Transcript mesures de tendance centrale - École Secondaire du Mont

Mesures de tendance centrale
et
mesures de dispersion
Les mesures de tendance centrale servent à décrire le centre d’une
distribution ordonnée et la position des données de la distribution par
rapport à ce centre.
On y retrouve : - le mode ( Mo );
- la médiane ( Md );
- la moyenne ( x ).
Les mesures de dispersion servent à décrire la dispersion ou la
concentration des données d’une distribution.
On y retrouve : - l’étendue;
- l’étendue interquartile;
- l’étendue des quarts.
Mesures de tendance centrale
La moyenne, la médiane et le mode sont appelés mesures de
tendance centrale car ils permettent d’analyser les valeurs se
retrouvant dans le centre d’une distribution.
Exemple : Voici une liste de données représentant l’âge d’un groupe
d’enfants à une garderie.
5, 4, 5, 6, 2, 3, 5, 2, 5, 5, 6, 7, 5, 8, 9, 10, 10, 7, 11, 12, 8.
Avant de commencer l’analyse,
il faut toujours mettre la liste en ordre croissant (ou décroissant).
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
Cette liste contient 21 données. n = 21 données
Remarque : n est le symbole représentant le total des données.
Le mode ( Mo ) est la donnée qui revient le plus souvent.
Ici, le mode est 5 ans.
Remarque : Une distribution de données peut avoir plus d’un mode.
Exemple : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
Cette liste contient deux modes : 5 et 6.
La médiane ( Md ) est la donnée du milieu.
elle sépare la distribution en deux paquets égaux.
n = 21
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
10 données
10 données
Md : 6 ans
Remarques :
Dans une liste impaire de données, la médiane est la donnée du milieu.
Elle fait donc partie de la liste.
Dans une liste paire de données, la médiane est la moyenne des deux
données du centre.
n = 20
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11.
Médiane : ( 6 + 7 ) ÷ 2 = 6,5
6,5
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11.
10 données
Elle ne fait pas partie de la liste.
10 données
Remarque sur la médiane
Dans une liste de données, pour trouver rapidement la médiane, on
procède comme suit :
Le total des données est un nombre pair :
Exemple : 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68
Divise le total par 2 : 8 ÷ 2 = 4
61, 62, 62, 64,
4e
n=8
ce résultat entier indique 2 paquets égaux.
65, 66, 66, 68
5e
Tu auras donc à calculer la moyenne arithmétique des deux données du
centre.
64 + 65
2
= 64,5
Md : 64,5
Le total des données est un nombre impair :
Exemple :
61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71
Divise le total par 2 : 9 ÷ 2 = 4,5
61, 62, 62, 64,
65
n=9
ce résultat décimal indique 2 paquets
égaux,
avec une donnée supplémentaire.
66, 66, 68, 71
La médiane est donc cette donnée du milieu.
Md : 65
En résumé : On divise le total des données de la liste par 2 :
Résultat entier : on fait la moyenne arithmétique en utilisant la
dernière donnée du premier paquet avec la première donnée
du deuxième paquet.
Résultat décimale : la médiane est la donnée entre les deux
paquets.
La médiane
Exemples :
Une distribution de données contient 41 données. Où se situe la médiane?
n = 41
n ÷ 2 = 20,5
la médiane est donc la 21e donnée.
Une distribution de données contient 40 données. Où se situe la médiane?
n = 40
n ÷ 2 = 20
la médiane est donc la moyenne de la
20e et 21e données.
La moyenne ( x ) se calcule en additionnant toutes les données et
en divisant par le nombre de données.
Il existe une formule représentant la moyenne :
faire la somme
moyenne
x= ∑x
des données
divisée par
n
total des données
Dans notre exemple :
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
2+2+3+4+5+5+5+5+5+5+6+6+7+7+8+8+9+10+10+11+12 ≈ 6,43
21
x ≈ 6,43 ans
La moyenne :
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
La moyenne pourrait aussi se calculer de cette façon :
On multiplie chaque donnée par le nombre de fois qu’elle apparaît :
( 2X2 + 3X1 + 4X1 + 5X6 + 6X2 + 7X2 + 8X2 + 9X1 + 10X2 + 11X1 + 12 X 1 )
21
x ≈ 6,43 ans
Moyenne pondérée
La moyenne d’un certain nombre de valeurs n’ayant pas toutes la même
importance est appelée moyenne pondérée.
Exemple : Avec la réforme, les compétences C1 et C2 n’ont pas la
même importance relative.
C1 : 30 % de la note finale; C2 : 70 % de la note finale.
Tu as une note de 85 % en C1 et une note de 90 % en C2.
Ta moyenne pondérée est, alors
( 0,85 X 0,30 + 0,90 X 0,70 ) = 0,885 = 88,5 % ≈ 89 %
Les mesures de dispersion servent à décrire la dispersion ou la concentration
des données d’une distribution.
L’étendue est une de ces mesures.
Elle est très facile à calculer.
Dans notre exemple :
2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.
On fait la différence entre le minimum et le maximum de la distribution.
Étendue = max. – min. =
12
– 2
= 10
L’étendue de cette distribution est de 10 ans.
Nous verrons plus tard d’autres mesures de dispersion.
La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre
une distribution de données et facilitent la prise de décision.
Exemple 1 : Voici une liste de salaire :
25 000 $, 30 000 $, 32 000 $, 34 000 $, 40 000 $, 42 000 $, 46 000 $.
Dans cette liste, ce serait la moyenne qui nous donnerait la meilleure
information sur le salaire moyen, soit 35 571,43 $.
L’étendue vient appuyer cette moyenne.
Étendue : 46 000 $ - 25 000 $ = 21 000 $.
La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre
une distribution de données et facilitent la prise de décision.
Exemple 2 : Voici une autre liste de salaire :
25 000 $, 30 000 $, 35 000 $, 40 000 $, 45 000 $, 50 000 $, 2 400 000 $.
Moyenne : 375 000 $.
Dans cette liste, la moyenne est trompeuse; cela est dû au seul salaire
de 2 400 000 $.
L’étendue vient appuyer ce fait.
Étendue : 2 400 000 $ – 25 000 $ = 2 375 000 $.
Ici, ce serait la médiane qui serait le meilleur indicateur du salaire
moyen soit 40 000 $.
La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre
une distribution de données et facilitent la prise de décision.
Exemple 3 :
Voici une distribution sur les différentes longueurs (cm) de skis
vendus cet hiver chez « Ski doux » :
105, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 115, 115, 120, 120, 120, 135,
135, 135, 140, 140, 140.
Le propriétaire de ce magasin utilisera probablement le mode pour
commander la grandeur de ski pour l’an prochain.
Mo : 110 cm
Les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion
sont des outils permettant de comprendre une situation et de faire
des prédictions.
Il y en a encore beaucoup d’autres.