Transcript Ley de Gauss

Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855)
Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de
carga altamente simétricas.
Flujo:
A
A
Densidad de partículas = r
A
dx
Pasaron
Ardx
partículas
en un
tiempo dt
Por unidad de tiempo pasaron Arv partículas, donde v es la velocidad de las
partículas. Esto es lo que se llama el flujo: F = rvA.
Densidad de partículas = r
dx
q
A’= A cos q
dx
v
q
A
.
F A’ = rv A’ = r v A cos q = r v A
A es un vector perpendicular al área y su módulo es
igual al área.
Flujo de materia.
Campo de velocidades v.
Flujo para un campo vectorial arbitrario.
Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector
representando un elemento de área en ese punto se define el elemento
de flujo por:
dF = F. da
da
F
da
A
F
F
da
E
da
E
da
r
q
Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido
a una carga eléctrica q colocada en el centro:
F=
∫
E .da = ke
∫
q ^. ^
r da r = 4kep q
r2
Angulo sólido
dAR
dW =
R
dAR
dAr
= r2
2
R
dAr
q
r
keqdA
r
r2
keqdA = k q
dFR =
R
e
2
R
2
R
dFr =
R2 dAr = dFr
r2
dA’
q
dAR = dA’cos q
dAR
q
dFA’=
ke q
k eq
ke q ^ .
dA’ cos q =
dAR = dFR
r dA’ =
2
2
2
R
R
R
El flujo a través de cualquier superficie que contenga a la
carga q0 es el mismo.
q2
q1
q0
F=
∫
; E = E0 + E1 + E2
E .da = 4kepq0 + 4kepq1 + 4kepq2
∫
F = 4p ke r( r ) dV
distribución continua de cargas
N
F = 4p ke∑ qi
i=1
∫
∫
E .da = 4p ke
distribución discreta de N cargas.
∫
r( r ) dV
Ley de Gauss
N
E .da = 4p ke
∑
i=1
qi
z
R
p/2 - q
dx
∫
x
r
q
q
dEy
y
dq
∞
Rdq
E
Ey= ke
-∞
l cos q dx k
= e
R2
Rdq = dx cos q
p/2
l dq
l cos q dq
k
= e
r
R
-p/2
2ke l
= r
r = R cos q
∫
∫
∫
E .da = 4ke p l L
=> Er L 2p r == 4kep l L
2ke l
=> Er = r
r
L
r
Plano de carga no conductor
E
+ +
+
++ + + + +
+ + +
+
+ ++
+ A
+
++
+ +
+ +
+ + ++
+ +
+
+
+ +
+
E
F = 2EA =
E= s
2eo
sA
eo
Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente:
y
s ^
E=
eo j
E1= 0
s
E2 = 0
-s
Conductor
+
+
+
+ +
+
muy pequeño
E
d
+
+
+
+
A
+
+
+
+
+
+
sA
F = EA =
eo
Justo fuera del conductor:
Cargas en la superficie.
s
E=
Campo es nulo en el interior.
eo
Campo perpendicular a la superficie.
Campo es mayor donde la curvatura es mayor.
Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados:
P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R
con densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo eléctrico a
a una distancia r < R del eje.
L
R
r
rr ^
r
E=
2eo
∫
E da =
∫
E ^r da ^r = E 2p r L =
p r2 L r
eo
ley de Gauss
Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde
el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso
de la simetría del problema.
Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera
de radio R.
3Q
r
4pR 3
R
i)
rR
r
3
Qr  R
4 3
3Q 4 3
r
r pr 
p r Q 3
3
3
4pR 3
R
Aplicando ley de Gauss:
3
Qr
E  4p r 
3
e0R
2
E 
Q
4pe 0 R
3
r
ii)
rR
4p r E 
2
r
Q
e0
Q
1
E
2
4pe 0 r
E
R
r
Cascarón esférico delgado de radio R
R
E0
adentro
Q
1
E
4pe 0 r 2
afuera
P53, P55
-Q
3Q
a
c
b
i)
r c
E  4p r 
2
2Q
e0
Q
1
 E
2
2pe 0 r
ii)
cr b
E0
Interior del conductor
iii)
bra
 3Q 1
3keQ
E  4p r 
E
r  2 rˆ
2 ˆ
e0
4pe 0 r
r
2
iv)
3Q
ra
3
3
Qr
2
E  4p r 
3
e 0a

3Q  3keQ 
E 
r 3 r
3
4pe 0 a
a
E
a
b
c
r
no conductor
cargado
homogéneamente
conductor
descargado
b
c
a
r
i) Campo en r < a
 
qr 1 4 3
2
 E  da  E 4pr  e o  e o 3 p r r
luego:
 rr
E
rˆ
3e o
ii) Campo en a < r < b

E
Q
rˆ
2
4p r e o
4 3
con Q  pa r
3
iii) Campo en b < r < c

E 0
interior del conductor
iv) Campo en r > c

E
Q
rˆ
2
4p r e o
4 3
con Q  pa r
3
v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor
 
 
Q  qs
 E  da   0  da  0 
eo
donde qs es la carga en la superficieinteriordel conductor;
luego:
qs  -Q
-Q
y entonces: s 
2
4p b
vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor.
Puesto que el conductor está descargado la carga total
sobre esta superficie es
qc  -qs  Q
luego:
Q
sc 
4p c 2
P60
y
Esfera no conductora
con una cavidad y
cargada uniformemente.
r1
No hay campo
gravitacional.
a
a
Campo en la
cavidad esférica
Ex = 0
Ey =
ra
3eo
r
r
x
2a
La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas
y de densidad r. Queda entonces una esfera completa de radio
R= 2a con densidad de carga r y una esfera de radio a con
densidad de carga –r.

En el punto r ;
el campo de la esfera de radio R es:
3
 
Q 
4pR r  r 
E ( r )  ke 3 r  ke
r
r
3
R
3R
3e 0
y el de la esfera de radio a es:
3
 
Qa 
4pa r 
r 
Ea (r )  ke 3 r1  -ke
r1  r1
3
a
3a
3e 0
Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo
dentro de la cavidad:

r  
r - r1 
ET 
3e 0
  
pero r1  r - a,
luego,

r   
r 
r - r  a   a
ET 
3e 0
3e 0
Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q.
Problema 3
Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades
de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad
de carga r, como se muestra en la figura.
y
-a
a
Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y.
2a
x
Problema 7
Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidad
paralela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Además
se encuentra cargado uniformemente con densidad de carga r.
y
2R
R
x
Encuentre elcampo en la cavidad y
en el punto r  - Rxˆ
Solución.
Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 y
otro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de carga
uniforme r y el segundo una densidad de carga uniforme –r.
En la cavidad:

rr
ER  - R rˆR
2e o

r

rR
R

rr
E2 R 
rˆ
2e o
 
rR  r - Rxˆ
 

rR
E  E R  E2 R 
xˆ
2e o


En r  - Rx

rR
ER 
xˆ
4e o

rR
E2 R  xˆ
2e o
 

rR
E  E R  E2 R  xˆ
2e o
P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de
carga positiva uniforme r.
y
vista de canto
Campo en este punto está en
la dirección x.
Aplicamos Gauss al
cilindro
A
x
x
x
rAx
EA =
eo
rx
E = e ^i
o