ANNEXE I : Les Files d'attentes

Généralités Etude analytique de la file d'attente M / M / 1 Le théorème de Jackson Etude par simulation de M / M / 1

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Files d'attente (1/2)

Station de service est un système aléatoire composé de 1 file d'attente 1 ou plusieurs serveurs exécutant des tâches identiques, en général de manière identique ...

Egalement caractérisé par

- politique de gestion de sa file (PAPS, DAPS, ...) - la distribution de probabilité de durées des services - capacité de sa file d'attente

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Files d'attente (2/2)

A : B : s : d : e : Notation de Kendall : A / B / s / d / e indique la loi d'entrée (M = Exponentielle, ...) indique la loi de service indique le nombre de serveurs indique le nombre maximum de clients qui peuvent être contenus dans le système (y compris les clients en service), par défaut indique la discipline de gestion de la file d'attente , par défaut PAPS.

Plusieurs stations de services interconnectées de manières quelconque = Réseaux de Files d'attente Ouvert Fermé Mixte Les entités naissent et meurent : Elles traversent le réseau Le nombre d'entité est fixe à tout instant : Elles y circulent indéfiniment Réseau à la fois ouvert et fermé

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Etude de la file M/M/1 (1/2)

Processus des arrivées : Défini par la loi de distribution des temps des inter-arrivées Arrivée = Service = File d'attente = Processus Poissonien de paramètre l Distribution des inter-arrivées exponentielle Distribution exponentielle de taux m 1 serveur Politique PAPS et Capacité infine Soit p(n,t) la proba qu'à l'instant t, il y ait n clients dans le système p(n,t+dt) = p(n,t).(1-( l + m ).dt) + p(n-1,t).( l .dt) + p(n+1,t).( m .dt) + O(dt) 1 2 3 4

1- On en avait donc n à l'instant t et aucun client n'est arrivé ou n'a été servi 2- On avait n-1 client(s) et un client est arrivé 3- On avait n+1 clent(s) et un client a quitté de système 4- Probabilité qu'il se produise plus d'un événement durant dt.

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Etude de la file M/M/1 (2/2)

En dérivant, et en écrivant les conditions initiales, on obtient les équations différentielles qui régissent le système On sait calculer p(n,t) analytiquement Condition de Stationnarité Si t tend vers l'infini, ( ...) p(n)=p(o).( l / m ) n p(0)=1 l / m l m < 1 Critères de performances

Nombre moyen L de client dans le système

L =   0 = r/(1-r)

Taux d'occupation du serveur r

r =

1 - p(O)

= l/m

Temps moyen de résidence d'un client dans le système

W =

L / l

= 1/ (m-l)

d'après la formule de LITTLE Cours de Modélisation-Simulation / B. JULLIEN - F. GRIMAUD / 44

Théorème de JACKSON (réseaux ouverts)

 e    avec Probabilité d'entrer dans le système par la station i P ij e i Probabilité de transition de la station i vers la station j Nombre moyen de passage par la station i pour un client donné Conditions d'application Nombre de serveurs fixé pour chaque station, arrivée suivant un processus de Poisson, politique de gestion PAPS changement de station avec probabilité Critères de performance pour la file d'attente i : r i = l i m , i L = r /(1- r ) , i i i i l i

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