Transcript Schwingungen und Wellen

Schwingungen und
Wellen
Vortrag in Didaktik der Physik I
von Markus Farbmacher
Was sind Schwingungen?
Was sind Schwingungen?
Schwingungen sind periodische
Bewegungen von Körpern oder
Massenpunkten um eine Ruhe- oder
Gleichgewichtslage.
Standardbeispiel für Schwingung
Standardbeispiel für Schwingung

Federpendel
http://www.walter-fendt.de/ph11d/federpendel.htm
Wie können wir nun diese
Schwingung mathematisch
beschreiben?
Wie können wir nun diese
Schwingung mathematisch
beschreiben?
Wie können wir nun diese
Schwingung mathematisch
beschreiben?
y(t) = A ∙ sin(ωt+φ)
v(t) = ω ∙ A ∙ cos(ωt+φ)
a(t) = -ω2 ∙ A ∙ sin(ωt+φ)
Wie können wir nun diese
Schwingung mathematisch
beschreiben?
y(t) = A ∙ sin(ωt+φ)
v(t) = ω ∙ A ∙ cos(ωt+φ)
a(t) = -ω2 ∙ A ∙ sin(ωt+φ)
→ mit F = m ∙ a(t)
lineares Kraftgesetz
Wie können wir nun diese
Schwingung mathematisch
beschreiben?
y(t) = A ∙ sin(ωt+φ)
→ F = -m ∙ ω2 ∙ y(t)
v(t) = ω ∙ A ∙ cos(ωt+φ)
und mit Hook‘schem Gesetz
a(t) = -ω2 ∙ A ∙ sin(ωt+φ)
m ∙ ω2 = k
→ mit F = m ∙ a(t)
lineares Kraftgesetz
→ ω = √k/m
→ Frequenz unabhängig
von Amplitude
Vergleich der harmonischen
Schwingung mit Fadenpendel
Vergleich der harmonischen
Schwingung mit Fadenpendel
Vergleich der harmonischen
Schwingung mit Fadenpendel
FRÜCK = -m ∙ g ∙ sin(α)
Vergleich der harmonischen
Schwingung mit Fadenpendel
FRÜCK = -m ∙ g ∙ sin(α)
→ linear für kleine α
α = y/l
Vergleich der harmonischen
Schwingung mit Fadenpendel
FRÜCK = -m ∙ g ∙ sin(α)
→ linear für kleine α
α = y/l
→ F = m ∙ a(t) = -m ∙ ω2 ∙ y =
=-m ∙ g ∙ y/l
→ ω = √g/l
Unabhängig von Auslenkung
Ein gutes Beispiel für eine
Schwingung aus dem Alltag
Ein gutes Beispiel für eine
Schwingung

Kinderschaukel
Wie funktioniert die Schaukel?
Wie funktioniert die Schaukel?
Wie funktioniert die Schaukel?
Schaukel
Der „Schaukler“ entnimmt dem
System von A nach B weniger
Energie, als er von C nach D
hineinsteckt.
→ Es bleibt eine Nettoenergie
übrig, die zu einer höheren
Auslenkung führt.
http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/schaukel_v.html
http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/schaukel_v2.html
Erzwungene Schwingungen
Erzwungene Schwingungen
Jedes reale schwingende System ist
gedämpft. Daher muss man, um es in
„Schwingung“ zu halten, von außen
Energie zuführen. Dies erfolgt durch einen
Erreger.
Erzwungene Schwingungen
Jedes reale schwingende System ist
gedämpft. Daher muss man, um es in
„Schwingung“ zu halten, von außen
Energie zuführen. Dies erfolgt durch einen
Erreger.
Energie muss, um das System in
Schwingung zu halten, periodisch
zugeführt werden. → Erregerfrequenz
Erzwungene Schwingungen
Beispiel Schaukel:
Erzwungene Schwingungen
Beispiel Schaukel:
Der Affe regt das Pendel mit einer
bestimmten Frequenz an. Diese ist
jedoch in diesem Fall zu hoch. Er
schafft es nicht, dem Pendel
Energie zuzuführen, weshalb es
aufhört zu schwingen.
Erzwungene Schwingungen
Beispiel Schaukel:
Der Affe regt das Pendel mit einer
bestimmten Frequenz an. Diese ist
jedoch in diesem Fall zu hoch. Er
schafft es nicht, dem Pendel
Energie zuzuführen, weshalb es
aufhört zu schwingen.
Was könnte der Affe besser
machen?
Erzwungene Schwingungen
Beispiel Schaukel:
Er könnte das System mit einer
anderen Frequenz antreiben.
Erzwungene Schwingungen
Beispiel Schaukel:
Er könnte das System mit einer
anderen Frequenz antreiben.
Resonanz
Resonanz
Resonanz ist ein Phänomen das auftritt,
wenn ein schwingendes System mit seiner
Eigenfrequenz angeregt wird.
Resonanz
Resonanz ist ein Phänomen das auftritt,
wenn ein schwingendes System mit seiner
Eigenfrequenz angeregt wird.
Was ist die Eigenfrequenz?
Resonanz
Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit
der das System schwingen würde, wenn
weder dämpfende noch antreibende Kräfte
wirksam sind.
Resonanz
Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit
der das System schwingen würde, wenn
weder dämpfende noch antreibende Kräfte
wirksam sind.
Beispiel Federpendel: ω0 = √k/m
Resonanz
Wie reagiert ein
Federpendel auf
Anregung von
außen?
http://www.walter-fendt.de/ph11d/resonanz.htm
Resonanz
Was haben wir gesehen?
Resonanz
Was haben wir gesehen?
1)
Ist die Frequenz des Erregers sehr klein, wird also die Aufhängung
sehr langsam hin und her bewegt, so schwingt das Federpendel
ziemlich genau gleichphasig mit, und zwar in etwa mit der gleichen
Amplitude.
Resonanz
Was haben wir gesehen?
1)
2)
Ist die Frequenz des Erregers sehr klein, wird also die Aufhängung
sehr langsam hin und her bewegt, so schwingt das Federpendel
ziemlich genau gleichphasig mit, und zwar in etwa mit der gleichen
Amplitude.
Ist die Erregerfrequenz sehr hoch, so schwingt der Resonator nur
noch mit sehr geringer Amplitude mit, und zwar beinahe
gegenphasig.
Resonanz
Was haben wir gesehen?
1)
2)
3)
Ist die Frequenz des Erregers sehr klein, wird also die Aufhängung
sehr langsam hin und her bewegt, so schwingt das Federpendel
ziemlich genau gleichphasig mit, und zwar in etwa mit der gleichen
Amplitude.
Ist die Erregerfrequenz sehr hoch, so schwingt der Resonator nur
noch mit sehr geringer Amplitude mit, und zwar beinahe
gegenphasig.
Stimmt die Erregerfrequenz mit der Frequenz der Eigenschwingung
überein, so schaukelt sich die Schwingung des Federpendels immer
mehr auf (Resonanz); dabei sind die Schwingungen des Pendels
gegenüber denen des Erregers etwa um eine viertel
Schwingungsdauer verzögert.
Wellen
Wellen
Eine Welle ist die Bewegung eines
Schwingungzustandes von einem Ort zu
einen anderen.
Wellen
Eine Welle ist die Bewegung eines
Schwingungzustandes von einem Ort zu
einen anderen.
Beispiel: Seilwelle
http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/puls_reflexion+daempfung.html
Wellen
Welche Arten von Wellen gibt es?
Wellen
Welche Arten von Wellen gibt es?
Auslenkung senkrecht zur
Bewegungsrichtung → Transversalwelle
Wellen
Welche Arten von Wellen gibt es?
Auslenkung senkrecht zur
Bewegungsrichtung → Transversalwelle
Auslenkung längs
Bewegungsrichtung → Longitudinalwelle
Wellen
Welche Arten von Wellen gibt es?
Auslenkung senkrecht zur
Bewegungsrichtung → Transversalwelle
Auslenkung längs
Bewegungsrichtung → Longitudinalwelle
Beispiele????
Wellen
Zurück zur Seilwelle:
Wellen
Zurück zur Seilwelle:
Was passiert, wenn die Seilwelle auf ein
Hindernis stößt? (räumliche Begrenzung)
http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/puls_reflexion+daempfung.html
Wellen
Mit welcher Geschwindigkeit breitet sich
der Wellenberg auf dem Seil nach rechts
aus?
Wellen
Mit welcher Geschwindigkeit breitet sich
der Wellenberg auf dem Seil nach rechts
aus?
Im Bezugssystem des ruhenden Wellenberges, bewegt sich das Seil mit der
Geschw. v. Das Seilsegment bewegt sich also auf einer Kreisbahn mit
Radius r
Wellen
Auf das Seilsegment wirken die
elastischen Kräfte F des Seils.
Da sich das Seilsegment auf
einer Kreisbahn bewegt,
müssen die elastischen Kräfte
die Zentripetalbeschleunigung
bewirken.
Wellen
Auf das Seilsegment wirken die
elastischen Kräfte F des Seils.
Da sich das Seilsegment auf
einer Kreisbahn bewegt,
müssen die elastischen Kräfte
die Zentripetalbeschleunigung
bewirken.
2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙(Ф/2) = F ∙ Ф
Wellen
Auf das Seilsegment wirken die
elastischen Kräfte F des Seils.
Da sich das Seilsegment auf
einer Kreisbahn bewegt,
müssen die elastischen Kräfte
die Zentripetalbeschleunigung
bewirken.
2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙ (Ф/2) = F ∙ Ф
Für kleinen Winkel Ф
Wellen
Auf das Seilsegment wirken die
elastischen Kräfte F des Seils.
Da sich das Seilsegment auf
einer Kreisbahn bewegt,
müssen die elastischen Kräfte
die Zentripetalbeschleunigung
bewirken.
2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙ (Ф/2) = F ∙ Ф
Für kleinen Winkel Ф
Masse das Seilsegments berechnet sich
aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu
m=σ∙r∙Ф
Wellen
Auf das Seilsegment wirken die
elastischen Kräfte F des Seils.
Da sich das Seilsegment auf
einer Kreisbahn bewegt,
müssen die elastischen Kräfte
die Zentripetalbeschleunigung
bewirken.
2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙ (Ф/2) = F ∙ Ф
Für kleinen Winkel Ф
Masse das Seilsegments berechnet sich
aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu
m=σ∙r∙Ф
Mit Newton II folgt F ∙ Ф = σ ∙ r ∙ Ф ∙(v2)/r
Wellen
Auf das Seilsegment wirken die
elastischen Kräfte F des Seils.
Da sich das Seilsegment auf
einer Kreisbahn bewegt,
müssen die elastischen Kräfte
die Zentripetalbeschleunigung
bewirken.
Masse das Seilsegments berechnet sich
aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu
m=σ∙r∙Ф
Mit Newton II folgt F ∙ Ф = σ ∙ r ∙ Ф ∙ v2/r
2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙(Ф/2) = F ∙ Ф Löst man diese Gleichung nach v auf
folgt:
v = √ F/σ
Für kleinen Winkel Ф
Wellen
Auf das Seilsegment wirken die
elastischen Kräfte F des Seils.
Da sich das Seilsegment auf
einer Kreisbahn bewegt,
müssen die elastischen Kräfte
die Zentripetalbeschleunigung
bewirken.
Masse das Seilsegments berechnet sich
aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu
m=σ∙r∙Ф
Mit Newton II folgt F ∙ Ф = σ ∙ r ∙ Ф ∙ v2/r
2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙(Ф/2) = F ∙ Ф Löst man diese Gleichung nach v auf
folgt:
v = √ F/σ
Für kleinen Winkel Ф
Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt nur
von der Beschaffenheit des Seils ab.
Wellen
Was ist wenn sich zwei oder mehrere
Wellen in demselben Raumgebiet
ausbreiten?
Wellen
Was ist wenn sich zwei oder mehrere
Wellen in demselben Raumgebiet
ausbreiten?
Wellen
Was ist wenn sich zwei oder mehrere
Wellen in demselben Raumgebiet
ausbreiten?
Diese Eigenschaft von Wellen –
beim Zusammentreffen addieren
sich die Auslenkungen, aber es
kommt zu keiner gegenseitigen
Störung- wir Superposition
genannt.
Wellen
Stehende Wellen:
Wellen
Stehende Wellen:
Breiten sich Wellen in einem räumlich
begrenzten Gebiet aus, werden sie an den
Enden reflektiert.
Wellen
Stehende Wellen:
Breiten sich Wellen in einem räumlich
begrenzten Gebiet aus, werden sie an den
Enden reflektiert. Überlagern sich nun
reflektierte und einfallende Welle können
sich, bei bestimmten Frequenzen,
stationäre Schwingungsmuster ausbilden.
So genannte stehende Wellen.
Wellen
Stehende Wellen:
Breiten sich Wellen in einem räumlich
begrenzten Gebiet aus, werden sie an den
Enden reflektiert. Überlagern sich nun
reflektierte und einfallende Welle können
sich, bei bestimmten Frequenzen,
stationäre Schwingungsmuster ausbilden.
So genannte stehende Wellen.
http://www.walter-fendt.de/ph14d/stwellerefl.htm
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Man sieht, dass die sich die erste stehende
Welle (Grundschwingung) bei einer
Wellenlänge der doppelten Saitenlänge
ausbildet.
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Man sieht, dass die sich die erste stehende
Welle (Grundschwingung) bei einer
Wellenlänge der doppelten Saitenlänge
ausbildet.
Die zweite stehende Welle entsteht wenn
die Wellenlänge gerade der Saitenlänge
entspricht usw.
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Man sieht, dass die sich die erste stehende
Welle (Grundschwingung) bei einer
Wellenlänge der doppelten Saitenlänge
ausbildet.
Die zweite stehende Welle entsteht wenn
die Wellenlänge gerade der Saitenlänge
entspricht usw.
→ Bedingung für stehende Wellen bei einer
beidseitig eingespannten Saite:
L= n ∙ λn/2…..n € N
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Man sieht, dass die sich die erste stehende
Welle (Grundschwingung) bei einer
Wellenlänge der doppelten Saitenlänge
ausbildet.
Die zweite stehende Welle entsteht wenn
die Wellenlänge gerade der Saitenlänge
entspricht usw.
→ Bedingung für stehende Wellen bei einer
beidseitig eingespannten Saite:
L=n ∙ λn/2…..n € N
→ aus λ ∙ f = v folgt
f = n ∙ v/2L
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Man sieht, dass die sich die erste stehende
Welle (Grundschwingung) bei einer
Wellenlänge der doppelten Saitenlänge
ausbildet.
Die zweite stehende Welle entsteht wenn
die Wellenlänge gerade der Saitenlänge
entspricht usw.
→ Bedingung für stehende Wellen bei einer
beidseitig eingespannten Saite:
L=n ∙ λn/2…..n € N
→ aus λ ∙ f = v folgt
f = n ∙ v/2L
und mit dem Ergebnis der
Ausbreitungsgeschwindigkeit
einer Seilwelle haben wir als
Bedingung für stehende Wellen
eine Grundfrequenz:∙
Wellen
Als Beispiel für stehende Wellen:
Beidseitig eingespannte Klaviersaite
Man sieht, dass die sich die erste stehende
Welle (Grundschwingung) bei einer
Wellenlänge der doppelten Saitenlänge
ausbildet.
Die zweite stehende Welle entsteht wenn
die Wellenlänge gerade der Saitenlänge
entspricht usw.
→ Bedingung für stehende Wellen bei einer
beidseitig eingespannten Saite:
→ aus λ ∙ f = v folgt
L=n ∙ λn/2…..n € N
f = 1/2L ∙ √ F/σ
f = n ∙ v/2L
und mit dem Ergebnis der
Ausbreitungsgeschwindigkeit
einer Seilwelle haben wir als
Bedingung für stehende Wellen
eine Grundfrequenz: