Transcript Vectores

Vectores
CAPÍTULO 7
Contenidos
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7.1 Vectores en 2 Dimensiones
7.2 Vectores en 3 Dimensiones
7.3 Producto Escalar
7.4 Producto Vectorial
7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones
7.6 Espacios Vectoriales
7.7 Proceso de Ortogonalización de
Gram-Schmidt
7.1 Vectores en 2 Dimensiones
• Repaso de Vectores
Vuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.
Fig 7.1 (Vectores geométricos)
Fig 7.2 (Vectors equivalentes)
Fig 7.3 (Vectores paralelos)
Fig 7.4 (suma)
Fig 7.5 (resta)
Fig 7.6 (vectores de posición)
Ejemplo 1
• Observe la Fig 7.7.
Fig 7.7
DEFINICIÓN 7.1
Suma, Producto por un Escalar, Igualdad
Sea a = <a1, a2>, b = <b1, b2> vectores en R2
(i) Suma: a + b = <a1 + a2, b1 + b2>
(1)
(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>,
k es un escalar
(2)
(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)
a – b = <a1− b1, a2 − b2>
PP
1 2  OP2  OP1   x2  x1 , y2  y1 
(4)
Solución Gráfica
• Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y
resta de dos vectores.
Ejemplo 2
Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a +
3b.
Solución
Usando (1), (2), (4), tenemos
a  b   1  (6), 4  3  5, 7 
a  b   1  (6), 4  3  7, 1 
2a  3b   2, 8    18, 9  16, 17 
Propiedades
• (i) a + b = b + a
(ii) a + (b + c) = (a + b) + c
(iii) a + 0 = a
(iv) a + (−a) = 0
(v) k(a + b) = ka + kb
k escalar
(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares
(vii) k1(k2a) = (k1k2)a
k1, k2 escalares
(viii) 1a = a
(ix) 0a = 0 = <0, 0>
• 0 = <0, 0>
Longitud, Norma
2
2
||
a
||

a

a
• a = <a1 , a2>, entonces
1
2
Naturalmente, tenemos ||a||  0, ||0|| = 0
Vector Unitaros
• Un vector cuya norma vale 1 se denomina
vector unitario.
u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto
que
1
1
|| u || 
a 
|| a || 1
|| a ||
|| a ||
Ejemplo 3
• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la
misma dirección u es
1
1
u
a
 2,  1 
5
5
y
2 1
u   ,
5 5
2 1
,
5 5
Los vectores i, j
• Si a = <a1, a2>, entonces
 a1, a2 
  a1, 0    0, a2   a1  1, 0   a2  0, 1  (5)
Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se
transforma en
a = a 1i + a 2j
(6)
Fig 7.10
Ejemplo 4
• (i) <4, 7> = 4i + 7j
(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j
(iii) || i  j ||  2
(iv) 10(3i – j) = 30i – 10j
(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos
y b = (3/2)a
Ejemplo 5
Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b
Solución
Fig 7.11
7.2 Vectores en 3 Dimensiones
• Repaso
Vualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24.
• Fig 7.22
Fig 7.23
Fig 7.24
Ejemplo 1
Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).
Solución
Fig 7.25.
Formula de Distancia
d ( P1, P2 )  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 (1)
• Fig 7.26
Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
d  (2  (1)) 2  (3  (7)) 2  (6  4)2  29
Formula del Punto Medio
 x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 


2
2 
 2
(2)
Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
De (2), tenemos
 2  (1) ,  3  (7) , 6  4    1 ,  5, 5 

 

2
2  2
 2

Vectores en 3 Dimensiones
a  a1, a2 , a3 
• Fig 7.27.
DEFINICIÓN 7.2
Definiciones en 3 Dimensiones
Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3
(i)
a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>
(ii)
ka = <ka1, ka2, ka3>
(iii)
a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv)
–b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>
(v)
a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>
(vi)
0 = <0, 0 , 0>
(vi) || a ||  a12  a22  a32
Fig 7.28
Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)
Solución
P1P2  OP2  OP1
  1  4, 8  6, 3  (2) 
 3, 2, 5 
Ejemplo 5
• De la Definición 7.2, tenemos
2  3  6
4  9  36

|| a ||          
1
49
 7 7 7
2
2
2
Los vectores i, j, k
• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>
 a1, a2 , a3 
  a1, 0, 0    0, a2 , 0    0, 0, a3 
 a1  1, 0, 0   a2  0, 1, 0   a3  0, 0, 1 
a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j
Fig 7.29
Ejemplo 6
a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j
Ejemplo 7
(a) a = 5i + 3k está en el plano xz
(b)|| 5i  3k ||  52  32  34
Ejemplo 8
Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b
Solución
5a − 2b = 13i − 20j + 48k
7.3 Producto Escalar
DEFINICIÓN 7.3
Producto Escalar de Dos Vectores
El producto escalar de a y b es el escalar
a．b  || a || || b || cos 
(1)
donde  es el ángulo que forman los vectores 0    .
Fig 7.32
Ejemplo 1
• De (1) obtenemos
i  i = 1, j  j = 1, k  k = 1
(2)
Producto Escalar en Forma de Componentes
|| c || || b ||2  || a ||2 2 || a || || b || cos
|| a || || b || cos  1/ 2(|| b ||2  || a ||2  || c ||2
a．b  a1b1  a2b2  a3b3
• Fig 7.33
(3)
(4)
Fig 7.33
Ejemplo 2
• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k,
entonces
1

a．b  (10)    (2)(4)  (6)(3)  21
 2
Propiedades
• (i) a  b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0
(ii) a  b = b  a
(iii) a  (b + c) = a  b + a  c
(iv) a  (kb) = (ka)  b = k(a  b)
(v) a  a  0
(vi) a  a = ||a||2
Orthogonal Vectors
• (i) a  b > 0 si y sólo si  es agudo
(ii) a  b < 0 si y sólo si  es obtuso
(iii) a  b = 0 si y sólo si cos  = 0,  = /2
TEOREMA 7.1
Criterio de Vectores Ortogonales
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si
a  b = 0.
• Observación: Como 0  b = 0, decimos que el
vector nulo es ortogonal a todos los vectores.
Ejemplo 3
i, j, k son vectores ortogonales.
i  j = j  i = 0, j  k = k  j = 0, k  i = i  k = 0 (5)
Ejemplo 4
Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces
a  b = –6 – 14 + 20 = 0
Son ortogonales.
Ángulo que Forman Dos Vectores
a1b1  a2b2  a3b3
cos  
|| a || || b ||
(6)
Ejemplo 5
Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.
Solución
|| a ||  14, || b ||  27 , a．b  14
14
42
cos 

14 27 9
1 
42 
  cos 
  0.77
 9 
  44.9
Cosenos Directores
Observando la Fig 7.34, los ángulos , ,  se llaman
ángulos directores. Ahora por (6)
a．i
a．j
a．k
cos 
, cos  
, cos 
|| a || || i ||
|| a || || j ||
|| a || || k ||
a3
a1
a2
cos  
, cos  
, cos  
|| a ||
|| a ||
|| a ||
decimos que cos , cos , cos  son cosenos directores, y
1
a1
a2
a3
a
i
j
k  (cos )i  (cos  ) j  (cos  )k
|| a ||
|| a || || a || || a ||
cos2 + cos2 + cos2 = 1
Fig 7.34
Ejemplo 6
Hallar los cosenos directores y los ángulos
directores de a = 2i + 5j + 4k.
Solución
|| a ||  22  52  42  45  3 5
cos 
2
3 5
, cos 
5
3 5
, cos  
4
3 5
Componentes de a en b
• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces
a1  a．i, a2  a．j, a3  a．k
Escribimos los componentes de a como
(7)
compia  a．i, compja  a．j, compk a  a．k (8)
Observe la Fig 7.35. El componente de a en
cualquier vector b es
compba = ||a|| cos 
(9)
escribiendo (9) como
|| a || || b || cos  a．b
comp ba 
|| b ||

|| b ||
 1  ab
 a．
b 
b
 || b || 
(10)
Fig 7.35
Ejemplo 7
Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y
compab.
Solución
De (10), a  b = −3
1
1
|| b ||  6,
b
(i  j  2k )
|| b ||
6
1
3
compba  (2i  3j  4k )． (i  j  2k )  
6
6
1
1
|| a ||  29,
a
(2i  3j  4k )
|| a ||
29
1
3
compbb  (i  j  2k )．
(2i  3j  4k )  
29
29
Interpretación Física
• Observe la Fig 7.36. Si F produce un
desplazamiento d de un cuerpo, entonces el
trabajo realizado es
W=Fd
(11)
Fig 7.36
Ejemplo 8
Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a
(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.
Solución
d = 3i + 5j
W = F  d = 26 N-m
Proyección de a sobre b
• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i
es
proyia  (compia)i  (a  i)i  a1i
• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre
b es
 1   a b 
proyb a  (compb a) b   
b
 b   b b 
(12)
Fig 7.37
Fig 7.38
Ejemplo 9
Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j.
Solución
1
11
compba  (4i  j) 
(2i  3j) 
13
13
22 33
 11  1 
proyba  

(2i  3j)  i  j
13 13
 13  13 
Fig 7.39
7.4 Cross Product
DEFINICIÓN 7.4
Producto Vectorial de Dos Vectores
El producto vectorial de dos vectores a y b es
(1)
a  b  (|| a || || b || sin  )n
donde  es el ángulo entre ellos, 0    , y n
es un vector unitario perpendicular al plano de a y b
Con la dirección que viene dada por la regla de la
mano derecha.
Fig 7.46
Ejemplo 1
• Para entender el sentido físico del producto vectorial,
observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento  producido
por la fuerza F que actúa en la posición final del
vector r está dado por  = r  F.
Fig 7.47
Fig 7.48
Propiedades
• (i) a  b = 0, if a = 0 or b = 0
(ii) a  b = −b  a
(iii) a  (b + c) = (a  b) + (a  c)
(iv) (a + b)  c = (a  c) + (b  c)
(v) a  (kb) = (ka)  b = k(a  b)
(vi) a  a = 0
(vii) a  (a  b) = 0
(viii) b  (a  b) = 0
TEOREMA 7.2
Criterio de Vectroes Paralelos
Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo si
si a  b = 0.
Ejemplo 2
• (a) De propiedades (iv)
i  i = 0, j  j = 0, k  k = 0
(2)
(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a,
entonces a y b son paralelos. Así a  b = 0
• Si a = i, b = j, entonces


i  j   || i || || j || sin  n  n
(3)

2
Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k.
Por lo que
ij=k
Ejemplo 3
• De Fig 7.49, tenemos
i j  k 

j  k  i  y de la propiedad(ii)
k  i  j 
 i  i  k

 k  j  i
 i  k  j

(4)
Fig 7.49
Alternative Definition
• Como
a  b  (a1i  a2 j  a3k )  (b1i  b2 j  b3k )
 a1i  (b1i  b2 j  b3k )  a2 j  (b1i  b2 j  b3k )
 a3k  (b1i  b2 j  b3k )
 a1b1 (i  i )  a1b2 (i  j)  a1b3 (i  k )
(5)
 a2b1 ( j  i )  a2b2 ( j  j)  a2b3 ( j  k )
 a3b1 (k  i )  a3b2 (k  j)  a3b3 (k  k )
tenemos
a  b  (a2b3  a3b2 )i  (a1b3  a3b1 ) j  (a1b2  a2b1 )k (6)
También podemos escribir (6) como
ab 
a2
a3
b2
b3
i
a1 a3
b1
b3
a1 a2
j
k
b1 b2
(7)
Por otro lado, (7) se transforma en
i
j
k
a  b  a1 a2
a3
b1
b2
b3
(8)
Ejemplo 4
Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a  b.
Solución
De (8), tenemos
i
j
k
ab  4  2
5
3
1 1

2
5
1 1
i
4
5
3 1
j
4 2
3
1
k
Productos Especiales
• Tenemos
a1 a2
a．(b  c)  b1 b2
c1 c2
a3
b3
c3
(9)
se denomina el producto mixto. Los
resultados siguientes se dejan como ejercicio.
a  (b  c)  (a．c)b  (a．b)c
(10)
Area y Volumen
• Area de un paralelograma
A = || a  b||
Area de un triángulo
A = ½||a  b||
Volumen del paralelepípedo
V = |a  (b  c)|
Fig 7.50 y Fig 7.51
(11)
(12)
(13)
Fig 7.50
Fig 7.51
Ejemplo 5
Hallar el area del triángulo definido por los puntos
(1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).
Solución
Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos
vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>
i
j
k
2
3
1
3
1
2
P1P2  P2 P3  1
2
3 
i
j
k
3 5
1 5
1 3
1 3 5
 i  8 j  5k
1
3
A  || i  8 j  5k ||  10
2
2
Vectores Coplanarios
a  (b  c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.
7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones
• Rectas: Ecuación Vectorial
Fig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2,
entonces
r – r2 = t(r2 – r1)
(1)
Si escribimos
a = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1>
= <a1, a2, a3>
(2)
luego (1) implica que una ecuación vectorial para
la recta es
r = r2 + ta
donde a se llama vector director.
Fig 7.55
Ejemplo 1
Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por
(2, –1, 8) y (5, 6, –3).
Solución
Definimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.
Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones
vectoriales de la recta:
 x, y, z    2,  1, 8   t  3,  7, 11 
(3)
 x, y, z    5, 6,  3   t  3,  7, 11 
(4)
 x, y, z    5, 6,  3   t  3, 7,  11 
(5)
Ecuación Paramétrica
• También podemos escribir (2) como
x  x2  a1t ,
y  y2  a2t ,
z  z2  a3t
(6)
las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones
paramétricas .
Ejemplo 2
Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del
Ejemplo 1.
Solución
De (3), se tiene
x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t
(7)
De (5),
x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t
(8)
Ejemplo 3
Determinar un vector a que sea paralelo a la
recta:
x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3t
Solución
a = 9i + 5j – 3k
Ecuación continua
• De (6)
x  x2 y  y2 z  z2
t


a1
a2
a3
siendo ai son no nulos. Entonces
x  x2 y  y2 z  z2


a1
a2
a3
se dice que es una ecuación continua.
(9)
Ejemplo 4
Determinar la ecuación continua para la recta
que pasa por
(4, 10, −6) y (7, 9, 2)
Solución
Definimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1,
a3 = 2 – (–6) = 8, luego
x7 y 9 z 2


3
1
8
Ejemplo 5
Determinar la ecuación continua para la recta
que pasa por
(5, 3, 1) y (2, 1, 1)
Solución
Definimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2,
a3 = 1 – 1 = 0,
luego
x5 y 3

,
3
2
z 1
Fig 7.56
Ejemplo 6
Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y
continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es
paralela a a = 5i – 10j + 2k.
Solución
Ec. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)
Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t,
x4 y6 z3
Ec. Continua:


5
 10
2
Planos: Ecuación Vectorial
• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector
normal a un plano. Cualquier vector del plano
debe ser perpendicular al vector normal, esto
es
n  (r – r1) = 0
(10)
Fig 7.57
Ecuaciones Cartesianas
• Si el vector normal es ai + bj + ck , entonces la
ecuación cartesiana del plano que contiene a
P1(x1, y1, z1) es
a(x – x1) + a(y – y1) + c(z – z1) = 0
(11)
Ejemplo 7
Determine el palno que contiene (4, −1, 3) y es
perpendicular a n = 2i + 8j − 5k
Solución
De (11):
2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0
ó
2x + 8y – 5z + 15 = 0
• ecuación (11) también puede escribirse como
ax + by + cz + d = 0
(12)
TEOREMA 7.3
Plano con Vector Normal
La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0,
a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal
n = ai + bj + ck
Ejemplo 8
• Un vector normal al plano 3x – 4y + 10z – 8 = 0
es n = 3i – 4j + 10k.
• Dados tres puntos no alineados, P1, P2, P3,
elegimos P1 como le punto origen. Observe la
Fig 7.58, Podemos obtener
[(r2  r1 )  (r3  r1 )]．(r  r1 )  0
(13)
Fig 7.58
Ejemplo 9
Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 −1),
(3, 1, 4) y (2, −2, 0).
Solución
Obtenemos dos vectores a partir de los puntos dados,
u = <2, 1, 5> y v = <1, 3, 4>.
(1,0,1)
u  2i  j  5k ,
(3,1,4)
(3,1,4)
 v  i  3 j  4k ,
(2,2,0)
(2,2,0)
w  ( x  2)i  ( y  2) j  zk ,
( x, y , z ) 
Ejemplo 9 (2)
i
j k
u  v  2 1 5  11i  3j  5k
1 3 4
Si escogemos (2, −2, 0) como el punto origen,
entonces
<x – 2, y + 2, z – 0>  <−11, −3, 5> = 0
 11( x  2)  3( y  2)  5 z  0
 11x  3 y  5 z  16  0
Gráficas
• La gráfica de (12) caundo faltan una o ods
variables sigue siendo un plano.
Ejemplo 10
Gráfica 2x + 3y + 6z = 18
Solución
Poniendo: y = z = 0 nos da x = 9
x = z = 0 nos da y = 6
x = y = 0 nos da z = 3
Fig 7.59.
Fig 7.59
Ejemplo 11
Gráfica 6x + 4y = 12
Solución
Esta ecuación carece de la variable z, por lo cual
el plano es paralelo al eje z.
Puesto que
x = 0 nos da y = 3
y = 0 nos da x = 2
Fig 7.60.
Fig 7.60
Ejemplo 12
Gráfica x + y – z = 0
Solución
Priemro observamos que el plano pasa por
(0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0,
entonces z = y.
Fig 7.61
• Dos planos no paralelos se cortan en una recta.
Observe la Fig 7.62. Fig 7.63 ilustra la
intersección de una recta con un plano.
Fig 7.62
Fig 7.63
Ejemplo 13
Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la
intersección de
2x – 3y + 4z = 1
x–y–z=5
Solución
Priemro dejamos que sea z = t,
2x – 3y = 1 – 4t
x–y=5+t
luego x = 14 + 7t, y = 9 + 6t, z = t.
Ejemplo 14
Determinar el punto de intersección del plano
3x – 2y + z = −5 y la recta x = 1 + t, y = −2 + 2t, z = 4t.
Solución
Suponemos que (x0, y0, z0) es el punto de intersección.
3x0 – 2y0 + z0 = −5
y
x0 = 1 + t0, y0 = −2 + 2t0, z0 = 4t0
entonces 3(1 + t0) – 2(−2 + 2t0) + 4t0 = −5, t0 = −4
Así, (x0, y0, z0) = (−3, −10, −16)
7.6 Espacios Vectoriales
• n Dimensiones
Similar al de 3 dimensiones
ka   ka1, ka2 , , kan 
(1)
a  b   a1  b1, a2  b2 , , an  bn 
a．b   a1, a2 , , an ． b1, b2 , , bn 
 a1b1  a2b2    anbn
(2)
DEFINICIÓN 7.5
Espacio Vectorial
Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen
las operaciones de suma de vectores y producto por un
escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si
se cumple lo siguiente.
DEFINICIÓN 7.5
Espacio Vectorial
Axiomas para la suma vectorial
(i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V.
(ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x
(iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z
(iv) Existe un único vector 0 de V, tal que
0+x=x+0=x
(v) Para cada x de V, existe un vector −x de V,
tal que x + (−x) = (−x) + x = 0
DEFINICIÓN 7.5
Espacio Vectorial
Axiomas para el producto por un escalar
(vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V.
(vii) k(x + y) = kx + ky
(viii) (k1+k2)x = k1x+ k2x
(ix) k1(k2x) = (k1k2)x
(x) 1x = x
Propiedades (i) y (vi) are called the closure axioms.
Ejemplo 1
Determinar si cada uno de los conjuntos
(a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto
por un escalar son espacios vectoriales.
Solución
(a) V = {1}, viola muchos de los axiomas.
(b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un
espacio vectorial.
Además, se denomina el espacio vectorial
nulo o trivial.
Ejemplo 2
Considere el conjunto V de todos los números
reales positivos. Si x y y denotan números reales
positivos, entonces escribimos vectores como x
= x, y = y. Ahora la suma de vectores se define
como
x + y = xy
y producto por un escalar como
kx = xk
Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.
Ejemplo 2 (2)
Solución
Repasamos los 10 axiomas.
(i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0
(ii) Para todo x = x, y = y de V,
x+y=x+y=y+x= y+x
(iii) Para x = x , y = y, z = z de V
x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z
(iv) Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = x
El vector nulo 0 es 1 = 1
Ejemplo 2 (3)
(v) Si definimos −x = 1/x, entonces
x + (−x) = x(1/x) = 1 = 1 = 0
−x + x = (1/x)x = 1 = 1 = 0
(vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces
kx = xk > 0
(vii) Si k es un escalar,
k(x + y) = (xy)k = xkyk = kx + ky
(viii) (k1+k2)x = xk1+k2 = xk1xk2 = k1x+ k2x
(ix) k1(k2x) = (xk2 )k1 = xk1k2 = (k1k2)x
(x) 1x = x1 = x = x
DEFINICIÓN 7.6
Subespacio
Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en
sí mismo un espacio vectorial con las mismas
operaciones de suma de vectores y producto por un
escalar definidas en V, entonces W se denomina un
subespacio de V.
TEOREMA 7.4
Criterios para un Subespacio
Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y
sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma
de vectores y producto por un escalar definidas en V:
(i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W.
(ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera,
entonces kx es de W.
Ejemplo 3
• Suponemos que f y g son funciones continuas y de
valor real definidas en (−, ). Sabemos que f + g y
kf, para cualquier número real k, son continuas y de
valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de
que C(−, ) es un subespacio del espacio vectorial
de funciones de valores reales definidas en (−, ).
Ejemplo 4
• El conjunto Pn de polinomios de grado menor
o igual que n es un subespacio de C(−, ).
DEFINICIÓN 7.7
Independencia Lineal
Un conjunto de vectores {x1, x2, …, xn} se dice que es
linealmente independiente, las únicas constantes que
satisfacen
k1x1 + k2x2 + …+ knxn = 0
(3)
son k1= k2 = … = kn = 0. Si el conjunto de vectores no es
linealmente independiente, es linealmente
dependiente.
• Por ejemplo:
i, j, k son linealmente independiente.
<1, 1, 1> , <2, –1, 4> y <5, 2, 7> son
linealmente dependiente, porque
3<1, 1, 1> + <2, –1, 4> − <5, 2, 7> = <0, 0, 0>
3a + b – c = 0
DEFINICIÓN 7.8
Base de un Espacio Vectorial
Considere un conjunto de vectores B = {x1, x2, …, xn} de
un Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente
independiente y si todo vector de V puede expresarse
Como combinación lineal de estos vectores, entonces
se dice que B es una base de V.
• Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres
vectores linealmente independientes es una base de R3.
Por ejemplo
<1, 0, 0>, <1, 1, 0>, <1, 1, 1>
• Base Estándar: {i, j, k}
Para Rn : e1 = <1, 0, …, 0>, e2 = <0, 2, …, 0> …..
en = <0, 0, …, 1>
(4)
Si B es un base, entonces existen cierto escalares
tales que
(5)
v  c1x1  c2x2    cn xc
donde estos escalares ci, i = 1, 2, .., n, se llaman
coordenadas de v respecto de la base B.
DEFINICIÓN 7.8
Dimensión de un Espacio Vectorial
Se dice que el número de vectores de una base B del
espacio vectorial V es la dimensión del espacio.
Ejemplo 5
(a) Las dimensiones de R, R2, R3, Rn son
respectivamente 1, 2, 3, n.
(b) Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x2, …, xn}.
La dimensión es n + 1
(c) La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.
ED Lineales
• La solución general de la siguiente ED
dny
d n1 y
dy
an ( x) n  an1 ( x) n1    a1 ( x)  a0 ( x) y  0
dx
dx
dx
(6)
puede escribirse como y = c1y1 + c1y1 + … cnyn y
se dice que es espacio solución. Así {y1, y2, …,
yn} es una base.
Ejemplo 6
La solución general de y” + 25y = 0 es
y = c1 cos 5x + c2 sen 5x
entonces {cos 5x , sin 5x} es una base.
Span
• Si S denota un conjunto cualquiera de
vectores {x1, x2, …, xn} entonces al
combinación lineal
k1x1 + k2x2 + … + knxn
se llama span de los vectores y se escribe
como Span(S) o Span{x1, x2, …, xn}.
Otras formas de Definiciones 7.8 y 7.9
• Un conjunto S de vectores {x1, x2, …, xn} de un
espacio vectorial V es una base, si S es
linealmente independiente y es un conjunto de
span de V. El número de vectores de este conjunto
de span S es la dimensión del espacio V.
7.7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process
• Base Ortonormal
Todos los vectores de la base son ortogonales
entre sí y tienen la longitud unidad.
Ejemplo 1
• El conjunto de vectores
1 1 1
w1 
, ,
,
3 3 3
2 1 1
w2  
,
,
,
(1)
6 6 6
1
1
w 3  0,
,
2
2
es linealmente independiente en R3. De ahí que B =
{w1, w2, w3} es una base. Como ||wi|| = 1, i = 1, 2, 3,
wi  wj = 0, i  j, B es una base ortonormal.
TEOREMA 7.5
Coordenadas respecto a una Base Ortonormal
Supongamos que B = {w1, w2, …, wn} es una base
ortonormal de Rn. Si u es un vector cualquiera de Rn,
entonces u = (u  w1)w1 + (u  w2)w2 + … + (u  wn)wn
• Demostración
Como B = {w1, w2, …, wn} es una base
ortonormal, entonces cualquier vector puede
expresare como
u = k1w1 + k2w2 + … + knwn
(2)
(u  wi) = (k1w1 + k2w2 + … + knwn)  wi
= ki(wi  wi) = ki
Ejemplo 2
Determinar las coordenadas de u = <3, – 2, 9>
respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1.
Solución
10
u  w1 
, u  w2 
3
10
1
u
w1 
w2 
3
6
1
11
, u  w3  
6
2
11
w3
2
Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
• La transformación de la base B = {u1, u2} en
una base ortogonal B’= {v1, v2} consta de dos
pasos. Fig 7.64.
v1  u1
 u 2  v1 
v2  u2  
 v1
 v1  v1 
(3)
Fig 7.64(a)
Fig 7.64(b)
Fig 7.64(c)
Ejemplo 3
Sea u1 = <3, 1>, u2 = <1, 1>. Transformarlos en
una base ortonormal.
Solución
v1  u1  3, 1 
De (3)
4
1 3
v 2  1, 1    3, 1   ,
10
5 5
Normalizando:
1
w1 
v1 
v1
w2 
Fig 7.65
3
1
,
10 10
1
1
3
v2  
,
v2
10 10
Fig 7.65
Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
• Para R3:
v1  u1
 u 2  v1 
v2  u2  
 v1
 v1  v1 
 u3  v1 
 u3  v 2 
v 3  u3  
 v1  
v2
 v1  v1 
 v2  v2 
(4)
• Observe la Fig 7.66. Suponemos que
W2 = Span{v1, v2}, entonces
 u3  v1 
 u3  v 2 
x
 v1  
v2
 v1  v1 
 v2  v2 
es de W2 y se llama proyección ortogonal de u3
sobre W2, denotado por x = proyw2u3.
 u 3  v1 
 u3  v 2 
 v1  
 v 2
x  proy w2 u 3  
 v1  v1 
 v2  v2 
 u 2  v1 
 v1
x  proy w1 u 2  
 v1  v1 
(5)
(6)
Fig 7.66
Ejemplo 4
Sea u1 = <1, 1, 1>, u2 = <1, 2, 2>, u3 = <1, 1, 0>.
Transformarlos en una base ortonormal.
Solución
De (4)
v1  u1  1, 1, 1 
 u 2  v1 
5
2 1 1
v2  u2  
 v1  1, 2, 2    1, 1, 1)   , ,
3
3 3 3
 v1  v1 
 u3  v1 
 u3  v 2 
1 1
v 3  u3  
 v1  
 v 2  0, , 
2 2
 v1  v1 
 v2  v2 
Ejemplo 4 (2)

2 1 1
1 1 
B  v1 , v2 , v3    1,1,1 ,  , , , 0, ,  
3 3 3
2 2 

6
2
1
v1  3 , v 2 
, v3 
y wi 
v i , i  1, 2, 3,
3
2
vi
B  w1 , w 2 , w 3 
w1 
1 1 1
2 1 1
,
,
, w2  
,
,
,
3 3 3
6 6 6
1
1
w 3  0,
,
,
2
2
TEOREMA 7.6
Proceso de Ortogonalización
Sea B = {u1, u2, …, um}, m  n, una base del subespacio Wm de
Rn. Entonces {v1, v2, …, vm}, donde
v1  u1
u  v 
v 2  u 2   2 1  v1
 v1  v1 
 u3  v1 
 u3  v 2 
v 3  u3  
 v1  
v2
 v1  v1 
 v2  v2 

 u m  v m1 
 u m  v1 
 um  v2 
vm  um  
 v m1
 v1  
v2    
 v1  v1 
 v2  v2 
 v m1  v m1 
es una base ortogonal de Wm. Una base ortonormal de Wm es
 1

1
1
B  w1, w 2 , , w m    v1,
v 2 , ,
vm 
v2
vm
 v1
