Transcript Modèles stochastiques Modèle de file d`attente

Modèles stochastiques
Modèle de file d’attente
1. Structure de base
Système de file d'attente
Population
Population:
clients
file
entrants
d'attente
service
clients
servis
La population constitue la source de clients potentiels. Elle est
caractérisée par son nombre d'élément (fini ou infini).
Clients:
Les clients (issus de la population) se joignent au système avec un
taux moyen d'arrivée.
File d'attente: La file d'attente est caractérisée par le nombre maximum permis
de clients en attente (fini ou infini)
Service:
Le service peut être assuré par un ou plusieurs serveurs. Le temps
qui s'écoule entre le début et la fin de service d'un client est dénoté
le temps de service suivant une distribution de probabilité. Donc le
taux de service est une autre caractéristique du système.
1. Structure de base
Système de file d'attente
Population
clients
file
entrants
d'attente
service
clients
servis
Stratégie de: La stratégie de service réfère à l'ordre selon laquelle les clients
service
sont servis: premier arrivé premier servi, au hasard, selon des
priorité,
Hypothèses:
Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué
exponentiellement
Le temps de service est aussi distribué exponentiellement
Terminologie et notation:
Pn  t   Probabilité d'avoir n clients dans le système au temps t
s
 Nombre de serveurs
n
 Taux moyen d'arrivée (espérance mathématique du nombre d'arrivées
par unité de temps) de nouveaux clients dans le système lorsque n clients
sont dans le système
Paramètre définissant la distribution exponentielle des arrivées lorsque
n clients sont dans le système
1
n
n
 Temps moyen entre les arrivées lorsque n clients sont dans le système
 Taux moyen de service d'un client lorsque n clients sont dans le système
Paramètre définissant la distribution exponentielle du service d'un client
lorsque n clients sont dans le système
1
n
 Temps moyen de service d'un client lorsque n clients sont dans le système
Quand nous commençons à analyser un système de file d'attente, l'état de ce
dernier dépend beaucoup de l'état initial et du temps écoulé. Nous disons alors
que le système est en situation transitoire, et son étude est alors très complexe.
C'est pourquoi dans la théorie des files d'attente, nous préférons faire l'étude une
fois que le système a atteint sa situation d'équilibre où les états du système sont
essentiellement indépendantes de l'état initial et du temps déjà écoulé.
On suppose en quelque sorte que le système est en opération depuis un
très long moment.
Notation et terminologie lorsque la situation d'équilibre tient:
Pn  Probabilité qu'il y ait n clients dans le système
L  Nombre moyen  espérance mathématique  de client dans le système
Lq  Nombre moyen de client dans la file d'attente  excluant ceux dans le service 
W  Temps moyen dans le système
Wq  Temps moyen dans la file (excluant le temps de service)
s  Nombre de serveurs
De plus, définissons
Alors
L   nPn
   n Pn
Lq    n  s  Pn
Par les formules de Little
n
 taux moyen d'arrivée 
n
n s
L  W
Lq   Wq
Donc, essentiellement il faut d'abord déterminer les Pn
pour compléter l'étude d'une file d'attente
2. Processus de naissance et de mort
Hypothèses:
Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué
exponentiellement
Le temps de service est aussi distribué exponentiellement
Sous les hypothèse précédentes, une file d'attente peut être vu comme un
processus de naissance et de mort:
naissance  arrivée du client
mort  départ du client du système après son service
Dans le processus de naissance et de mort:
Hyp. 1: Naissance  Le temps s'écoulant entre deux naissances consécutives
est distribué exponentiellement
Hyp. 2:
Mort  Le temps s'écoulant entre deux morts consécutives
est aussi distribué exponentiellement
Hyp. 3: Chaque transition à partir de l'état n est de type
n   n  1
 une seule naissance 
ou n   n  1
 une seule mort 
Diagramme de transition entre les états
0
0
n
n
1
2
1
1
2
2
3
n2
n 1
n1
n
n 1
n
n
n1
n 1
 Taux moyen de naissance lorsque n personnes sont dans le système
 Taux moyen de mort lorsque n personnes sont dans le système
Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de
Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide
des n et n .
MAIS les équations d'équilibre suivantes donne un système d'équations plus
facile à résoudre pour identifier les  j :
M
 j q j    i qij
j  0,
,M
i 0
i j
M
Interprétation intuitive:
 j q j : taux auquel le processus part de j

j 0
j
1
puisque  j : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état j
q j : taux de transition pour sortir de l'état j étant donné que le
processus est dans l'état j
 i qij : taux de passage de l'état i à l'état j
puisque qij : taux de transition de l'état i à l'état j étant donné que le
processus est dans l'état i
M
 q
i 0
i j
i ij
: taux de passage à l'état j quelque soit l'état i dans lequel se trouve
le processus
Donc il s'ensuit que
taux de départ de j = taux d'arrivée à j
Interprétation intuitive:
 j q j : taux auquel le processus part de j
puisque  j : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état j
q j : taux de transition pour sortir de l'état j étant donné que le
processus est dans l'état j
 i qij : taux de passage de l'état i à l'état j
puisque qij : taux de transition de l'état i à l'état j étant donné que le
processus est dans l'état i
M
 q
i 0
i j
i ij
: taux de passage à l'état quelque soit l'état i dans lequel se trouve
le processus
Donc il s'ensuit que
taux de départ de j = taux d'arrivée à j
Nous utilisons donc par la suite ces
ÉQUATIONS DE BALANCE
ÉQUATIONS DE BALANCE
Équations d'équilibre
M
 j q j    i qij
j  0,
Intensités de transition
,M
M
q j   q ji .
i 0
i j
M

j 0
j
i 0
j i
1
Remplaçons les valeurs des q j dans les équations d'équilibre:
M
M
M
i 0
i j
i 0
i j
i 0
i j
 j q j    i qij   j  q ji    i qij
j  0,
,M
Donc les équations de balance deviennent
M
M
i 0
i j
i 0
i j
 j  q ji    i qij
M

j 0
j
1
j  0,
,M
taux de départ de j = taux d'arrivée à j
Diagramme de transition entre les états
0
0
n
n
1
2
1
1
2
2
3
n2
n 1
n1
n
n 1
n
n
n1
n 1
 Taux moyen de naissance lorsque n personnes sont dans le système
 Taux moyen de mort lorsque n personnes sont dans le système
Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de
Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide
des n et n .
Nous pouvons donc appliquer les équations de balance pour déterminer les
probabilités à l'équilibre Pn .
Diagramme de transition entre les états
0
0
1
1
n2
2
1
2
2
n 1
n1
3
n
n 1
n
n
n1
n 1
Nous pouvons donc appliquer les équations de balance pour déterminer les
probabilités à l'équilibre Pn .
Équations de balance deviennent
 j  q ji    i qij
i j

j
j
i j
1
j  0,1, 2,
Diagramme de transition entre les états
0
0
1
1
n2
2
1
2
2
n 1
n1
3
n
n 1
n
n
Équations de balance deviennent
 j  q ji    i qij
i j

j
i j
1
j
Pour n  0
P0 o  P11
Pour n  1, 2,
Pn  n   n   Pn 1n 1  Pn 1 n 1
j  0,1, 2,
n1
n 1
Diagramme de transition entre les états
0
0
1
1
2
n2
2
1
2
3
n 1
n1
1
n
n
n1
0
P0
1


 
1
P2  1 P1   1 P1  0 P0   1 P1  1 0 P0
2
2
2
 2 1
P1 
P0 o  P11
Pour n  1, 2,
Pn  n   n   Pn 1n 1  Pn 1 n 1

Pn1 
n
1
Pn 
 P   P 
n1
n1 n n n1 n1
0
2
2
2
2 1 0
1
P3 
P2   2 P2  1 P1  
P2 
P0
3
3
3
3 2 1
0
n
n 1
Pour n  0
État n
0
n
n 1
n
n
n
1
Pn 1 
Pn 
Pn 
 n Pn  n1Pn1  
n 1
n 1
n 1
n 1
0
2 1 0
P0
3 2 1
État n
0
1
0
P
1 0


 
1
P2  1 P1   1 P1  0 P0   1 P1  1 0 P0
2
2
2
 2 1
P1 
0
2
P3 
2

  
1
P2   2 P2  1 P1   2 P2  2 1 0 P0
3
3
3
3 2 1
0
n
Pn 1 
n


1
Pn 
 n Pn  n1Pn1   n Pn  n
n 1
n 1
n 1
n 1
0
Pour simplifier
n 1
Pn 
 i
i 0
n
 i
i 1
P0
n  1, 2,
2 1 0
P
3 2 1 0
Pour simplifier
n 1
Pn 
 i
i 0
n
 i
n  1, 2,
P0
i 1
Pour déterminer P0 , nous utilisons
n 1


 i


i 
1

i 0
i 0
1   Pj  P0   n
P0  P0 1   n   P0 
n 1
j
n 1  
n 1  
 i

i
i 
i 1
i 1
i 0


1  n
n 1  
i
n 1
i 1
Équations de balance deviennent
 j  q ji    i qij
i j

j
j
i j
1
j  0,1, 2,
3. File d'attente infinie avec un serveur  s  1 : M / M / 1
Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent
comme dans un processus de naissance et de mort où
n  
n  
n 
 i.e., indépendants du nombre de clients dans le système
n 
Diagramme de transition entre les états

0
1



2






n 1

n

n 1
n 1
Alors
Pn 
P0 
1
n 1
1 
n 1
 i

i 0
n
 i
1
 i
i 0
n
 i
P0
n  1, 2,
i 1


 
n 0   

n
1
P0 
n 1
1 
n 1
 i
i 0
n
 i
i 1
i 1
Sous l'hypothèse que  < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

 1, et la progression géométrique

n

1


 

n 0   
1

Notons que la condition


1

assure que le système pout atteindre
l'équilibre. Autrement le système
explose!!
Alors
1
P0 
n 1
 i

1   i n 0
n 1  
i
1



n 1 


n
i 1
Sous l'hypothèse que  < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

 1, et la progression géométrique

n

1


 

n 1   
1


Par conséquent,
1

P0 
 1
1

1


n 1
Par conséquent,
1

P0 
 1
1

Pn 
 i
i 0
n
 i
P0
n  1, 2,
i 1

1

P0 
1
n 1
 i
1   i n0
n 1  
i
i 1
De plus
n 1
Pn 
 i
n
       
P0  P0     1    
       
 i
n
i 0
n
i 1
Introduison la notion de facteur d'utilisation



 représente en quelque sorte la proportion du temps que le serveur est occupé.
Il s'ensuit que
Pn  1     n
n  0,1, 2,
Il s'ensuit que
Pn  1     n
n  0,1, 2,
Calculons maintenant les caractéristiques de la file d'attente M / M / 1
a) Nombre moyen de clients dans le système


n 0
n 0
L   nPn  n 1     n

 1      n
n 1
n 0

d
n

 
d

n 0
 1     
d   n
 1    
 


d   n 0 
d  1 
1
 1    

  1    
2
d   1  
1






1 




1



 
Il s'ensuit que
Pn  1     n
n  0,1, 2,
b) Nombre moyen de clients dans la file d'attente

Lq    n  1 Pn
n 1


n0
n 1
  nPn   Pn
 L  1  P0 


 



2

   
L

 
Il s'ensuit que
Pn  1     n
n  0,1, 2,
L

 
2
Lq 
   
c) Temps moyen pour un client dans le système
L
L

1
1
W   

      




puisque

=

P


P




n n
n


n 0
n 0


d) Temps moyen pour un client dans la file d'attente
Lq Lq
2
1

Wq 




           
4. File d'attente infinie avec s serveurs : M / M / s
Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent
comme dans un processus de naissance et de mort où
n  
1  
2  2
 3  3
n







 s 1   s  1 

n  s
n  s 
chaque serveur a un taux de service de  ,
mais le taux de service depend du nombre

de clients dans le système; si le nombre est

inférieur à s seul un sous-ensemble de serveurs

egal au nombre de clients sont actifs; si le nombre
de clients est superieur ou égal a s, les s

serveurs sont actifs


Diagramme de transition entre les états

0



1
2
2
3

s
n 1
Dénotons le facteur d'utilisation  comme suit:
s 

 1.
s


n
s
n 1
s
Notons que la condition  s 

1
s
assure que le système pout atteindre
l'équilibre. Autrement le système
explose!!
S'appuyant sur les équations
de balance, nous pouvons
déterminer les probabilités Pn
Équations de balance deviennent
 j  q ji    i qij
i j

j
j
i j
1
j  0,1, 2,
  

 s 1    



1

P0        
 n 0 n !
s ! 1  s 




n
s
s

P0    s

Lq    2
s !1   s 
Wq 
Lq

W  Wq 
1


1

L  W   Wq    Lq 



1
   n
 
   P
 n ! 0
Pn  
n
 
   
P0

 s ! n  s  !
si 1  n  s
si s  1  n
5. File d'attente finie avec 1 serveur  s  1 : M / M / 1/ K
Considérons la situation où le système a une capacité finie K ; i.e., si le nombre
de clients dans le système est K , alors il ne peut entrer dans le système et il est
perdu.
Nous avons donc un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se
produisent comme dans un processus de naissance et de mort où

n  
0
si n  K  1

n  
0
si n  K
si n  K
si n  K  1
Diagramme de transition entre les états

0



1
2






K 2

K 1

K
n 1
Alors
Pn 
1
P0 
n 1
K
1 
n 1
 i
i 0
n
 i

1



n 0 

K
 i
i 0
n
 i
P0
n  1,
i 1
n
P0 
1
n 1
 i
1   i n 0
n 1  
i
K
i 1
i 1
Sous l'hypothèse que  < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

 1, alors


     Notons que la condition   1
1    
n
K
        assure que le système pout atteindre

  
    l'équilibre. Autrement le système
n 0   
 1   
    explose!!

K 1
,K
Alors
1
P0 
n 1
K
 i
1   i n 0
n 1  
i

1


 
n 0   
K
n
i 1
Sous l'hypothèse que  < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

 1, alors

    K 1 
1    
n
K
   

  
 
n 0   
 1   
   

Par conséquent,

1  
    1 
P0 
K 1
1   K 1

1  

où  


n 1
Par conséquent,
Pn 

1  

1 

P0 

K 1
K 1
1



1  

où  
P0 
Pn 
 i
,K
 i
i 1
P0  P0  n 
1
n 1
 i
1   i n 0
n 1  
i
i 1
n 1
i 0
n
 i
P0
i 1


De plus, pour n  1,
 i
i 0
n
1 
n

1   K 1
n  1,
,K
Donc pour n  0,1,
,K
1 
n
Pn 

1   K 1
Calculons maintenant les caractéristiques de la file d'attente M / M /1
K
L   nPn 
n 0


1 
K  1  K 1


1   K 1
Lq    n  1 Pn  L  1  P0 
n 1
W
Wq 
L

Lq
