Transcript Carl Friedrich Gauss principe de las matemáticas

CARL FRIEDRICH GAUSS
PRINCIPE DE LAS MATEMATICAS
(I)
Autora: Florentina Martínez Martínez
Tutor: Francisco Martínez González
Nació el 30 de Abril de 1777 en el ducado de Brunswick-Lüneburg
(Alemania), en un entorno poco proclive a las matemáticas, hijo de
una familia humilde y trabajadora. Como la mayor parte de los
genios Gauss se manifestó como niño prodigio a muy temprana
edad, aprendió a leer por su cuenta y a los tres años ya sumaba y
restaba, mostrando un talento natural para los números que
causaba la admiración de todos los que le rodeaban.
De su madre, Dorothea Benze, que no
había recibido ningún tipo de
educación, heredó la inteligencia, y su
tío Friedrich hermano de su madre,
fue quien le estimuló a interesarse por
el universo de los números y que
resultó fundamental en su posterior
carrera como matemático. Su padre,
Gebhard Dietrich, hombre honesto y
trabajador, no estaba de acuerdo con
que su hijo prosiguiera sus estudios en
el campo de la Ciencia, dado que la
solvencia económica familiar no era lo
suficientemente holgada, sin embargo,
Dorothea fue quien empujó a su hijo
hacia el conocimiento.
Con siete años Karl inicia sus estudios
elementales en la Escuela dirigida por el
señor Büttner,
Katherinen Volkschule,
asombrando a sus maestros por su
capacidad de cálculo y de razonamiento.
Casa natal
Con tan sólo diez años de edad descubrió de forma
intuitiva la fórmula de la suma de las progresiones
aritméticas:
1+100= 2+99= 3+98=….=48+53=49+52=50+51
Luego
50 x 101= 5.050
Impresionado con su
alumno, Büttner le regaló
el mejor manual de
aritmética que existía en
la época y le manifestó
que nada más podía
enseñarle. Aparece en su
vida Christian Martin
Bartels un joven profesor
de matemáticas en su
misma escuela y asistente
de Büttner, que años más
tarde sería catedrático en
la Universidad de Kazán
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Pese a la fuerte oposición de su padre, en 1788
Gauss ingresa en el Gymnasium Catharineum,
colegio preparatorio donde estudió latín y
griego y progresó en matemáticas. Bartels a
través de sus amistades influyentes en la corte,
logró presentar a Gauss al Duque Karl
Wilhelm Ferdinand, Duque de BrunswickWolfenbuttel, (1.735-1.806), quien pese a las
resistencias del clero y la nobleza, llevó a cabo
la reforma del sistema de educación. Gauss
recibe del Duque una generosa cantidad de
dinero para continuar sus estudios, tras la
impresión que le causan sus aptitudes para las
matemáticas y sus dotes para el cálculo. Con 14
años Gauss abandona la corte con su futuro
más inmediato garantizado y el regalo que el
Duque le hace, las tablas de logaritmos de
Johann Carl Schulze
Gauss fue el primero en intuir la realidad de
una geometría distinta a la de Euclídes. En sus
cuadernos de notas se lee el comentario: “Estoy
convencido de que prescindir del postulado de las
paralelas no lleva a ninguna contradicción,
aunque se obtengan propiedades que resulten
paradójicas”. Durante casi 40 años Gauss
estudió el Postulado de las paralelas sin mostrar
a nadie sus resultados y manteniéndolos
cuidadosamente en secreto. La documentación
más importante para avalar sus investigaciones
es la correspondencia que mantuvo con la
familia Bolyai y los comentarios que han
podido recopilarse de sus notas personales.
Duque Karl
Wilhelm
Ferdinand,
(1.735-1.806)
Gauss ingresó en 1792 en el
Collegium Carolinum, donde pasó
tres años y destacó como el mejor
alumno por su capacidad para el
análisis científico, para comprender
sin esfuerzos teoremas muy
complicados y una formación
clásica poco habitual para un joven
de su edad. Su tenaz estudio de las
matemáticas junto a Bartels, dio sus
frutos causando el asombro de
compañeros y profesores, ya que
descubrió por sí mismo la Ley de
Bode, (una ley de astronomía que
describe la distancia entre el Sol y
los planetas), así como comprender
el
teorema
binomial
para
exponentes racionales. Su deseo de
estudiar la distribución de los
números primos y los fundamentos
esenciales de la geometría le vino de
sus lecturas de entonces, Newton,
Bernouli y las memorias del
matemático suizo Leonhard Euler.
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En 1795 Gauss recibe una nueva beca del Duque que le va a permitir proseguir sus
estudios en la Universidad Georgia de Augusta de Göttingen, dudando si convertirse en
matemático o en filólogo, siendo su segunda pasión el estudio de las lenguas clásicas y de
otros idiomas, para lo cual también tenía una mente privilegiada. Su encuentro con el
húngaro Farkas Bolyai apasionado de los números y la geometría como él, hizo que
finalmente se decidiera por continuar su labor como matemático. Gauss siempre afirmó
que Bolyai fue el único que supo interpretar sus criterios metafísicos sobre las
matemáticas.
Lo que definitivamente le llevó a
decantarse por las matemáticas
fue el primero de sus grandes
descubrimientos. Así, en 1796
cuando con diecinueve años llevó
a cabo la construcción de un
polígono regular de diecisiete
lados, lo cual significó un gran
avance para de las matemáticas,
dado que combinó razonamientos
geométricos
y
algebraicos,
llegando a la conclusión de que en
un
polígono
de
estas
características, el número de sus
lados debía ser potencia de 2 o
potencia de 2 multiplicada por
uno o más números primos
impares. Esta demostración de
Gauss perduró como una de las
herramientas más usadas en
matemáticas:
trasladar
un
problema desde un dominio inicial
como la geometría a otro distinto
como el álgebra y resolverlo en
éste último
Universidad
de Helmstedt
Después
de
estudiar
en
Göttingen
(1795-1798),Gauss
regresa a su pueblo natal y
trabaja en investigaciones que
tenía en su cabeza desde los 17
años, manteniendo sólo contacto
con Bolyai., centrándose en
darle forma a la obra sobre la
Teoría
de
los
Números,
Disquisiciones
arithmeticae,
concluida en 1798 y publicada
en 1801.
A su regreso de Göttingen, Gauss compagina su labor
como astrónomo del duque y preceptor particular, con
visitas usuales a la biblioteca de la Universidad de
Helmstedt, donde le recibía su bibliotecario Johann
Friedrich Pfaff, considerado en aquella época el mejor
matemático de Alemania y autor de las Disquisiciones
analyticae. Éste matemático fue profesor en las
universidades de Helmstedt y de Halle, estudió el
cálculo diferencial y desarrolló el primer método de
integración de ecuaciones en derivadas parciales,
siendo una figura clave en la vida de Gauss, los dos
acostumbraban a pasear mucho discutiendo temas
matemáticos y Gauss sentía devoción por él.
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En el año 1799, Gauss puede llevar a la imprenta su disertación doctoral de la
Universidad de Helmstedt así como continuar con sus trabajos y finalizar su obra sobre
aritmética, todo ello gracias a la renovación de su estipendio por parte del Duque. En la
mencionada tesis doctoral demostró el Teorema Fundamental del álgebra, no obstante la
prueba que propone no era correcta, por lo que hizo otro par de demostración más
tarde en 1816 y en 1849, siendo ésta última una versión de su demostración original.
Disquisiciones arithmeticae.
La década 1800-1810 fue triunfal para Gauss. Esta
obra que Karl concibió cuando tan sólo tenía veintiún años y
en la que aplicó una teoría que actualmente es utilizada
continuamente.
Primera sección. Números congruentes. Si un número
m divide la diferencia de los números a y b, a y b se dicen
congruentes respecto de m, de lo contrario, son
incongruentes. Al número m se llama módulo; y a cada uno
de los números a y b, residuos del otro.
Segunda sección. Congruencias de primer grado.
Estudia el lema de Euclides (si p numero primo divide al
producto de dos enteros ab, entonces p divide, al menos a uno
de los dos enteros a, b). También estudia la descomposición en
producto de factores primos y la resolución de congruencias
linealesTercera sección. Residuos de potencias. Aborda el
estudio de las progresiones geométricas de módulo un
número primo p. Realiza una nueva demostración del
pequeño teorema de Fermat (si p es un número primo,
entonces para cada número natural a, se cumple que ap≡ a
(mod p)).
Parte del artículo 131 de
la primera edición de la
Disquisiciones.
Cuarta sección. Ley de reciprocidad cuadrática.
Sean p, q >2 números positivos primos impares. Entonces,
x2 ≡ −1 (mod p) tiene solución si y sólo si p ≡ 1 (mod 4).
x2 ≡ 2 (mod p) tiene solución si y sólo si p ≡ ±1 (mod 8).
Sean q* = ±q donde q*=+q si q ≡ 1 (mod 4) y q*= -q si q ≡ −1 (mod 4)
Entonces x2 ≡ p (mod q) tiene solución si y sólo si x2 ≡ q* (mod p) tiene solución
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Disquisiciones arithmeticae
Quinta sección: Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado. La teoría de las formas
cuadráticas binarias las muestra desde una perspectiva aritmética, sumada a una discusión de las
formas cuadráticas ternarias con la ley de reciprocidad cuadrática.
Sexta sección: Las formas cuadráticas y sus aplicaciones. Aplicación de estas teorías a casos concretos.
Séptima sección: Resumió todos los postulados vistos con anterioridad especialmente la teoría de las
congruencias binomiales y los traslada a una discusión de la ecuación algebraica. Ecuaciones de las
secciones de un círculo.
A finales del siglo XIX se conocían 7
planetas, siendo Urano el último
descubierto. Muchos astrónomos, a
partir de la Ley de Bode, afirmaban
que entre las órbitas de Marte y
Júpiter se encontraba un octavo
planeta aunque no detallaban su
sitio exacto. En 1800 se comprueba
que el cometa visto por Giuseppe
Piázzi, en realidad era un planeta
bautizado con el nombre de Ceres,
Gauss acepta el reto de determinar
su posición, y cuando dicho planeta
es redescubierto ese mismo año por
Von Zach y Olbers, el primero
señala que “sin el trabajo inteligente
y los cálculos de Gauss tal vez jamás
podrían haber encontrado de nuevo a
Ceres”.
Para
Gauss
a
sus
veinticuatro años supuso todo un
desafío pero también la oportunidad
para mostrar a todos sus enormes
dotes para la aritmética y poder así
hacerse un nombre tanto en las
matemáticas como en la astronomía.
Observatorio
de Göttingen
Gracias a Ceres, Gauss es el más popular
astrónomo de Europa y un reputado
matemático. En 1802 Olbers descubre Pallas y
le plantea que establezca la fijación de su
órbita, poniéndose nuevamente de manifiesto el
método de mínimos cuadrados. Con la muerte
del duque Ferdinand (derrotado por Napoleón
en 1806), y tras rechazar alguna ofertas que le
habían hecho, Gauss se encuentra obligado a
un nuevo modo de ganar su sustento y el de su
familia, Alexander von Humboldt y algunos
otros fieles amigos en su deseo de que Gauss no
abandone Alemania le brindan la solución bajo
la dirección del Observatorio de Göttingen en
donde además de dirigir las cuestiones
astronómicas deberá dar clases de matemáticas
a los estudiantes, mo entusiasmándole rsto
último lo más mínimo.
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Notizenjournal,
Así llamó a su diario de notas matemáticas, un pequeño cuaderno de cinco por ocho pulgadas y
diecinueve páginas, donde entre 1.796 y 1.814 anotó de forma extremadamente escueta las ideas
matemáticas que en esos años le sobrevenían. Las 121 primeras notas datan del período entre 1.796 y
1.801 cuando estaba estudiando en Göttingen y de sus estancias en Brunswick y Helmstedt. Las ideas
llegaban a su mente como avalanchas y la preocupación de olvidarlas y perderlas hizo que las
capturara por escrito y fijara así la independencia de las mismas y su prioridad en el tiempo pero
jamás pensó en publicarlas.
Quizás se trate del diario más importante de la historia de las matemáticas, pues contiene
descubrimientos matemáticos esenciales para los avances que esta disciplina experimentó durante el
siglo XIX aunque no recoja todos sus descubrimientos. Las notas y los hallazgos en ellas
permanecieron ocultos durante casi un siglo, si hubieran sido publicados hubiesen sido motivo de
reconocimiento para siempre. Nunca se hicieron públicas durante su vida, nunca reivindicó su
prioridad cuando otros autores se anticipaban en la publicación de ideas contenidas en su diario, nadie
sabía de la existencia del mismo, ni siquiera su íntimo amigo Bolyai, puede incluso que ni sus esposas
ni sus hijos supieran del documento.
Su talento innato, su facilidad precoz para resolver cálculos siendo tan
sólo un niño, su perseverancia traducida en largas noches de insomnio
absorto en sus pensamientos y la pasión por las matemáticas, no
deteniéndose jamás hasta encontrar la solución al problema, así como
su capacidad, al igual que sus admiradísimos Newton y Arquímedes
para idear instrumentos que le ayudasen en su trabajo, hacían de él un
genio excepcional.
La tendencia de Gauss a esconder sus
experimentos
más
espectaculares
es
consecuencia de la terrible humillación que
sufrió al proponer a la Academia Francesa
de Ciencias su primera obra maestra,
Disquisitiones arithmeticae
y que fue
rechazada de forma desconsiderada, a
partir de entonces decide publicar sólo
aquello que tanto de fondo como de forma
estuviera más allá de toda posibilidad de
crítica.
Las demostraciones de Gauss eran siempre
impecables, resultaban sorprendentes desde el
punto de vista intelectual pues él mismo se
encargaba de ocultar las fuentes
de su
pensamiento y el camino seguido hasta el
teorema esperado, Niels Abel decía que Gauss
actuaba como el zorro, que borra con su cola
sus propias huellas. Durante cuarenta años
Gauss estudió el postulado de las paralelas sin
mostrar
a
nadie
sus
resultados
y
manteniéndolos cuidadosamente en secreto.
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(VII)
Autora: Florentina Martínez Martínez
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Además de continuar en el Observatorio con
sus estudios de astronomía, a fines de 1810
solicitó realizar un estudio geodésico del
estado de Hannover llevando a cabo
mediciones de diversa índole y realizar todo
tipo de cálculos e intercambiar opiniones con
el matemático Heinrich Olbers (1.758-1.840),
a ambos les unía una sincera amistad que se
remontaba al año 1.800 cuando Gauss
calculaba la órbita del asteroide Ceres.
Olbers fue una figura decisiva en la carrera
posterior de Gauss como director del
observatorio de Göttingen.
El Heliotropo ideado por Gauss
En cualquier punto sobre una superficie
podemos encontrar un vector normal que
es perpendicular a la superficie, la
intersección de un plano que contiene la
normal con la superficie se forma una
curva llamada una sección normal y la
curvatura de la curva es la curvatura
normal. Para la mayoría de puntos en la
mayoría de las superficies, diferentes
secciones
que
tienen
diferentes
curvaturas; los valores máximos y
mínimos
de
éstos
se
llaman
las curvaturas principales,
La curvatura gaussiana es el
producto
de
las
dos
curvaturas principales
En 1827 su aportación a la geometría diferencial
es coronada con un importante teorema, el
theorema egregium en relación a la curvatura de
una superficie, que expuso en 1827 en
Disquisiciones generales circa superficies curvas.
El signo de la curvatura gaussiana se
puede utilizar para caracterizar la
superficie:
•Si las dos curvaturas principales tienen el
mismo signo, la curvatura gaussiana es
positiva y la superficie se dice que tiene un
punto elíptico.
•Si las curvaturas principales tienen
diferentes signos, la curvatura gaussiana
es negativa y la superficie se dice que tiene
un punto hiperbólico.
•Si una curvatura principal es cero, la
curvatura gaussiana es cero y la superficie
se dice que tiene un punto parabólico.
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(VIII)
Autora: Florentina Martínez Martínez
Tutor: Francisco Martínez González
En 1.831 empieza a colaborar con el profesor de física alemán
Wilhelm Weber (1.804 -1.891), en cuyo honor fue bautizada la
unidad del Sistema Internacional para el flujo magnético, el Weber
(símbolo: Wb). Profesor como Gauss de la Universidad de Göttingen
también lo era de la de Halle-Wittenberg, en la primera fue llamado
como profesor de física con tan sólo veintisiete años recomendado
por su amigo Karl Gauss director del observatorio astronómico, de
dicha colaboración surgen nuevos conocimientos en el campo de la
magnetización como la búsqueda de una representación de la unidad
de magnetismo en términos de masa, longitud y tiempo, asimismo el
descubrimiento de las leyes de Kirchhoff de la electricidad.
Gauss y Weber en
Göttingen
En 1.833 Gauss construye un
observatorio magnético en Göttingen
y junto a Weber, sentó las bases de la
teoría
matemática
del
electromagnetismo. Formuló las leyes
del magnetismo terrestre; inventó el
magnetómetro
bifilar, el telégrafo
eléctrico y el heliógrafo. Sus trabajos
sobre curvas y superficies prepararon
el camino para el principio de un
tiempo-espacio curvo. Fue en ese
mismo año cuando ambos idearon el
primer telégrafo electromagnético el
cual unió el Observatorio de
Göttingen con el Instituto de Física de
la ciudad /separados unos 3 kms),
facilitando las mediciones del campo
magnético terrestre en muchas partes
del mundo pues su método medía la
intensidad horizontal de dicho campo.
Uno de sus más importantes trabajos de Weber fue el
Atlas des Erdmagnetismus (Atlas de Geomagnetismo),
confeccionado en colaboración con Gauss y compuesto
por una serie de mapas magnéticos de la Tierra que
suscitaron el interés de las principales potencias del
momento para crear "observatorios magnéticos". En
1.864 y también en colaboración con Gauss publicó
Medidas Proporcionales Electromagnéticas, conteniendo
un sistema de medidas absolutas para corrientes
eléctricas, que sentó las bases de las medidas que usamos
hoy en día.
Telégrafo
Eléctrico
Se dio su nombre a la unidad de medida del campo
magnético o densidad de flujo magnético y al
cinturón de desmagnetización (des-gausización).
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(IX)
Autora: Florentina Martínez Martínez
Tutor: Francisco Martínez González
Marie-Sophie Germain, nació en París en 1.776 y fue una de
las pocas mujeres matemáticas en una época en que ésta era
disciplina reservada a los hombres. Manifestó este interés con
tan sólo trece años pese a la oposición severa de sus padres, pero
tras conseguir algunos de los apuntes que tomaban los alumnos
de la Escuela Politécnica de París, comenzó bajo el seudónimo
de Sr. Leblanc a enviarle sus trabajos a Joseph Louis Lagrange
que posteriormente se convierte en su mentor.
Sus aportaciones fueron importantes y valiosas en la teoría de los números y de la
elasticidad, para la acústica y la aritmética superior, así como estudiar el teorema de
Fermat. Fue en 1.804 tras leer las Disquisitiones Arithmeticae cuando bajo el mismo
seudónimo comienza a cartearse con Gauss. Años más tarde durante la invasión napoleónica
a Prusia, Germain ruega a su conocido personal, el general francés Penerty que cuide a
Gauss y le proteja de sufrir cualquier daño durante la ocupación de Brunswick. El militar se
vio obligado a revelar a Gauss la verdadera identidad del Sr. Leblanc.
El 30 de abril de 1.807 Gauss le escribe a Sophie: “Pero cómo
describirte mi admiración y asombro al ver que mi estimado
corresponsal Sr. Leblanc se metamorfosea en este personaje ilustre
que me ofrece un ejemplo tan brillante de lo que sería difícil de
creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y sobre todo
por los misterios de los números es demasiado rara…. Pero cuando
una persona del sexo femenino que, según nuestras costumbres y
prejuicios debe encontrar muchísimas más dificultades que los
hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin
embargo, tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas
más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el
valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior”.
Su relación epistolar duró años y Germain se convirtió en una
figura muy presente en la vida de Gauss aunque jamás llegaron a
conocerse.
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(X)
Autora: Florentina Martínez Martínez
Tutor: Francisco Martínez González
La muerte le sorprendió en Göttingen la madrugada
del 23 de febrero de 1.855 a los setenta y ocho años de
edad. Se encuentra enterrado en el cementerio de
Albanifriedhof. Concluye así la vida de un genio de las
matemáticas, la física y la astronomía considerado
como “príncipe de las matemáticas”, título que le
impuso el rey Jorge V de Hanoover en unas monedas
que acuñó para honrar a Gauss tras su muerte, y
también como “el matemático más grande desde la
antigüedad”, niño prodigio con influencia en campos
como la geometría diferencial, la teoría de los
números, la estadística, el álgebra, el análisis
matemático, la óptica, la geodesia y el magnetismo.
Fue el primero en extender el
concepto de divisibilidad a otros
conjuntos y profundizó en
ecuaciones
diferenciales
y
secciones cónicas. Dejó como sus
alumnos más destacados a
Friedrich Bessel, Christoph
Gudermann, Christian Ludwig
Gerling,
J.W.
Richard
Dedekind,
Johann
Encke,
Johann Listing y Bernhard
Riemann, y ya nadie duda de
que es uno de los matemáticos
que más influencia ha tenido en
la historia, el cual llevó esta
disciplina
a
cumbres
impensables anteriormente y
elevó la aritmética superior a la
cima de dicha ciencia
“Las matemáticas son la reina
de las ciencias y la aritmética
la reina de las matemáticas”.
Karl Friedrich Gauss.