Transcript Document 1092363

Výukový materiál zpracován v rámci projektu
EU peníze školám
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208
Šablona:
III/2
č. materiálu:
VY_32_INOVACE_116
Jméno autora:
Mgr. Iva Vrbová
Třída/ročník:
3.E/ třetí ročník
Datum vytvoření:
3. 3. 2013
Vzdělávací oblast:
Člověk a logické myšlení
Tematická oblast:
Posloupnosti
Předmět:
Matematika
Název učebního materiálu:
Geometrická posloupnost – příklady II.
Výstižný popis způsobu
využití, případně metodické
pokyny:
Prezentace obsahuje řešené příklady na
procvičení vztahu pro součet několika
prvních členů GP a příklady pro
samostatné řešení (u složitějších je
přiložen návod)
Klíčová slova:
Geometrická posloupnost; Součet členů
GP
Druh učebního materiálu:
prezentace
Procvičení vzorce pro součet GP:

Sečtěte daný počet prvních členů GP
a) a1  1, q  5, s10  ?
hledáme součet 10 členů

qn 1
s n  a1 
q 1
q 1
 a1 
q 1
10
s10
5 1
 1 
5 1
10
s10
s10  2 441 406
1
b) a1  4, a 4   , s5  ?
2
nejprve určete GP: a 4  a1  q
q 1
s 5  a1 
q 1
5
5
 1
  1
2

s5  4 
1
 1
2
11
s5 
4
1
3
  4q
2
1
  q3
8
1
q
2
3
c) a1  3, a10  3, s 25  ?
nejprve určete GP: a10  a1

q 1

s n  n  a1
s 25  25  a1
s 25  25  3
s 25  75
d) a8  4, a10  16, s 20  ?
a10  a8  q
16  4q
4  q2
q  2
2
GP1: a1 = 1/32, q = 2
2
a8  a1  q
s 20
q 20  1
 a1 
q 1
1 2 20  1
s 20 

32 2  1
s 20  32 767,968 75
7
4  a1   2
7
4  a1  128 4  a1   128 
1
1
a1  
a1 
32
32
GP2: a1/ = –1/32, q / = –2
1  2  1
 
32
 2 1
/
s 20
 10 922,656 25
20
/
s 20
1
e) a1  243, q  , s10  ?
3
s10
29 524

81
f ) a1  4, a3  64, s15  ?
GP1: a1  4, q  4; s15  1 431 655 764
GP1: a1  4, q  4; s15  858 993 460
g) a6  9, a7  27, s 20  ?
GP : a1  1 / 27, q  3; s 20  32 285 040,74
h) a 2  5, a5  625, s9  ?
GP : a1  1, q  5; s9  2 441 405
Příklady pro samostatné řešení
 Geometrická posloupnost

Součet prvních jedenácti členů GP se rovná 683.
Vypočítejte první a poslední člen, když q =1/2.
a1 = 1024; a11 = 1

Vyroste-li z jednoho zrna za rok průměrně 16 zrn,
jaké množství zrn vyroste z jednoho zrna za 10 let?
s10 je přibližně 7,33 . 1010 zrn

GP o šesti členech má součet všech členů roven 63 a
součet sudých členů je 42. Určete tuto GP.
aNávod:
1 = 1; q = 2
Součet sudých členů a lichých členů musí dát dohromady
součet všech členů dané posloupnosti.

V sedmičlenné GP je součet prvních tří členů 26 a
posledních tří 2 106. Určete tuto GP.
Návod:a1 = 2; q = 3
GP1:
Součet sudých členů a lichých členů musí dát dohromady
GP
2: a1 = 26/7;
q = –3
součet všech
členů dané posloupnosti.

Mezi čísla 4 a 108 vložte 2 čísla tak, aby s danými
čísly tvořila GP.
hledaná dvojice: {12; 36}

Mezi kořeny rovnice x2 – 325x + 1 600 = 0
vložte 5 čísel tak, aby vznikla GP.
hledaná pětice: {10; 20; 40; 80; 160}

Mezi kořeny rovnice x2 – 136x + 1 024 = 0
vložte 3 čísla tak, aby vznikla GP.
hledaná trojice: {16; 32; 64}

Určete součet prvních čtyř členů GP, jestliže krajní
sčítance tvoří čísla 8 a 216.
320

Určete součet prvních pěti členů GP, jestliže krajní
sčítance tvoří čísla 6 a 1 536.
2 040

Mezi čísla 2 a 4 096 vložte deset čísel tak, aby s
danými čísly tvořila GP. Určete součet vložených
členů.
4 092

Mezi čísla 5 a 640 vložte tolik čísel, aby s danými
čísly tvořila GP a součet vložených členů byl 630.
Návod:
n
=
8:
{5;
10;
20;
40;
80;
160;
320;
640}
n–1
n
.
–1
Opět použijte: q = q q , ale zároveň si uvědomte, že
součet všech čísel získáme sečtením vložených a krajních
členů dohromady, tzn. sn = 630 + a1 + an.

Kvádr, jehož hrany tvoří GP, má povrch 78 cm2 a
součet hran, které procházejí jedním vrcholem, je
13 cm. Určete objem kvádru.
Návod:
V = 27 cm3
V = abc = a1 . a2 . a3
S = 2ab + 2bc + 2ac = 2a1 . a2 + 2a2 . a3 + 2a1 . a3
Nezapomeňte zafixovat délku prostřední hrany, protože pak
a1 = a2/q a a3 = a2 . q.

Součet prvních n členů GP je 6 141, první člen je 3
a poslední 3 072. Vypočítejte počet členů součtu a
kvocient dané posloupnosti.
q = 2; n = 11
Návod:
Použijte vzorec pro součet, pro n-tý člen a nezapomeňte, že
platí i „staré“ vzorce pro mocniny: qn–1 = qn . q–1.

Součet prvních n členů GP je 16 400, poslední člen
je 10 935 a kvocient 3. Vypočítejte počet členů
součtu a první člen dané posloupnosti.
a1 = 5, n = 8

Která GP má tu vlastnost, že součet prvních osmi
členů je 82 krát větší než součet prvních čtyř členů?
Návod:
Úloha má tři řešení
.
s8 = 82 s4 a q  1 (delší vzorec pro součet), protože
pro q = 1 by platilo s8 = 2 . s4.GP1: q = + 3, a1  R – {0}
4 = x.
Vzniklou rovnici řešte pomocíGP2:
substituce:
q = – q3,
a1  R – {0}
GP3: q = – 1, a1  R – {0}

Která GP má tu vlastnost, že součet prvních osmi
členů je 17 krát větší než součet prvních čtyř členů?
GP1: q = + 2, a1  R – {0}
GP2: q = – 2, a1  R – {0}
GP3: q = – 1, a1  R – {0}
Použitá literatura:

ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a
finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005.
ISBN 8071962392. Kapitola 2, s. 31–40

JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M.
Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd.
Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5,
s. 138–147