Entwicklung stochastischen Denkens in der Grundschule

Entwicklung stochastischen Denkens

Mathematik in der Grundschule Zahl Muster und Strukturen Raum und Form Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit Maße und Messen

Entwicklung stochastischen Denkens

Stochastische Aktivitäten

Lehrperson Repräsentationsformen

enaktiv

ikonisch symbolisch Stochastik Kind

Unser Programm: Materialien für eine enaktive, „hands on“, adaptive Entwicklung stochastischer Kompetenzen in Kindergarten und Grundschule

Entwicklung stochastischen Denkens bereits im Kindergarten

Stochastische Aktivitäten im Kindergarten: kategorisieren und sortieren

Spielen und Entwicklung stochastischen Denkens

Stochastische Aktivitäten im Kindergarten

Spielen und Entwicklung stochastischen Denkens

Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit im Kindergarten

Materialien für Klasse 1 und 2: 1.

2.

3.

Würfel Magnetplättchen für Säulendiagramme an der Tafel Steckwürfel für Säulendiagramme und für Merkmalkodierung 4. Taler

Die Augensummen zweier Würfel

Klasse 1 und 2

2. Die Augensummen zweier Würfel

Das Säulendiagramm der Augensummen

2.

Die etwas anderen Münzen

Zur Frage eines kohärenten Curriculums in der Primarstufe

• Kristallisationspunkt

Urne

einschließlich

Kodierung

• explizites Benennen des Urnen-Konzeptes • •

Kategorisierung

(vorschul. Alter) • Quantifizierte Kategorisierung (Grundschule)

Normalisierung

(Sekundarstufe)

Die stochastische Urne

 als Konzept  als Artefakt  als Modell

Der Vorstellungsraum Urne

Angestrebtes Ziel: Über das konkrete Hantieren mit Urnen den Vorstellungsraum Urne bei den Schülerinnen und Schülern entwickeln Nicht ausschließlich als Überwindung des konkreten Hantierens, sondern auch um die Fähigkeit auszubilden ggf. konkrete Urnen herzustellen

Materialien für die Klassen 3 und 4: 1.

2.

3.

Glücksräder Kärtchen für Wasonsaufgaben Urnen und Steckwürfel

Die Wasonsaufagabe in der 3. Klasse Von „Schliessen unter Sicherheit“ zu „Schliessen unter Unsicherheit“

Blinde Ziehungen

Aus welcher Box soll man ziehen, wenn man „weiß“ ziehen will?

PISA Aufgabe; in Deutschland haben nur 27% der Schüler/Innen diese Aufgabe gelöst.

Manchmal fällt es uns leicht Proportionen zu vergleichen…

…manchmal ist es schwer…

Wir brauchen Instruktion (Dehaene, 2005)

Aus „Core Knowledge of Geometry in an Amazonian Indigene Group“ by Dehaene, Izard, Pica, Spelke, Science 2006 Mehr als 85% korrekter Antworten, N = 93

Urnenarithmetik in Klasse 3

*

ähnlich

*

Fishbein, Pampu & Manzat (1970) Martignon, Wassner (2004)

Mehr als 80% der Kinder können nach 6 Stunden Zusammenarbeit sehr gut mit der Urnenarithmetik umgehen.

Martignon & Wassner, 2004 Martignon & Kurz-Milcke, 2005

Bedingte Wahrscheinlichkeiten -Die Formel von Bayes-

p(B  A)  p(A  B )  p(B) p(A  B)  p(B)  p(A  B )  p( B )

Die Formel von Bayes erlaubt "rückwärtsgerichtete" Aussagen. So gibt sie Informationen darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis B eintritt, wenn Ereignis A bereits vorliegt.

Sie berechnet also die Wahrscheinlichkeit von B gegeben A.

Probabilities

0.01

0.99

Breast Cancer No Breast Cancer 0.8

M+

0.2

0.1

M M+

0.9

M P(C|M+) = 7% Natural Frequencies M+

8 10 C 1000 ¬C 2

M+

99 990 891

P(C|M+) = 8 of 107

Urne “Reihenuntersuchung”

Sortieren, Vergleichen, Abzählen

Beispiel: Diagnostisches Denken

Ein “Gedankenexperiment” Wir geben einer Person diese beiden Quader in die Hand mit den bekannten Erläuterungen: rot grün : Auftreten einer bestimmten Krankheit blau weiß : Resultate eines med. Tests für diese Krankheit Was könnte diese Person sinnvollerweise mit den Quadern tun?

In der Welt der natürlichen Häufigkeiten • bewegen wir uns immer in einer ganz bestimmten Grundgesamtheit, • kategorisieren wir und zählen ab, • kennen wir keine Normalisierung.

Diese Welt läßt sich besonders gut mit konkreten Urnen-Modellen simulieren.

Die konkreten Urnen-Modelle

implizieren zwei grundlegende Arten von Handlungen: (1) Das Analysieren ihres Inhaltes Was ist in der Urne drin?

(2) Das Ziehen aus der Urne Welches Ereignis tritt als nächstes ein?

Die 4. Klasse

… mit blindem Ziehen

Die 4. Klasse

12 Schilder 13 Schilder 17 Mädchen 8 Jungen

Die “Wir-Urne”

Die Jungen und die Mädchen

Urnen-Geschichten Stadion Kino Arbeitsblatt: “An einem Samstagnachmittag im November gehen eine ganze Menge Menschen ins Stadion / ins Kino ….”

Beobachtung

• Das eigene Handeln (sprich: das Abzählen) nachprüfbar zu machen ist bei den meisten Schüler/-innen spontan kein handlungsleitendes Kriterium.

Zählen, aber bitte nachprüfbar

Mit der “Urne” Fragen beantworten Arbeitsblatt: Wie viele Zuschauer sind an diesem Samstagnachmittag im Stadion?

“Urnen-Baum” Bsp. Kino

Entwicklung des Baumdiagramms • jede “Ebene”des Urnen-Baums enthält die gesamte Kino-Urne • repräsentationale Neubeschreibung

Zu den Bäumen

• Alternative: Vier-Felder Tafel • Bäume mit mehr als zwei Merkmalen möglich Krauss, S. & Martignon, L. (2000) • Kombinatorisches Denken u.a. Malmendier, N. & Kaeseler, P. (1985). Zahlenkombinationsschloß mit drei Ziffern & Steckwürfeltürme mit drei Farben

Binären Bäumen: ein Spiel

inspiriert von Engel, Varga, & Walser (1974) Abwandlung: Urnen als Zufallsgeneratoren • repräsentieren den Spielverlauf • werden von uns nach bestimmten Regeln hergestellt • sind gegenständlich und manipulierbar

Das Komponieren von äquivalenten, sprich ähnlichen Urnen

Pizzateig für…

Graphische Darstellungen der Kinder

Die 4. Klasse