Transcript Statistique descriptive élémentaire

STATISTIQUE
POURQUOI ÉTUDIER LA
STATISTIQUE ?
• présenter, des données.
• Décrire des données
• tirer des conclusions sur des populations à
partir de calculs conduits sur des échantillons.
• faire de “bonnes” prévisions.
2
LES ÉTAPES D'UNE ÉTUDE
STATISTIQUE
• collecte des données : Des observations sont effectuées au
sein d'une population, relativement à un caractère ou une
variable, les résultats constituent une série statistique.
• Analyse des données : Il s'agit de la détermination de
paramètres statistiques qui permettent de caractériser la série
statistique.
• Interprétation des résultats : A l'aide de propriétés
mathématiques et en élaborant des tests pour une exploitation
des résultats.
3
Collecte des données
Recensement
Sondage
Analyse des
données
Statistique Descriptive
Inférence Statistique
Interprétation des
résultats
Prise de décisions
DEUX DOMAINES
Statistique descriptive: Organisation, présentation et
analyse des données en mettant les points importants en
évidence.
Statistique inférentielle: Raisonner par inférence,
prendre des décisions sur une population à partir d’un
échantillon.
5
ETUDE D'UN SEUL CARACTÈRE
6
DÉFINITIONS
Population
Ensemble de référence
Individu
Elément de la population
x
Echantillon
Sous-ensemble de la population.
7
POPULATION STATISTIQUE, UNITÉ
STATISTIQUE
 La population: ensemble constitué:
•de personnes, d’individus
•d’entités collectives
•d’objets matériels ou immatériels
•d’actions, de situations
 l’unité statistique ou individu est l’unité sur laquelle porte
l’observation (élément de la population)
8
LES VARIABLES
C'est la propriété ou l'aspect singulier que l'on se propose
d'observer chez chaque individus de la population ou de
l'échantillon.
9
NATURE DES VARIABLES
VARIABLES
Observables
Ordinales
Discrètes
Mesurables
Continues
Nominales
- Sexe
-Couleur
-Ville d’origine
-Type de Culture
-…etc.
-Situation socioprof
-Niveau d’étude
-Appréciation
-…etc.
-N. d’enfants
-N. de bactéries
-N. d’assurés
-N. de salariés
-N. de patients
-…etc.
-Taille
-Poids
-Taux de glucose
-Durée de vie
-.
10
Echelles de mesure
variable
qualitative
Echelle
nominale
Echelle
ordinale
quantitative
Echelle
d’intervalle
Echelle
de rapport
11
REPRÉSENTATION DES DONNÉES
• plusieurs niveaux de description statistique :
– présentation brute des données,
– présentations par tableaux numériques,
– représentations graphiques
– résumés numériques fournis par un petit nombre de
paramètres caractéristiques.
12
DONNÉES BRUTES
• Définitions
On appelle données brutes ou tableau élémentaire le
tableau relevant pour chaque unité statistique la
modalité de la variable étudiée.
13
DONNÉES BRUTES
• Données brutes
– tableau regroupant les valeurs des différentes variables
pour chaque individu
individus
variables
No Sexe Année
Naissance
1 M
2 M
3 F
4 F
Année de
Boursier
première inscription
1986
2004
Oui
1985
2003
Non
1986
2004
Non
1984
2003
Non
UN TABLEAU DE DONNÉES BRUTES
NUMERO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
SALAIRE
129472
212696
210888
213692
202408
196132
97580
97580
172496
95900
212696
234060
225176
197532
179536
213716
186296
235872
212696
214508
196132
219924
250120
110100
97580
227536
SEXE
F
M
M
M
M
M
M
F
M
F
M
M
M
F
M
F
M
F
M
M
M
M
M
F
M
M
AGE
42
54
47
47
44
42
30
52
48
58
46
36
49
55
41
52
57
61
50
47
54
47
50
38
31
47
ANC
3
10
10
1
5
10
5
6
8
4
4
8
10
10
1
5
8
10
5
10
5
7
10
3
5
10
NIVEAU
B
B
A
B
B
A
A
A
A
A
C
C
B
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
A
A
15
TRI À PLAT
• On compte le nombre d’individus par modalité ou
valeur
– Ce nombre est l’effectif ou la fréquence absolue de
chaque modalité
– L’opération s’appelle tri à plat
LE TRI À PLAT
Le tri à plat est la transformation qui permet de passer
du tableau des données brutes au tableau de la
distribution statistique présentant les modalités et les
effectifs, les modalités étant classées par ordre
croissant. (si la variable est ordinale ou si elle est
quantitative)
17
TABLEAUX DE DISTRIBUTION
Le tableau de distribution de fréquences est un mode
synthétique de présentation des données. Sa constitution est
immédiate dans le cas d’un caractère discret mais nécessite en
revanche une transformation des données dans le cas d’un
caractère continu.
18
EFFECTIF D’UNE MODALITÉ
On appelle effectif de la modalité xi, le nombre ni de fois que
cette modalité est observée
n  N
i
N est l’effectif total
19
FRÉQUENCE D’UNE MODALITÉ
On appelle fréquence de la modalité xi, le nombre fi tel que
n
fi 
N
i
 f 1
i
i
( 0  f  1)
i
20
EXEMPLE TABLEAU DE
DISTRIBUTION
niveau
effectifs
fréquences
A
13
0,5
B
11
0,42
C
2
0,08
26
1
total
Exemple l’effectif de la modalité A est 13 et la fréquence de
cette modalité est 0,5
21
EFFECTIF CUMULÉ CROISSANT;
DÉCROISSANT
Définition
Quand les valeurs d’un caractère quantitatif sont rangées dans
l’ordre croissant,
-L’effectif cumulé croissant d’une valeur est la somme des
effectifs des valeurs inférieures ou égales à cette valeur,
- L’effectif cumulé décroissant d’une valeur est la somme des
effectifs des valeurs supérieures ou égales à cette valeur,
22
LA FRÉQUENCE CUMULÉE CROISSANTE,
DÉCROISSANTE
Quand les valeurs d’un caractère quantitatif sont rangées dans
l’ordre croissant,
-la fréquence cumulée croissante d’une valeur est la somme
des fréquences des valeurs inférieures ou égales à cette valeur.
-la fréquence cumulée décroissante d’une valeur est la somme
des fréquences des valeurs supérieures ou égales à cette
valeur.
23
REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES
Les représentations graphiques ont l’avantage de
renseigner immédiatement sur l’allure générale
de la distribution. Elles facilitent l’interprétation
des données recueillies.
24
REPRÉSENTATION GRAPHIQUES
(suite)
Caractères qualitatifs
•Tuyaux d’orgue
•Diagrammes circulaires
•Cartogrammes
25
REPRÉSENTATION GRAPHIQUES
(suite)
Caractères quantitatifs
Variable discrète
•Diagramme en bâton
•Polygone des fréquences
•Courbe cumulative
Variable continue
•Histogramme
•Polygone des fréquences
•Courbe cumulative
26
DIAGRAMME CIRCULAIRE
Niveau d'étude
8%
A
42%
niveau
A
B
C
total
effectifs
50%
B
C
fréquences
fréquences en %
13
0,5
50%
11
0,42
42%
2
0,08
8%
26
1
100%
27
DIAGRAMME EN TUYAUX D’ORGUE
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
A
B
C
A
niveau
A
B
C
total
B
effectifs
C
fréquences
fréquences en %
13
0,5
50%
11
0,42
42%
2
0,08
8%
26
1
100%
28
CARACTÈRE QUANTITATIF
• Mesurable, on peut faire des calculs
• il est soit discret, soit continu
29
VARIABLES DISCRÈTES
diagramme différentiel
Diagramme à bâtons
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
30
VARIABLES DISCRÈTES
diagramme intégral
31
DISTRIBUTION DES DONNÉES POUR UN
CARACTÈRE QUANTITATIF CONTINU
• lorsque la taille de l’échantillon ou l’unité d’arrondi sont
relativement grandes et les données recueillies sont
nombreuses étalées sur un large intervalle de valeurs
on procède alors à un regroupement des données à
l’intérieur de « classes » .
32
RÈGLES RÉGISSANT LE REGROUPEMENT
DES DONNÉES EN CLASSE (SUITE):
• Choisir les extrémités du classement (la borne
inférieure de la première classe et la borne
supérieure de la dernière classe) de manière à
ne pas créer de distorsion importante avec
l’ensemble des données.
• Choisir des bornes qui, autant que possible,
permettront des calculs simples.
33
HISTOGRAMME
CLASSES DE MÊME AMPLITUDE
• Repère orthogonal et modalités du caractère placées
sur l’axe des abscisses
• Chaque classe est représentée par un rectangle dont
l’aire est proportionnelle à l’effectif de la classe
concernée .
• Toutes les bases ont la même dimension donc les
« hauteurs » des rectangles sont proportionnelles aux
effectifs.
34
REPRÉSENTATION
GRAPHIQUE
Histogramme pour la distribution des valeurs totales
26
20
Effectif
15
12
9
10
6
6
2
1
1
1
0
60
100 140 180 220 260 300 340 380 420 460
Valeurs (en milliers $)
35
REPRÉSENTATION
GRAPHIQUE
Polygone de fréquences
Effectif
20
10
0
40
80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480
Valeurs totales (en milliers $)
36
HISTOGRAMME
CLASSES D’AMPLITUDES DIFFÉRENTES
• Les bases des rectangles n’ont pas toutes la même longueur.
• Les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs des
classes.
• L’histogramme se construit dans un repère orthogonal en portant
sur l’axe des abscisses les bornes des classes et en ordonnée
des nombres « hauteurs » des rectangles proportionnels aux
densités d’effectifs (effectif/amplitude).
le coefficient de proportionnalité choisi est souvent min(Li) qui est
alors l’unité d’amplitude de classe.
37
HISTOGRAMME
Ancienneté du personnel cadre d’une entreprise
38
VARIABLE CONTINUE
DIAGRAMME INTÉGRAL
39
CARACTÉRISTIQUES D’UNE
SÉRIE STATISTIQUE
40
LES PARAMÈTRES DE POSITION
Mode, Moyenne, Médiane
41
CLASSE MODALE, MODE
• Mode : modalité d’effectif maximal, donc représentée par
une barre de hauteur maximale.
• Classe modale : est une classe de densité maximale
42
CLASSE MODALE, MODE
Une classe modale est donc une classe pour laquelle le quotient
(effectif/amplitude) est maximal alors que pour des classes
d’amplitudes égales ou pour les variables discrètes, les
classes modales ou les modes correspondent aux effectifs
maxima.
Remarque : le quotient effectif/amplitude s’appelle la densité
d’effectif de la classe.
• Il peut exister plusieurs modes ou plusieurs classes modales.
43
CALCUL DU MODE
CAS D’UNE VARIABLE CONTINUE
  

M  l  a 
  
i
o
i
i
s
44
CLASSE MODALE, MODE
• L: borne inférieure de la classe modale
• ai : amplitude de la classe modale
∆i : différence entre le nombre d’observations (ou la fréquence)
de la classe modale et de la classe pré-modale (si les amplitudes
sont différentes on prend la densité de fréquence)
• ∆s : différence entre le nombre d’observations (ou la fréquence)
de la classe modale et de la classe post-modale (si les
amplitudes sont différentes on prend la densité de fréquence)
45
CONSTRUCTION DU MODE
46
EXEMPLE
Déterminer la classe modale et Calculer le mode de
la distribution suivante
Distribution de l’âge des clients rentrant dans un magasin
47
EXEMPLE
Déterminer la classe modale de la distribution suivante
et calculer le mode
Classes
[10;15[
[15;25[
[25;30[
[30;50[
[50;55[
Total
densité
Effectifs fréquence Amplitude d'effectif
10
0,125
5
2
18
0,225
10
1,8
15
0,1875
5
3
30
0,375
20
1,5
7
0,0875
5
1,4
80
1
48
LA MOYENNE D’UNE SÉRIE
STATISTIQUE
• La moyenne d'une série statistique est une mesure
de tendance centrale de la variable étudiée.
• Il existe plusieurs types de moyenne:
– la moyenne arithmétique
– la moyenne arithmétique pondérée
– la moyenne géométrique
– la moyenne quadratique
– la moyenne harmonique
49
LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE
La moyenne arithmétique est la plus ancienne méthode employée
pour caractériser un ensemble de données et indiquer une tendance
centrale.
La moyenne arithmétique est la somme des observations divisée
par le nombre n d'observations :
50
LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE
Moyenne arithmétique classique :
Dans une classe, la répartition des notes à un contrôle sont : 4, 5, 4,
8, 10, 7, 9, 6, 5, 2.
La somme de ces notes : 4+5+4+8+10+7+9+6+5+2 = 60
Sur 10 observations, la moyenne est donc 60 / 10 = 6.
51
LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE
Moyenne arithmétique classique :
Dans une classe, la répartition des notes à un contrôle sont : 4, 5, 4,
8, 10, 7, 9, 6, 5, 2.
La somme de ces notes : 4+5+4+8+10+7+9+6+5+2 = 60
Sur 10 observations, la moyenne est donc 60 / 10 = 6.
52
LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE
La moyenne arithmétique pondérée:
Soit x1, x2, … xi;….xk une série statistique où chacune
des valeurs élémentaire xi est répétée ni fois (sa fréquence
étant fi).
1 k
k
X  m   i 1ni xi   i 1 f i xi
N
Si les données sont organisées en classes de centre ci et de
fréquences fi, on aura :
1 k
k
X  m   i 1ni ci   i 1 f i ci
N
53
LA MOYENNE ARITHMÉTIQUE
Matière
Français
maths
Coefficient note
4
12
4
8
notes coefficientées
4x 12= 48
4x 8 = 32
Langue vivante
EPS
1
1
10
1 x5 = 5
1 x14 = 14
10 x9,5 =
Enseignement
professionnel
5
14
9,5
95
Total des coefficients : 4 +4 + 1
+ 1 + 10 = 20
Total des notes coefficientées :
194
Moyenne pondérée : = 9,7 soit la note est de 9,7 / 20
54
LA MÉDIANE
La médiane est la valeur du caractère étudié
qui partage en deux parties égales l’effectif total
50 % de l’effectif total
50 % de l’effectif total
Effectif correspondant à
la médiane de la série
55
MÉDIANE
Définition : Soit S une série statistique quantitative
discrète à une variable, de taille n, n  N*, définie
par S = {si}1  i  n, ordonnée dans l’ordre croissant.
On appelle médiane de S tout réel m tel que au
moins 50 % des valeurs de la série sont
supérieures ou égales à m et au moins 50 % des
valeurs de la série sont inférieures ou égales à m.
56
MÉDIANE
• Quand la série est discrète,
on range les valeurs de la série par ordre croissant, chacune d'entre
elles étant répétée autant de fois que son effectif.
Si l'effectif total n est un nombre impair, la médiane est le terme de
rang (n+1)/2
Si l'effectif total n est un nombre pair, la médiane est le centre de
l'intervalle formé par les termes de rang n/2 et (n/2)+1 .
• Quand la série est regroupée par classes,
on détermine la médiane par interpolation linéaire à partir de la
courbe des effectifs ou des fréquences cumulées.
57
B. DANS LE CAS D’UN CARACTÈRE CONTINU
Exemple
Durée Nombre
en h
d'élèves ECC ECD Fréquences FCC
FCD
[0,4[
40
40
620
0,065 0,065
1
[4;8[
80
120
580
0,129 0,194 0,935
[8;12[
160
280
500
0,258 0,452 0,806
[12;20[
200
480
340
0,323 0,774 0,548
[20;28(
140
620
140
0,226 1,000 0,226
620
1
58
POUR DÉTERMINER GRAPHIQUEMENT
LA MÉDIANE :
On trace la courbe des ECC(effectifs cumulés croissants),
ou la courbe des ECD (effectifs cumulés décroissants),.
On
trace la droite horizontale passant par
le point d’ordonnée N/2 (la moitié de l’effectif total)
L’abscisse du point d’intersection de droite
horizontale et du polygone des ECC(ECD)
donne la valeur de la médiane.
59
DÉTERMINATION DE LA MÉDIANE
x
i
] 1000 - 1500 ]
] 1500 - 2000 ]
] 2000 - 2500 ]
] 2 500 - 3000]
] 3000 - 3500 ]
Simples
6
12
25
17
5
65
Effectifs ( n i )
Cumulées
Croissantes
6
18
43
60
65
Cumulées
décroissantes
65
59
47
22
5
60
DÉTERMINATION GRAPHIQUE DE LA
MÉDIANE EXEMPLE
61
DÉTERMINATION GRAPHIQUE DE LA
MÉDIANE 2E MÉTHODE
62
LES QUARTILES
63
LE PREMIER QUARTILES
• Le premier quartile, noté Q1, est une valeur de la
série; telle que 25 % au moins des valeurs de la
série sont inférieures ou égales à Q1; et telle que
75% au moins des valeurs de la série sont
supérieures ou égales à Q1.
64
LE TROISIÈME QUARTILE
• Le troisième quartile, noté Q3, est : une valeur de la
série; telle que 75% au moins des valeurs de la série
sont inférieures ou égales à Q3; et telle que 25% au
moins des valeurs de la série sont supérieures ou
égales à Q3
65
QUARTILE CAS DISCRET
N=
N = 4n
Q1
Q2
Q3
entre la valeur de rang entre la valeur de entre la valeur de
n et celle de rang n+1 rang 2n et celle de rang 3n et celle de
rang 2n+1
rang 3n+1
N = 4n + 1
entre la valeur de rang
n et celle de rang n+1
la valeur de rang
2n+1
entre la valeur de
rang 3n+1et celle
de rang 3n+2
N = 4n + 2
la valeur de rang n+1
entre la valeur de
rang 2n+1 et celle
de rang 2n+2
la valeur de rang
3n+2
N = 4n + 3
la valeur de rang n+1
la valeur de rang
2n+2
la valeur de rang
3n+3
66
LES QUARTILES
(cas de regroupement en classes)
 N  Ecum
Q  L 4

Eff

prcdt
1
classeQ1
 3 N  Ecum

4
Q  L

Eff

3
classe . Q3

a


prcdt

a


LE DEUXIÈME QUARTILE
• Le deuxième quartile par définition est la médiane.
• Cas de données groupées en classes:
 N  Effcumprcdt

2
Md  L 
 Eff
classe  médiane


 a


68
CARACTÉRISTIQUES DE
FORME
• Mesure de l’asymétrie
Les courbes suivantes donnent une idée sur la forme d’une
distribution de données:
69
MESURE DE L’ASYMÉTRIE
Certains coefficients (indices) permettent de situer la distribution
dans un des trois cas précédents:
1. Coefficient de Yule:
(Q 3  M)  (M  Q1 )
S
(Q3  M)  (M  Q1 )
 S  0 symétrie


Courbe étalée à droite
 S 0

Courbe étalée à gauche

S

0

70
MESURE DE L’ASYMÉTRIE
2. Coefficient de Pearson:
( X  M0 )
S
σ
 S  0 symétrie


Courbe étalée à droite
 S 0


Courbe étalée à gauche
 S 0
71
PARAMÈTRES DE DISPERSION
72
LA VARIANCE

La Variance : d’une distribution est la
moyenne des carrés des écarts, par rapport à
la moyenne, de toutes les valeurs de celle-ci.
1
s   x  x 
n
1
s  x  x
n
2
2
i
2
2
i
2
i
73
PARAMÈTRES DE DISPERSION
• Ecart-type
 x)
N
N
s
=
 n (x
i1
2
i
i
1
n x  x
s=
N
k
i1
i
2
i
2
74
INTERPRÉTATION DE L’ÉCART-TYPE

En général, on retrouve :
 une grande proportion des données dans
l ’intervalle [  - s ,  + s ] (souvent entre 50 et
70%),

souvent plus de 95% des données dans
l ’intervalle [  - 2s ,  + 2s ],

toutes les données (ou presque 100%) dans
l ’intervalle [  - 3s ,  + 3s ].
75
EXEMPLE
• On a demandé à un groupe de 220 élèves de 10 à
17 ans combien d'heures ils ont regardé la
télévision chaque semaine pendant les vacances.
Leurs réponses ont été consignées dans le tableau
ci-dessous. À l'aide de cette information, calculez
la moyenne et l'écart-type des heures pendant
lesquelles les 220 élèves ont regardé la télévision.
76
EXEMPLE (SUITE)
Nombre d'heures pendant lesquelles les 220 élèves ont
regardé la télévision
Heures
Nombre d'élèves
10–14
2
15–19
12
20–24
23
25–29
60
30–34
77
35–39
38
40–44
8
77
TABLEAU
Nombre d'heures passées devant la télévision
Heures Point
Fréquence Ni x ci (x - m)
milieu (ci) (ni)
(x -m )2
ni(x - m)2
10 à 14
15 à 19
20 à 24
25 à 29
30 à 34
35 à 39
40 à 44
317,6
164,4
61,2
8,0
4,8
51,6
148,4
635,2
1 972,8
1 407,6
480,0
369,6
1 960,8
1 187,2
8 013,2
12
17
22
27
32
37
42
2
12
23
60
77
38
8
220
24
204
506
1 620
2 464
1 406
336
6 560
-17,82
-12,82
-7,82
-2,82
2,18
7,18
12,18
78
Calcul de l’écart type
79
INTERVALLE
• Toutes les données (ou presque 100%) dans
l ’intervalle [  - 3 ,  + 3 ]
• 29,82 - (3 x 6,03) < x < 29,82 + (3 x 6,03)
29,82 - 18,09 < x < 29,82 + 18,09
11,73 < x < 47,89
• Cela signifie une certitude d'environ 99 % qu'un
élève passera entre 12 heures à 48 heures devant la
télévision.
80
EXERCICE 2
• On a tiré un échantillon de 220 élèves d’une population constituée
d’élèves de 10 à 17 ans à qui on a demandé combien d'heures ils
ont regardé la télévision chaque semaine pendant les vacances.
Leurs réponses ont été consignées dans le tableau de l’exercice 1.
• À l'aide de cette information, calculez la moyenne et l'écart-type
des heures pendant lesquelles les 220 élèves ont regardé la
télévision.
81
EXERCICE 2
(suite)
• Utilisez l'information fournie dans le tableau ci-dessus
pour donner une estimation non biaisée de l'écart-type
de la distribution dans la population entière.
• En supposant que la distribution de fréquences est à peu
près normale, calculez l'intervalle à l'intérieur duquel
99 % des élèves de la population devraient se situer.
• Donner en une interprétation
82
REMARQUE
•Plus l’écart – type σ est grand, plus les valeurs du
caractère sont dispersées autour de la moyenne
•Plus il est petit, plus les valeurs du caractère
sont groupées autour de la moyenne
83
LE COEFFICIENT DE VARIATION
c’est le rapport entre l’écart type et la moyenne, il
permet de comparer le taux de dispersion entre
distributions, car il est sans unité.
C.V 
x
x
100
Plus le coefficient de variation est petit, plus la série est
homogène. D’une manière générale, la population étudiée
est considérée homogène lorsque le CV < 15%.
84
COMPARAISON
DE SÉRIES STATISTIQUES
Série 1:
 
Série 2:
 
Moyenne = 8,2
V 
10, 3  3, 2
Moyenne = 7,38
V 
8, 7  2, 95
85
DISPERSION AUTOUR DE LA MÉDIANE
Pour mesurer la dispersion autour de la médiane
On calcule:
• l’intervalle interquartile : [Q1;Q3 ]
• l’écart interquartile la différence Q3 – Q1.
contient environ 50 % des valeurs de la série.
86
DIAGRAMME À MOUSTACHE
Elle est due à JW. Tukey et est appelée « box plot »
en anglais.
87
REMARQUES
Une boîte avec des "pattes" courtes indique que la série
est assez concentrée autour de sa médiane.
Au contraire des "pattes" longues indique que la série
est assez dispersée.
Le graphique est parfois fait en dessinant des pattes
correspondant au 1er et au 99ème centile, ou même
aux valeurs extrêmes
88
VALEURS ABERRANTES
89
DIAGRAMME À MOUSTACHE
(suite)
Il est utilisé principalement pour comparer un
même caractère dans deux populations de tailles
différentes
90
DIAGRAMME À MOUSTACHE
(suite)
Les valeurs généralement représentées sont :
•le minimum (m),
•le premier décile (D1),
•le premier quartile (Q1),
•la médiane (Med=Q2),
•le troisième quartile (Q3),
•le neuvième décile (D9),
•le maximum (M).
91