durch den Spalt gegen die
Lippe geblasen. Die Luftwirbel dringen teilweise in die Pfeife ein
und bringen die Luftsäule zum Schwingen. Die Schwingungen
steuern nun die Wirbelablösung periodisch.
Kapitel 11 - Wellen
Offene Pfeifen
Gedeckte Pfeifen
Offene und gedeckte Pfeifen
c
4 l
c
f1 =
2l
f1 =
f2=2·f1
f2=3·f1
f3=3·f1
f3=5·f1
f4=4·f1
f4=7·f1
Kapitel 11 - Wellen
Ende
Orgel
Kapitel 11 - Wellen
11. 4 Ausbreitung von Wellen
11.4.1 Huygenssches Prinzip
Dabei geht es um ein Modell zur Ausbreitung von Wellen.
Wellenfläche
Wellenstrahl
Ein sich periodisch bewegender Stift erregt
konzentrische Wellen.
Da sie von einem Punkt ausgehen werden sie
Elementarwellen bezeichnet.
Die Punkte gleicher Schwingungsphase werden als Wellenflächen
bezeichnet.
Kapitel 11 - Wellen
Wellenvorgänge
Kapitel 11 - Wellen
Versuche:
Bei beiden Versuchen:
Die Öffnung wird zum
Ausgangspunkt einer
Elementarwelle.
Huygenssches Prinzip:
Jeder Punkt einer Wellenfläche ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle.
Die Einhüllende der Elementarwelle ergibt eine neue Wellenfläche.
Wellenfläche
Kapitel 11 - Wellen
11.4.2 Reflexion von Wellen:
C" CAA"
Die Dreiecke ACC"
und C"A"A sind
ähnlich.
Da sogar die Strecken gleich lang sind, sind sie kongruent und daher:
α = α´
Reflexionsgesetz
Einfallender und reflektierter Wellenstrahl schließen mit der Normale zur
Wand gleiche Winkel ein. Einfallender und reflektierter Wellenstrahl liegen
mit der Normalen in einer Ebene.
Kapitel 11 - Wellen
11.4.3 Brechung von Wellen
Ein Modell wäre: Auto kommt mit der
einen Seite aufs Bankett, dadurch wird es
auf einer Seite abgebremst, es erfährt eine
Richtungsänderung.
c1·t
sin  c1  t

 n1,2
sin
c2  t
c
1 t
sin  
AC"
c
2t
sin  
AC"
Brechungsgesetz von Snellius
Kapitel 11 - Wellen
11.4.4 Interferenz von Wellen
Versuch mit Wellenwanne:
Zwei punktförmige Erreger schwingen gleichphasig.
Kapitel 11 - Wellen
Ergebnis: Wo zwei Wellenberge,
bzw. zwei Täler zusammentreffen,
kommt es zur Verstärkung.
Konfokale Hyperbeln
Verstärkung:
s  F1P  F2 P  i  
Auslöschung: s  F1P  F2 P  (2i  1) 
i N

2
i N
Zwei gleichartig erregte Wellen löschen einander im Punkt P aus,
wenn ihr Gangunterschied ein ungerades Vielfaches der halben
Wellenlänge ist. Sie verstärken sich, wenn ihr Gangunterschied ein
Vielfaches der Wellenlänge ist.
Dasselbe Ergebnis wird erzielt, wenn statt der zwei Erreger zwei Spalte
11 - Wellen
verwendet werden, auf die von Kapitel
der einen
Seite eine ebene Welle läuft.
11.4.5 Beugung von Wellen
Versuch mit Wellenwanne: Verschieden breite Spalte.
Ergebnis: Hinter dem
Spalt ist kein scharf
begrenzter Schattenraum.
Die Abweichung von der
geradlinigen Ausbreitung
nennt man Beugung.
Dabei kommt es auf das Verhältnis zwischen Wellenlänge und
Spaltöffnung (Hindernisgröße) an.
Beugungsbedingung:
d
Kapitel 11 - Wellen
Beispiel:
Schallwellen:
Versuch: Man kann um die Ecke herum hören, aber nicht sehen.
Berechne die Wellenlänge für Schallwellen für 100Hz, 1000Hz,
3000Hz
Erkenntnis: bei höheren Frequenzen haben wir Richtwirkung.
Wichtig bei Beschallung: (Kalottenhochtöner)
Kapitel 11 - Wellen
11.5 Akustik
Schallwellen sind in Gasen und in Flüssigkeiten Longitudinalwellen.
In festen Körpern treten wegen der Kopplungskräfte auch
Transversalwellen auf.
Die Schallgeschwindigkeit hängt vom Medium ab.
Medium
Schallgeschwindigkeit
Luft bei 0°C
331m/s
Luft bei 20°C
343m/s
Wasserstoff
1300m/s
Wasser
1485m/s
Kapitel 11 - Wellen
Kapitel 11 - Wellen
Versuch mit Lochsirene:
Luft
32
24
20
16
Bläst man nur eine Reihe an und
erhöht die Winkelgeschwindigkeit, so
wird der Ton höher.
Die Tonhöhe wird durch die Frequenz
der Schallwelle festgelegt.
Bläst man alle vier Lochreihen an, so hört man eine bestimmte
Tonfolge (Dreiklang + Oktave). Die Charakteristik dieser Tonfolge
ändert sich auch bei Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit nicht.
Das Intervall zweier Töne wird durch das Frequenzverhältnis festgelegt.
Kapitel 11 - Wellen
Festlegung des Kammertones a':
f(a') = 440Hz
Dur-Tonleiter
c'
d'
e'
f'
g'
a'
h'
c"
264
297
330
352
396
440
495
528
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
2
10/9
16/15
9/8
10/9
9/8
16/15
Bei der Violine ergeben sich für die beiden Töne des und cis
verschiedene Frequenzen. Beim Klavier ist das nicht möglich.
→ temperierte Stimmung. Man unterteilt die Oktave in 12
gleichwertige Halbtonschritte.
Das Frequenzverhältnis zweier Halbtonschritte beträgt q = 12 2 = 1,05946...
c'
d'
e'
f'
g'
a'
h'
c"
262
294
330
349
392
440
494
523
q²
q²
q
q²
Kapitel 11 - Wellen
q²
q²
q
Frequenzspektrum:
11.5.1 Begriffe
y
Ton: wird durch eine sinusförmige
Schwingung erzeugt.
f
Klang: Ist eine beliebige nicht sinusförmige
periodische Schwingung. Nach Fourier ist
sie zerlegbar in eine Summe von
harmonischen Tönen. Die Frequenzen
dieser Töne verhalten sich zueinander
ganzzahlig.
y
f
Analyse eines Klanges: Mikrophon und Filter.
Vgl. Versuche zu Fourier
Frühere Methode: Helmholtzsche Resonatoren.
(Bei Erregerfrequenz = Eigenfrequenz ist die Empfindung am größten.
Kapitel 11 - Wellen
Frequenzspektrum:
Geräusch: Die enthaltenen Frequenzen
unterliegen keiner Gesetzmäßigkeit.
Unperiodischer Vorgang.
y
Knall: enthält kurzzeitig alle
Frequenzen eines großen Bereichs
f
Schallarten:
Infraschall: <16Hz ; tritt bei Erdbeben, bei fahrenden Autos mit
leicht geöffnetem Fenster auf. (sehr unangenehm)
Hörschall: 16Hz - 20kHz (= Hörbereich des Menschen; obere
Grenze nimmt mit dem Alter ab.
Versuch: Hörbereich testen.
Kapitel 11 - Wellen
(vgl. Basiswissen 6RG
Abb. 100.4)
Kapitel 11 - Wellen
20 – 20.000 Hz
Schallwahrnehmung und -erzeugung
85 – 1.100 Hz
30 – 4.100 Hz
15 – 40.000 Hz
450 – 1000
250 – 21.000 Hz
2.000 – 13.000 Hz
400 – 200.000 Hz
50–150kHz
2.000 – 150.000 Hz
10.000 – 120.000 HZ
101
102
103
104
Kapitel 11 - Wellen
Schallwahrnehmung
Schallerzeugung
105
Hz
Ultraschall: > 20kHz
Erzeugung mit Galtonpfeife;
Inverser piezoelektrischer Effekt;
Magnetostriktion (Längenänderung von Nickel bei Anlegen eines
wechselnden Magnetfeldes)
Lies dazu B. S. 89
Kapitel 11 - Wellen
Piezoeffekt
Piezoeffekt
Deformation erzeugt
Eine angelegte Spannung
Kapitel 11 - Wellen
Spannung.
bewirkt eine Deformation.
Titel: Ultraschall
Kapitel 11 - Wellen
Materialprüfung
Materialkontrolle
PVC-Rohr
PVC-Rohr mit einer Fehlstelle
Frequenz 5MHz,
Signalgeschwindigkeit ca. 2000m/s
Kapitel 11 - Wellen
Ultraschallreinigung
Ultraschallreinigung
In den Ultra Clean®-Reinigungsanlagen erzeugen Hochleistungs HFGeneratoren über PZT-Schwinger mikroskopisch kleine
Kavitationsblasen in der wässrigen Reinigungsflüssigkeit.
Im Inneren der Kavitationsblasen entsteht für Mikrosekunden ein
extremes Vakuum und Temperaturen bis zu 5000 °C.
Bei der anschließenden Implosion der Kavitationsblase werden
gewaltige Energien freigesetzt. Diese wirken wie Billionen Mikrobürsten,
die bis zu 40.000 mal pro Sekunde das Reinigungsgut bearbeiten.
Eine vielfach vergrößerte
Kavitationsblase im Moment
ihrer Implosion.
Kapitel 11 - Wellen
Ultraschall-Untersuchung
bei Schwangeren
Untersuchung
Kapitel 11 - Wellen
12 und 17 Wochen
12 Wochen (5cm)
17 Wochen (10cm)
Kapitel 11 - Wellen
20 Wochen – Herz
20 Wochen
Fuß
Daumenlutscher
Rückgrat
erhobener
Zeigefinger
Kapitel 11 - Wellen
Herz
Zwillinge
Ultraschall Doppler
Ultraschall Doppler
 Objekt bewegt sich auf Welle zu
 Frequenz erhöht sich
 Objekt entfernt sich von der Welle
 Frequenz vermindert sich
Kapitel 11 - Wellen
Nabelschnur
Ende
11.5.2 Empfindlichkeit des menschlichen Gehörs:
Schallstärke ist jene Energie, die je Sekunde in senkrechter
Richtung durch 1 Quadratmeter tritt.
Der Schwellenwert liegt bei 10-12 W/m².
Die Schallstärke ist ein absolutes Maß. Da die Schallstärke von
Schallereignissen sich über mehrere Zehnerpotenzen erstreckt, wird
ein relatives Maß eingeführt. (Man kommt zu handlichen Zahlen.
Schallpegel
L  10  log

 
I mW2
I0  10 12
W
m2

L ist das Verhältnis der Schallstärke zur Bezugsschallstärke.
Maß von [L] 1 DeziBel ( 1 dB)
Die Unterscheidungsmöglichkeit des menschlichen Gehörs
beträgt etwa 1dB.
Kapitel 11 - Wellen
Nachteil:
Die Empfindlichkeit des menschlichen Gehörs ist frequenzabhängig.
Es ist bei 4000Hz am empfindlichsten, bei sehr tiefen und sehr hohen
Frequenzen sehr unempfindlich.
Daher führt man eine weitere Größe ein, die diese Eigenschaft
berücksichtigt.
Lautstärke  ist gleich dem Schallpegel, bezogen auf einen
1000Hz Ton.
Einheit: 1 phon (oder 1 dBA)
Dies führt zu Kurven gleicher Lautstärke. (Durch empirische
Messungen ermittelt.)
Kapitel 11 - Wellen
Kurven gleicher Lautstärke
Kapitel 11 - Wellen
Hörkurven
Kapitel 11 - Wellen
Stereohören
Kapitel 11 - Wellen
Knallkörper
Düsentriebwerk
Schallpegel
140 dB
Schädigung
Rockkonzert
120 dB
Schmerzschwelle
Walkman
100 dB
Flugzeugstart
Presslufthammer
Verkehrslärm
Unterhaltung
80 dB
Gefährdung
60 dB
40 dB
20 dB
Flüstern
Kapitel 11 - Wellen
Hörschwelle
Ende
Beispiel:
Ein Moped hat eine Lautstärke von 80 dBA. 15 Schüler einer
Klasse kommen gleichzeitig mit einem Moped zu einer Party.
Berechne die Lautstärke aller Mopeds zusammen!
I
L  10  log
I0
I
80  10  log 12
10
108 
I
10 12
15 Mopeds ergeben:
: 10
I  104 Wm2
15·I = 15·10-4 = 1,5·10-3 Wm-2
Wir setzen ein:
1,5  103
L15  10  log
 10  log(1,5  109 )  10  (log1,5  9)  91,8 dBA
12
10
Kapitel 11 - Wellen
11.6 Der Dopplereffekt
Christian Doppler
(1803 – 1853)
Kapitel 11 - Wellen
11.6 Der Dopplereffekt
Kann bei vorbeifahrenden Fahrzeugen gehört werden.
Wir unterscheiden 2 Fälle:
1. Fall: Quelle ruht, Beobachter bewegt.
S ... Schallquelle (ruht)
B ... Beobachter (bew egt)
S
c .f
v B
Am ruhenden Beobachter würden in 1s
die auf der Strecke SB = c=·f
liegenden f Wellenberge vorbeilaufen.
Der bewegte Beobachter durchsetzt
zusätzlich v/ Wellenberge.
v
vf
v
f f  f 
f (1  )

c
c
Bewegt sich der Beobachter weg, wird die Frequenz tiefer ( - in Formel)
v
f  f (1  )
c
+ ... bei Nähern an die Schallquelle
- ... bei Entfernen von der Schallquelle
Kapitel 11 - Wellen
2. Fall: Quelle bewegt, Beobachter ruht.
S ... Schallquelle (bew egt)
B ... Beobachter (ruht)
B1
v
43 2 10
B2
In 1s verschiebt sich S um v nach
links. In den Punkten 1, 2, 3, 4
werden weitere Wellenberge erregt.
Bild für t = 1s.
Dadurch gelangt zum Beobachter
eine Welle mit kürzerer
Wellenlänge 1
1
c-v
c
Kapitel 11 - Wellen
S ... Schallquelle (bew egt)
B ... Beobachter (ruht)
B1
v
43 2 10
1
c-v
c
cv
1 
f
B2
c cf
c
1
f1 
f (
)f  (
)
v
1 c  v c  v
1
c
Bewegt sich die Schallquelle weg, so wird der Ton tiefer.
 1 

f1 f  
v 
1

c 

- ... bei Nähern der Schallquelle
+ ... bei Entfernen der Schallquelle
Kapitel 11 - Wellen
Beispiel:
Bei einem Autorennen vernimmt man beim Vorbeifahren eines
Autos eine Quart (4/3).
Berechne die Geschwindigkeit des Autos!
Anleitung: Frequenz, die man beim Nähern hört:
1
f1 f  (
)
v
1 c
Frequenz, die man beim Entfernen hört:
f2 f  (
f1 : f2 = 4:3
1
)
v
1 c
3f1 = 4f2
3  f(
c
c
)  4  f(
)
cv
cv
3(c + v) = 4(c - v)
7v = c
c
v
7
Kapitel 11 - Wellen
v = 47,14m/s = 169,7km/h
11.6.1 Anwendungen des Dopplereffekts:
Bewegte Objekte reflektieren eine Welle mit veränderter Frequenz.
• Dies wird zum Nachweis für die Bewegung von Gestirnen
verwendet (Optik: Rotverschiebung)
• Radar zur Geschwindigkeitsmessung
ruhendes Objekt
sich entfernendes Objekt
sich näherndes Objekt
Kapitel 11 - Wellen
Geschwindigkeitsmessung mit Doppler-Effekt
Moped fährt mit eingeschalteter Hupe vorbei.
Mit Mikrophon wird der Ton ca. 10 m vor der Messstelle (Nähern) bis
10m nach der Messstelle (Entfernen) aufgenommen.
Kapitel 11 - Wellen
Geschwindigkeitsmessung mit Doppler-Effekt
f1  f2
3782  3588
v
c
 330  8,687m / s  31,27km / h
f1  f2
3782  3588 Kapitel 11 - Wellen
11.6.2 Sonderfall: Überschall
1
fB  fQ 
vQ
1
c
Kapitel 11 - Wellen
11.6.2 Sonderfall: Überschall
v=c
v
B1
4 3 2 1 0
B2
Machzahl M
v >c

4
v=2c
3
2
1
c
0
Erdoberfläche
Die Frequenz f1 geht gegen unendlich.
v>c
Die Wellenfront der Schallwellen bildet einen
Kegel, der Machscher Kegel (Mach Ernst
1838-1916) genannt wird. Der Öffnungswinkel dieses Kegels errechnet sich mit:
ct c
sin 

vt v
Trifft die Wellenfront des Machschen Kegels
die Erdoberfläche, so ist der Überschallknall
(sonic boom) hörbar. (Schmerzgrenze,
Fenster zerspringen bei großen Flugzeugen)
Kapitel 11 - Wellen
Das Verhältnis der Flugzeuggeschwindigkeit zur
Schallgeschwindigkeit wird als Machzahl M angegeben:
v
M
c
Auch ein Peitschenknall ist eine Folge eines Überschallknalls.
Kapitel 11 - Wellen
Kopfknallwelle eines Geschoßes
Kopfknallwelle eines Geschoßes
Kapitel 11 - Wellen
Flugzeug im Überschallflug
Knalllinie
Fluglärm
Kapitel 11 - Wellen
lärmfreie
Zone
Durchbrechen der Schallmauer
Kapitel 11 - Wellen