Geometrická posloupnost
Download
Report
Transcript Geometrická posloupnost
Geometrická posloupnost
q
an 1
an
Vztah pro n-tý člen
an a1 q n 1
Vztah pro libovolné dva členy
ar a s q r s
Vztah pro součet prvních n členů
q 1 sn a1 n
q 1 sn a1
qn 1
q 1
Grafem geometrické posloupnosti je množina izolovaných bodů.
Př. Určete první 4 členy geometrické posloupnosti, a znázorněte je graficky.
Dále určete 10.člen a součet prvních 8 členů.
a1= -4 , q= ½ .
Řešení :
1
a2 a1q 4 * 2
2
1
a3 a2 q 2 * 1
2
1
1
a4 a31q 1*
2
2
an a1 q n 1
9
1
1
a10 a1 q10 1 a1 q 9 4
128
2
sn a1
qn 1
q 1
8
1
1
255
2
s8 4
1
32
1
2
Př. Určete první 4 členy geometrické posloupnosti a znázorněte graficky :
a)
a 1 1, q 2
b)
a 1 2, q 1
c)
a 1 9, q
d)
1
3
a 1 8, q 0,5
Př. Určete prvních 5 členů posloupnosti, je-li dáno :
a) a1=0.1, a2= -0.3
q
an 1 a2 0.3
3
an
a1
0.1
a3 a1 q n 1 0.1 3 0.1 9 0.9
2
a4 0.1 3 0.1 27 2.7
3
a5 0.1 3 0.1 81 8.1
4
b) a2=-12, a3= -6
c) a4=-16, a5= 32
d) a3= -1, a4= 0.1
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a)
a1 = -1 , q= 2 , určete a10 , s5
b)
a1 = 9 , q= 0.1 , určete a8 , s10
c)
a1 = 6 , q= 1/4 , určete a5 , s4
d)
a1 = 1 , q= -1/2
, určete a11 , s10
Př. Určete první 4 členy geometrické posloupnosti, je-li dáno :
a)
a4 = 2 , q = ¼
an a1 q n 1
a4 a1 q 3 a1
a4
q3
3
4
a1
2 2 64 128
3
1
1
4
1
a2 128 32
4
1
a3 32 8
4
2
b) a3 = 10 , q = -1/5
c) a5 = -1.5 , q = -1/2
d) a4 = 0.5 , q = 1/6
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a5 a1 q 4 a1
a) a5=0.27 , q=-1/3 , určete a8
3
1
a8 a5 q 85 0.27 0.01
3
nebo
a1
0.27
1
3
4
a5
q4
27
27 81
100
21.87
1
100 1
81
7
1
a8 a1 q 21.87 0.01
3
7
b) a10=1/16 , q= -2 , určete a15
c) a12= 8.1 , q= 1/3 , určete a16
d) a7= 1/25 , q= -5 , určete a11
Př. V geometrické posloupnosti je dáno a3 = 18 , a5 = 162 . Určete kvocient .
a5 a3 q 2
162 18 q 2
9 q2
q 3...q1 3, q2 3
První posloupnost :
a1 2, q 3
Druhá posloupnost :
a1 2, q 3
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a)
a21 = 4 , a16 = 1/8
b)
a5 = -162 , a7 = -1458
c)
a27 = 1/128 , a22 = 1/4
d)
a3 = -1 , a6 = -1/64 .
Určete kvocient .
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
q= -2 , s6 = -21 . Určete a6
qn 1
s6 a1
q 1
6
2 1
21 a1
2 1
21 a1 21
a1 1
a6 a1 q 5 1 2 32
5
Př. V geometrické posloupnosti je dáno :
a)
q= -3 , s4 = -80 . Určete a4
b)
q= 1/2 , s6 = 63 . Určete a5
c)
q= 4 , s5 = -1023 . Určete a3
Př. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí :
a3 a1 16 0
a4 a 2 48 0
Řešíme jako soustavu rovnic. Členy an vyjádříme pomocí prvního členu a1 a kvocientu, a provedeme
úpravy pomocí vytýkání. Obě rovnice pak navzájem dělíme a získáme q, dosazení do jedné z rovnic
dopočítáme a1 .
a3 a1 16 0
a4 a 2 48 0
a1
a1q 2 a1 16
a1q 3 a1q 48
a1 q 2 1 16
a1q q 1 48
2
1 16 4 1
q 48 12 3
q3
a1 q 2 1 16
vydělit
16
16
2
2
3 1 8
Př. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí :
a)
a5 40 a3
a1 a3 10
b)
a2 a4 60
a1 a3 15
Př. Určete n, je-li v geometrické posloupnosti dáno :
an 0.003
Řešení :
an a1 q n 1
0.003 3 0.1n 1
0.003
0.1n 1
3
0.001 0.1n 1
a1 3
q 0.1
0.13 0.1n 1
3 n 1
n4
Př. Určete n, je-li v geometrické posloupnosti dáno :
a)
an 162, a1 2, q 3
b)
an 3125, a1 32, q 2.5
c)
an 32, a1 1, q 2
Př. Mezi čísla 2/3 a 162 vložte čtyři čísla tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost.
Řešení : čísla budou
2/3 , x , x , x , x , 162
a1
2
3
a6 162
a2
a6 a1 q 5
a4 6 3 18
2 5
q
3
243 q 5
a5 18 3 54
162
q3
2
3 2
3
a3 2 3 6
Řada čísel bude 2/3 , 2 , 6 , 18 , 54 , 162
Př. Mezi čísla 3/2 a 8/27 vložte tři čísla tak, aby s danými čísly tvořila geometrickou posloupnost.