Transcript Temel Kuram ve Açmazlarıyla Bilgisayar Bilimi

TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLA
BİLGİSAYAR BİLİMİ
Yılmaz Kılıçaslan
Sunum Planı
 Hilbert’in Problemi
 Bilgisayar Bilimi
– Bilgisayım Kuramı
– Enformasyon Kuramı
 Hesaplanabilirlik
– Sayılabilir Kümeler
– Sayılamaz Kümeler
 Karmaşıklık
– Verimli Hesaplama
– Chomsky Hiyerarşisi
DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ İÇİNDE
BİLGİSAYAR BİLİMİ
 Hilbert’e Yanıtlar
2
Hilbert’in Problemi (1928)
Formel Dil
Matematiksel
İfade
(Önerme)
ALGORİTMA
Doğru / Yanlış
?
Algoritma: Bir problemi sonlu sayıda adımla etkin (mekanik) olarak çözen
yöntem.
Hilbert’e Kötü Haberler
 Aritmetik Sistemlerin Eksikliği (Kurt Gödel)
(Incompleteness of Systems of Arithmetic)
 (Birinci Dereceden Yüklem) Mantığında Karar
Verilmezlik (Alonzo Church)
(Undecidability of (First Order) Logic)
 Doğruluğun Tanımsızlığı (Alfred Tarski)
(Undefinability of Truth)
 Fonksiyonların Hesaplanamazlığı / Durma
Problemi (Alan Turing)
(Uncomputability of Functions / Halting Problem)
4
Gödel’in Eksiklik Teoremi
 Gödel
Yalancının Paradoksunu
aşağıdaki şekilde değiştirdi:
“Bu önerme ispatlanabilir değildir.”

…
 Aritmetiğin
her
tutarlı
biçimselleştirilmesi için öyle
aritmetik doğrular vardır ki,
bunlar bu biçimsel sistem içinde
ispatlanabilir değillerdir.
5
Durma Problemi
Program
Input
ALGORİTMA
(BİLGİSAYIM
MODELİ)
?
Durur / Durmaz
Alan Turing 1936’da, Durma Problemini bütün program-input çiftleri için
çözebilecek genel bir algoritmanın olmadığını ispatlamıştır.
Tipik Matematiksel Bilgisayım Modelleri
 Durum Modelleri
– Sonlu Durum Otomatları
– Bask-Bırak Otomatları
– Turing Makineleri
– etc.
 Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller
 Mantık programlama gibi mantıksal modeller
7
Bilgisayar Bilimi
 Bilgisayım Kuramı
 Enformasyon Kuramı
8
Hesaplanabilirlik
 Sayılabilir Kümeler
 Sayılamaz Kümeler
9
Sayılabilir Kümeler
 Tamsayılar
 Rasyonel Sayılar
10
Sayılamaz Kümeler
 Reel Sayılar
 Karmaşık Sayılar
11
Karmaşıklık
 Verimli Hesaplama (Efficient Computation)
 NP Problemleri
 Üstel Patlama
12
Verimli ve Verimsiz Algoritmalar
 Verimli algoritmaların zaman karmaşılığı:
– O(n)
Çok terimli (Polynomial)
– O(nlogn)
– O(n10)
Bir c sabiti için O(nc)
– vs.
 Verimsiz algoritmaların zaman karmaşılığı:
– O(nlog n)
– O(2n)
Çok terimli değil
– O(n!)
– vs.
13
"İyi Algoritmalar"
 An explanation is due on the use of the words
"efficient algorithm"…I am not prepared to set up
the machinery necessary to give it formal
meaning, nor is the present context appropriate for
doing this…For practical purposes the difference
between algebraic and exponential order is more
crucial than the difference between [computable
and not computable]… (Paths, Trees and Flowers,
Jack Edmonds, 1965)
14
P versus NP
 NP contains lots of problems we don’t know to be
in P
–
–
–
–
–
–
–
–
Classroom Scheduling
Packing objects into bins
Scheduling jobs on machines
Finding cheap tours visiting a subset of cities
Allocating variables to registers
Finding good packet routings in networks
Decryption
Hence proving P = NP would break cryptosystems
…
15
Kaynak
Computers and Intractablity:
A guide to the Theory of NP-completeness
by Mike Garey and David Johnson
16
Chomsky Hiyerarşisi
Otomatlar
Diller
Turing
Machine
R.E.
ATN
Bağlama-duyarlı
RTN
FSA
Bağlamdan-bağımsız
Düzenli Diller
Bir Kognitif Hiyerarşi Denemesi
Bilişsel Yetiler
Akıl
Bilişsel Araçlar
Mantık
Anlam
Semantik
Bellek
Sentaks
Özyineleme
Morfoloji
En Kısa Özet
 Bilgisayar Bilimi
– Bilgisayım ve
– Enformasyon
kuramlarını içerir.
 Bilgisayım Kuramı
– Hesaplanabilirlik ve
– Karmaşıklık
alt kuramlarını barındırır.
19