Transcript Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost
q
an 1
an
Vztah pro n-tý člen
an  a1  q n 1
Vztah pro libovolné dva členy
ar  a s  q r  s
Vztah pro součet prvních n členů
q  1  sn  a1  n
q  1  sn  a1 
qn 1
q 1
Grafem geometrické posloupnosti je množina izolovaných bodů.
Př. Určete první 4 členy geometrické posloupnosti, a znázorněte je graficky.
Dále určete 10.člen a součet prvních 8 členů.
a1= -4 , q= ½ .
Řešení :
1
a2  a1q  4 *  2
2
1
a3  a2 q  2 *  1
2
1
1
a4  a31q  1*  
2
2
an  a1  q n 1
9
1
1
a10  a1  q10 1  a1  q 9  4     
128
2
sn  a1 
qn 1
q 1
8
1
  1
255
2
s8  4   

1
32
1
2
Př. Určete první 4 členy geometrické posloupnosti a znázorněte graficky :
a)
a 1  1, q  2
b)
a 1  2, q  1
c)
a 1  9, q 
d)
1
3
a 1  8, q  0,5
Př. Určete prvních 5 členů posloupnosti, je-li dáno :
a) a1=0.1, a2= -0.3
q
an 1 a2  0.3


 3
an
a1
0.1
a3  a1  q n 1  0.1  3  0.1 9  0.9
2
a4  0.1  3  0.1  27  2.7
3
a5  0.1  3  0.1 81  8.1
4
b) a2=-12, a3= -6
c) a4=-16, a5= 32
d) a3= -1, a4= 0.1
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a)
a1 = -1 , q= 2 , určete a10 , s5
b)
a1 = 9 , q= 0.1 , určete a8 , s10
c)
a1 = 6 , q= 1/4 , určete a5 , s4
d)
a1 = 1 , q= -1/2
, určete a11 , s10
Př. Určete první 4 členy geometrické posloupnosti, je-li dáno :
a)
a4 = 2 , q = ¼
an  a1  q n 1
a4  a1  q 3  a1 
a4
q3
3
4
a1 
 2     2  64  128
3
1
1
 
4
1
a2  128  32
4
1
a3  32   8
4
2
b) a3 = 10 , q = -1/5
c) a5 = -1.5 , q = -1/2
d) a4 = 0.5 , q = 1/6
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a5  a1  q 4  a1 
a) a5=0.27 , q=-1/3 , určete a8
3
 1
a8  a5  q 85  0.27      0.01
 3
nebo
a1 
0.27
 1
 
 3
4
a5
q4
27
27 81
 100 
  21.87
1
100 1
81
7
 1
a8  a1  q  21.87      0.01
 3
7
b) a10=1/16 , q= -2 , určete a15
c) a12= 8.1 , q= 1/3 , určete a16
d) a7= 1/25 , q= -5 , určete a11
Př. V geometrické posloupnosti je dáno a3 = 18 , a5 = 162 . Určete kvocient .
a5  a3  q 2
162  18 q 2
9  q2
q  3...q1  3, q2  3
První posloupnost :
a1  2, q  3
Druhá posloupnost :
a1  2, q  3
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a)
a21 = 4 , a16 = 1/8
b)
a5 = -162 , a7 = -1458
c)
a27 = 1/128 , a22 = 1/4
d)
a3 = -1 , a6 = -1/64 .
Určete kvocient .
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
q= -2 , s6 = -21 . Určete a6
qn 1
s6  a1 
q 1
6

 2  1
 21  a1 
 2  1
 21  a1   21
a1  1
a6  a1  q 5  1  2  32
5
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a)
q= -3 , s4 = -80 . Určete a4
b)
q= 1/2 , s6 = 63 . Určete a5
c)
q= 4 , s5 = -1023 . Určete a3
Př. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí :
a3  a1  16  0
a4 a 2 48  0
Řešíme jako soustavu rovnic. Členy an vyjádříme pomocí prvního členu a1 a kvocientu, a provedeme
úpravy pomocí vytýkání. Obě rovnice pak navzájem dělíme a získáme q, dosazení do jedné z rovnic
dopočítáme a1 .
a3  a1  16  0
a4  a 2 48  0


a1  
a1q 2  a1  16
a1q 3  a1q  48



a1 q 2  1  16


a1q q  1  48
2

1 16 4 1



q 48 12 3
q3

a1 q 2  1  16
vydělit
16
16
   2
2
3  1 8
Př. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí :
a)
a5  40  a3
a1  a3  10
b)
a2  a4  60
a1  a3  15
Př. Určete n, je-li v geometrické posloupnosti dáno :
an  0.003
Řešení :
an  a1  q n 1
0.003  3  0.1n 1
0.003
 0.1n 1
3
0.001 0.1n 1
a1  3
q  0.1
0.13  0.1n 1
3  n 1
n4
Př. Určete n, je-li v geometrické posloupnosti dáno :
a)
an  162, a1  2, q  3
b)
an  3125, a1  32, q  2.5
c)
an  32, a1  1, q  2
Př. Mezi čísla 2/3 a 162 vložte čtyři čísla tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost.
Řešení : čísla budou
2/3 , x , x , x , x , 162
a1 
2
3
a6  162
a2 
a6  a1  q 5
a4  6  3  18
2 5
q
3
243  q 5
a5  18 3  54
162 
q3
2
3  2
3
a3  2  3  6
Řada čísel bude 2/3 , 2 , 6 , 18 , 54 , 162
Př. Mezi čísla 3/2 a 8/27 vložte tři čísla tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost.