Ley de Gauss
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Transcript Ley de Gauss
Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855)
Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de
carga altamente simétricas.
Flujo:
A
A
Densidad de partículas = r
A
dx
Pasaron
Ardx
partículas
en un
tiempo dt
Por unidad de tiempo pasaron Arv partículas, donde v es la velocidad de las
partículas. Esto es lo que se llama el flujo: F = rvA.
Densidad de partículas = r
dx
q
A’= A cos q
dx
v
q
A
.
F A’ = rv A’ = r v A cos q = r v A
A es un vector perpendicular al área y su módulo es
igual al área.
Flujo de materia.
Campo de velocidades v.
Flujo para un campo vectorial arbitrario.
Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector
representando un elemento de área en ese punto se define el elemento
de flujo por:
dF = F. da
da
F
da
A
F
F
da
E
da
E
da
r
q
Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido
a una carga eléctrica q colocada en el centro:
F=
∫
E .da = ke
∫
q ^. ^
r da r = 4kep q
r2
Angulo sólido
dAR
dW =
R
dAR
dAr
= r2
2
R
dAr
q
r
keqdA
r
r2
keqdA = k q
dFR =
R
e
2
R
2
R
dFr =
R2 dAr = dFr
r2
dA’
q
dAR = dA’cos q
dAR
q
dFA’=
ke q
k eq
ke q ^ .
dA’ cos q =
dAR = dFR
r dA’ =
2
2
2
R
R
R
El flujo a través de cualquier superficie que contenga a la
carga q0 es el mismo.
q2
q1
q0
F=
∫
; E = E0 + E1 + E2
E .da = 4kepq0 + 4kepq1 + 4kepq2
∫
F = 4p ke r( r ) dV
distribución continua de cargas
N
F = 4p ke∑ qi
i=1
∫
∫
E .da = 4p ke
distribución discreta de N cargas.
∫
r( r ) dV
Ley de Gauss
N
E .da = 4p ke
∑
i=1
qi
z
R
p/2 - q
dx
∫
x
r
q
q
dEy
y
dq
∞
Rdq
E
Ey= ke
-∞
l cos q dx k
= e
R2
Rdq = dx cos q
p/2
l dq
l cos q dq
k
= e
r
R
-p/2
2ke l
= r
r = R cos q
∫
∫
∫
E .da = 4ke p l L
=> Er L 2p r == 4kep l L
2ke l
=> Er = r
r
L
r
Plano de carga no conductor
E
+ +
+
++ + + + +
+ + +
+
+ ++
+ A
+
++
+ +
+ +
+ + ++
+ +
+
+
+ +
+
E
F = 2EA =
E= s
2eo
sA
eo
Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente:
y
s ^
E=
eo j
E1= 0
s
E2 = 0
-s
Conductor
+
+
+
+ +
+
muy pequeño
E
d
+
+
+
+
A
+
+
+
+
+
+
sA
F = EA =
eo
Justo fuera del conductor:
Cargas en la superficie.
s
E=
Campo es nulo en el interior.
eo
Campo perpendicular a la superficie.
Campo es mayor donde la curvatura es mayor.
Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados:
P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R
con densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo eléctrico a
a una distancia r < R del eje.
L
R
r
rr ^
r
E=
2eo
∫
E da =
∫
E ^r da ^r = E 2p r L =
p r2 L r
eo
ley de Gauss
Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde
el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso
de la simetría del problema.
Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera
de radio R.
3Q
r
4pR 3
R
i)
rR
r
3
Qr R
4 3
3Q 4 3
r
r pr
p r Q 3
3
3
4pR 3
R
Aplicando ley de Gauss:
3
Qr
E 4p r
3
e0R
2
E
Q
4pe 0 R
3
r
ii)
rR
4p r E
2
r
Q
e0
Q
1
E
2
4pe 0 r
E
R
r
Cascarón esférico delgado de radio R
R
E0
adentro
Q
1
E
4pe 0 r 2
afuera
P53, P55
-Q
3Q
a
c
b
i)
r c
E 4p r
2
2Q
e0
Q
1
E
2
2pe 0 r
ii)
cr b
E0
Interior del conductor
iii)
bra
3Q 1
3keQ
E 4p r
E
r 2 rˆ
2 ˆ
e0
4pe 0 r
r
2
iv)
3Q
ra
3
3
Qr
2
E 4p r
3
e 0a
3Q 3keQ
E
r 3 r
3
4pe 0 a
a
E
a
b
c
r
no conductor
cargado
homogéneamente
conductor
descargado
b
c
a
r
i) Campo en r < a
qr 1 4 3
2
E da E 4pr e o e o 3 p r r
luego:
rr
E
rˆ
3e o
ii) Campo en a < r < b
E
Q
rˆ
2
4p r e o
4 3
con Q pa r
3
iii) Campo en b < r < c
E 0
interior del conductor
iv) Campo en r > c
E
Q
rˆ
2
4p r e o
4 3
con Q pa r
3
v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor
Q qs
E da 0 da 0
eo
donde qs es la carga en la superficieinteriordel conductor;
luego:
qs -Q
-Q
y entonces: s
2
4p b
vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor.
Puesto que el conductor está descargado la carga total
sobre esta superficie es
qc -qs Q
luego:
Q
sc
4p c 2
P60
y
Esfera no conductora
con una cavidad y
cargada uniformemente.
r1
No hay campo
gravitacional.
a
a
Campo en la
cavidad esférica
Ex = 0
Ey =
ra
3eo
r
r
x
2a
La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas
y de densidad r. Queda entonces una esfera completa de radio
R= 2a con densidad de carga r y una esfera de radio a con
densidad de carga –r.
En el punto r ;
el campo de la esfera de radio R es:
3
Q
4pR r r
E ( r ) ke 3 r ke
r
r
3
R
3R
3e 0
y el de la esfera de radio a es:
3
Qa
4pa r
r
Ea (r ) ke 3 r1 -ke
r1 r1
3
a
3a
3e 0
Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo
dentro de la cavidad:
r
r - r1
ET
3e 0
pero r1 r - a,
luego,
r
r
r - r a a
ET
3e 0
3e 0
Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q.
Problema 3
Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades
de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad
de carga r, como se muestra en la figura.
y
-a
a
Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y.
2a
x
Problema 7
Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidad
paralela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Además
se encuentra cargado uniformemente con densidad de carga r.
y
2R
R
x
Encuentre elcampo en la cavidad y
en el punto r - Rxˆ
Solución.
Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 y
otro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de carga
uniforme r y el segundo una densidad de carga uniforme –r.
En la cavidad:
rr
ER - R rˆR
2e o
r
rR
R
rr
E2 R
rˆ
2e o
rR r - Rxˆ
rR
E E R E2 R
xˆ
2e o
En r - Rx
rR
ER
xˆ
4e o
rR
E2 R xˆ
2e o
rR
E E R E2 R xˆ
2e o
P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de
carga positiva uniforme r.
y
vista de canto
Campo en este punto está en
la dirección x.
Aplicamos Gauss al
cilindro
A
x
x
x
rAx
EA =
eo
rx
E = e ^i
o