Transcript 003 TABLEAUX DE DISTRIBUTIONS ET HISTOGRAMME

Tableaux de distributions
et
histogramme
Certaines distributions de données peuvent être très longues.
Ainsi, il est souvent nécessaire de condenser ces données sous une
forme plus propice à l’analyse statistique.
Les tableaux de distribution et les diagrammes sont des outils qui
permettent une meilleure compréhension des phénomènes étudiés.
Ils permettent de faire de meilleures prédictions et de prendre de
meilleures décisions.
Exemple: Les listes de distribution sont importantes car elles
permettent d’obtenir des informations précises.
6
Cependant, il n’est pas facile de voir ce qui ressort le plus.
La même étude ( synthétisée ) fait apparaître un phénomène très clair.
Le tableau à données condensées.
Lorsqu’une distribution comporte un petit nombre de données
différentes et qu’elles ont tendance à se répéter, il convient de les
compiler dans un tableau dont les données sont condensées.
Répartition des enfants d’une garderie
Âge
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Effectif
2
1
1
6
2
2
2
1
2
1
1
21
Le tableau à données condensées.
Exemple : Voici une liste de données représentant l’âge d’un groupe
d’enfants à une garderie.
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
Voici le tableau de distribution :
Répartition des enfants d’une garderie
On place le caractère de
l’étude ( les données ).
Il faut toujours donner un
Ici, l’âge.
titre.
Âge
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Effectif
2
1
1
6
2
2
2
1
2
1
1
21
Cette colonne indique
le nombre de fois que la
donnée se répète.
Ce sont les effectifs.
Il reste à compiler.
Il faut toujours indiquer
le nombre total de
données.
Le tableau est complété.
Répartition des enfants d’une garderie
Il donne plusieurs informations.
Âge
n = 21 données
Mo = 5 ans
Médiane :
n ÷ 2 = 10,5
La médiane est donc la 11e donnée en
partant du début.
On compte les effectifs à partir du début.
Md = 6 ans
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
La moyenne :
Effectif
2
1
1
6
2
2
2
1
2
1
1
10 données
11e donnée
21
On fait : la somme des produits des valeurs par leur effectif
total des effectifs
( 2X2 + 3X1 + 4X1 + 5X6 + 6X2 + 7X2 + 8X2 + 9X1 + 10X2 + 11X1 + 12 X 1 )
21
x ≈ 6,43
Le tableau de données groupées en
classes
Consommation d’eau hebdomadaire
Quantité (L)
[
Effectif
0 , 10 [
10
[ 10 , 20 [
9
[ 20 , 30 [
7
[ 30, 40 [
11
[ 40 , 50 [
13
Total
50
On utilise ce type de tableau lorsque les données de la distribution
n’ont pas tendance à se répéter et qu’il y a un très grand nombre de
possibilités.
Le tableau de données groupées en
classes
Exemple : Voici les données recueillies lorsqu’on a demandé à 50 élèves
la quantité d’eau qu’ils consomment par semaine :
2, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 15, 17, 24, 24, 24, 26,
27, 27, 29, 30, 30, 30, 32, 33, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 44,
45, 45, 46, 46, 47, 47, 47, 47.
La 1ère étape est d’écrire la liste en ordre croissant.
Ce qui est fait ici.
La 2e étape est de regrouper toutes ces données en classes.
2, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 15, 17, 24, 24, 24, 26,
27, 27, 29, 30, 30, 30, 32, 33, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 44,
45, 45, 46, 46, 47, 47, 47, 47.
Déterminer les classes
1) Calculer l’étendue : Max. – min. = 47 – 2 = 45
2) Déterminer le nombre de classes :
Il n’y a pas de règle stricte pour trouver le nombre de classes;
un tableau compte habituellement entre 5 et 10 classes.
Il s’agit de faire une représentation facile à lire.
3) Déterminer la largeur des classes.
On divise l’étendue par le nombre de classes retenues.
Largeur d’une classe :
S’il y a 5 classes.
étendue
nombre de classes
45
5
=
≈9
La largeur de chaque classe pourrait être de 10 unités.
2, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 15, 17, 24, 24, 24, 26,
27, 27, 29, 30, 30, 30, 32, 33, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 44,
45, 45, 46, 46, 47, 47, 47, 47.
Les classes seront donc :
[
La façon d’écrire les classes doit respecter des règles.
[ 10 , 20 [
Les classes doivent avoir la même largeur.
Ici, chaque classe a une largeur de 10 unités.
Chaque classe débute par un crochet fermé et se termine
par un crochet ouvert.
0 , 10 [
[ 20 , 30 [
[ 30 , 40 [
[ 40 , 50 [
La classe [ 0 , 10 [ signifie que toutes les données
comprises entre 0 inclus et 10 exclu y seront inscrites.
La classe [ 10 , 20 [ signifie que toutes les données
comprises entre 10 inclus et 20 exclu y seront inscrites.
Les classes doivent être choisies de telle sorte que la plus
petite et la plus grande données y soient incluses.
2 sera inclus dans [ 0 , 10 [ et 47 sera inclus dans [ 40 , 50 [ donc correct.
2, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 10, 10, 11, 13, 13, 13, 13, 15, 17, 24, 24, 24, 26,
27, 27, 29, 30, 30, 30, 32, 33, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 44,
45, 45, 46, 46, 47, 47, 47, 47.
On peut maintenant compiler les données.
Consommation d’eau hebdomadaire
Quantité (L)
[
Effectif
0 , 10 [
10
[ 10 , 20 [
9
[ 20 , 30 [
7
[ 30, 40 [
11
[ 40 , 50 [
13
Total
50
Le tableau est complété.
Consommation d’eau hebdomadaire
Il donne plusieurs informations.
Quantité (L)
n = 50 données
[
Mode :
Dans un tableau à données groupées
en classe, on peut avoir une
classe modale .
Il s’agit de la classe possédant le plus
d’effectifs.
Ici, la classe modale est [ 40 , 50 [.
Effectif
0 , 10 [
10
[ 10 , 20 [
9
[ 20 , 30 [
7
[ 30, 40 [
11
[ 40 , 50 [
13
Total
50
On ne peut pas connaître avec précision
le mode.
Cependant, on peut l’estimer.
On prend alors le milieu de la classe modale : ( 40 + 50 ) ÷ 2 = 45
Mo ≈ 45 L
Le tableau est complété.
Consommation d’eau hebdomadaire
Quantité (L)
Il donne plusieurs informations.
[
Médiane :
n ÷ 2 = 25
La médiane est donc la moyenne
de la 25e et 26e donnée.
On compte les effectifs à partir
du début.
0 , 10 [
10
[ 10 , 20 [
9
[ 20 , 30 [
7
[ 30, 40 [
11
[ 40 , 50 [
13
Total
La classe contenant la médiane
s’appelle la classe médiane.
Effectif
50
Ici, la classe médiane est [ 20 , 30 [.
On ne peut pas connaître avec précision la médiane.
Cependant, on peut l’estimer.
On prend alors le milieu de la classe médiane : ( 20 + 30 ) ÷ 2 = 25
Md ≈ 25 L
19
données
+6
données
Le tableau est complété.
Il donne plusieurs informations.
Consommation d’eau hebdomadaire
Quantité (L)
La moyenne :
On ne peut pas calculer
précisément la moyenne dans
un tableau de données groupées
en classes.
Cependant, on peut l’estimer.
On fait :
[
Effectif
0 , 10 [
10
[ 10 , 20 [
9
[ 20 , 30 [
7
[ 30 , 40 [
11
[ 40 , 50 [
13
Total
50
la somme des produits des milieux des classes par leur effectif
total des effectifs
Remarque
( 5 X 10 + 15
: Comme
X 9 + 25
7 + 35
11première
+ 45 X 13
)
1est
330
le X
milieu
deXla
classe
5 et que les
=
≈ 26,6
classes ont
toutes
une
largeur
de
10,
le
milieu
de chacune
50
50
des classes augmentera de 10 unités.
x ≈ 26,6 L
L’histogramme
Consommation d’eau hebdomadaire
Élèves
14
12
10
8
6
4
2
0
10 20 30 40 50
Litres
L’histogramme est la représentation graphique d’un tableau de
données groupées en classes.
L’histogramme
Consommation d’eau hebdomadaire
Reprenons notre exemple :
Quantité (L)
Effectif
Pour construire l’histogramme, il faut :
[
0 , 10 [
10
- tracer, graduer également et identifier
les axes;
[ 10 , 20 [
9
[ 20 , 30 [
7
Élèves
14
En ordonnée,
12
on place les
effectifs.
10
On trace des rectangles
de même largeur et de
hauteur correspondant à
l’effectif de chaque
classe.
8
11
[ 40 , 50 [
13
Total
50
En abscisse, on place les
classes.
6
4
On utilise la limite inférieure
de chaque classe.
2
0
[ 30, 40 [
10 20 30 40 50
Litres
Il ne faut pas oublier le titre.
Consommation d’eau hebdomadaire
Élèves
14
12
13
10
10
8
11
9
7
6
4
2
0
10 20 30 40 50
Litres
L’histogramme donne aussi beaucoup d’informations.
Le total des données :
n = 50
La classe modale : [ 40 , 50 [
et le mode en prenant le milieu de la classe modale : Mo ≈ 45 L
Consommation d’eau hebdomadaire
Élèves
19
14
12
10
10
8
+6
13
11
9
8
7
6
4
La classe médiane :
n ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25
2
0
10 20 30 40 50
Litres
La médiane est donc la moyenne de la 25e et 26e donnée.
On compte les effectifs à partir du début.
La classe médiane est donc [ 20 , 30 [.
On ne peut pas connaître avec précision la médiane.
Cependant, on peut l’estimer.
On prend alors le milieu de la classe médiane : ( 20 + 30 ) ÷ 2 = 25 Md ≈ 25 L
Consommation d’eau hebdomadaire
Élèves
14
12
13
10
10
11
9
8
8
7
6
4
2
La moyenne :
0
10 20 30 40 50
Litres
On ne peut pas calculer précisément la moyenne dans un histogramme.
Cependant, on peut l’estimer.
On fait : la somme des produits des milieux des classes par leur effectif
total des effectifs
( 5 X 10 + 15 X 9 + 25 X 7 + 35 X 11 + 45 X 13 )
50
=
1 330
50
≈ 26,6
x ≈ 26,6 L
Remarque :
S’il n’y a pas de classe qui débute à 0,
Données
Effectif
[ 20 , 30 [
3
12
[ 30 , 40 [
6
10
[ 40 , 50 [
10
8
[ 50 , 60 [
12
6
[ 60 , 70 [
8
[ 70 , 80 [
5
14
4
2
0
Total
20 30 40 50 60 70 80
Il faudra penser à mettre une coupure d’axe.
44
Interprétation
Dans ce groupe d’élèves :
Consommation d’eau hebdomadaire
Élèves
-19 individus sont au-dessous
de la moyenne.
- 24 individus sont au-dessus
de la moyenne.
- La médiane ou la moyenne sont
représentatives de la quantité
moyenne de litres d’eau
consommée par semaine.
- Il y a plus d’élèves qui boivent
beaucoup d’eau.
14
12
13
10
10
11
9
8
8
7
6
4
2
0
10 20 30 40 50
Mo ≈ 45 L
- La classe modale n’est pas centrale.
Il serait intéressant d’en comprendre la raison.
Md ≈ 25 L
Litres
x ≈ 26,6 L