Transcript Temel Kuram ve Açmazlarıyla Bilgisayar Bilimi

TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLA
BİLGİSAYAR BİLİMİ
Yılmaz Kılıçaslan
Sunum Planı
 Hilbert’in Problemi
 Bilgisayar Bilimi
– Bilgisayım Kuramı
– Enformasyon Kuramı
 Hesaplanabilirlik
– Sayılabilir Kümeler
– Sayılamaz Kümeler
 Karmaşıklık
– Verimli Hesaplama
– Chomsky Hiyerarşisi
DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ İÇİNDE
BİLGİSAYAR BİLİMİ
 Hilbert’e Yanıtlar
2
Hilbert’in Problemi (1928)
Formel Dil
Matematiksel
İfade
(Önerme)
ALGORİTMA
Doğru / Yanlış
?
Algoritma: Bir problemi sonlu sayıda adımla etkin (mekanik) olarak çözen
yöntem.
‘Bütün Doğrulara’ Erişme Girişimi
Russellın Paradoks’u:
Kendi kendisinin
elemanı olmayan bütün
kümeleri içeren küme.
Matematiğin bütün doğrularını, yüklem mantığı içinde, iyi tanımlanmış bir
aksiyomlar ve çıkarım kuralları kümesinden çıkarma girişimi.
Gödel’in Tamlık (Completeness)
Kuramı
• 1930 doktora tezinde Gödel,
Whitehead
ve
Russell’ın
Principia
Mathematica’sına
dayanarak
birinci-dereceden
yüklem mantığının tam bir
aksiyomatizasyonunu sundu:
Bir formülün, ancak ve ancak
‘geçerli’
olması
halinde
bu
akiyomlardan
yola
çıkarak
ispatlanabileceğini ispatladı.
• Bu,
Hilbert’in
çözme yönünde
adımdı.
problemini
atılmış bir
Erişilemeyen Doğrular (ve Yanlışlar)
Hilbert’e Kötü Haberler
 Aritmetik Sistemlerin Eksikliği (Kurt Gödel)
(Incompleteness of Systems of Arithmetic)
 (Birinci Dereceden Yüklem) Mantığında Karar
Verilmezlik (Alonzo Church)
(Undecidability of (First Order) Logic)
 Doğruluğun Tanımsızlığı (Alfred Tarski)
(Undefinability of Truth)
 Fonksiyonların Hesaplanamazlığı / Durma
Problemi (Alan Turing)
(Uncomputability of Functions / Halting Problem)
7
Aristo Mantığının Temel İlkeleri
• Her önerme ya
doğru ya yanlıştır.
•Bu ikisinin arasında
ya da dışında üçüncü
bir olasılık yoktur.
Bütün doğrulara erişme çabası
•Doğal dilin bütün çok anlamlılıklarından, muğlaklıklarından ve öznel
ifadelerinden arınmış bir characteristica universalis, bir evrensel dil,
geliştirilmesini önerdi. Bu dilin oluşturulmasında, sayıların asal
çarpanlarının tek olmasına özel bir rol yükledi.
•Bu dilin sembollerinin manipülasyonu, ars combinatoria, doğrudan
düşüncelerimizin işleyişine karşılık gelecekti.
•Kant’ın kötümser öngörüsünden yaklaşık yüz yıl kadar önce, Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) mantık alanında, modern mantık
kuramlarında halen daha kullanılan düşünce ve yöntemler geliştirdi.
•Böylelikle, calculus ratiocinator içinde hesaplama yaparak, doğal dil ile ifade edilmiş
düşünce zincirlerinin geçerliliğini kontrol etmek mümkün olacaktı:
“Öyleyse, artık düşüncelerin farklılaşması halinde, nasıl iki hesap makinesi
tartışmıyorsa, iki filozofun da tartışmasına gerek kalmayacak. Kağıdı kalemi
ellerine alıp, abaküsün karşısına geçip (eğer istiyorlarsa bir arkadaşlarının
tanıklığında) birbirlerine calculesmus demeleri yeterli olacak.”
Megara Okulu - Eubulides
 Atina’daki felsefe okuluna rakip olan Megara Okulu
Aristo’nun hep canını sıkmıştır. Bu Stoacı okulun
kurucusu yine bir Öklid’dir.
 Megara okulundan filozof Eubulides (MÖ. 405 –
330) Aristocu paradigmadaki problemleri dört
paradoks ile açığa çıkarmıştır (Seuren 2005):
– Kel Adam ya da Yığın (The Heap)
– Şapkalı Adam, Fark Edilmeyen Adam ya da Elektra (The
Hooded Man, the Unnoticed Man, or the Electra)
– Boynuzlu Adam (The Horned Man)
– Yalancı (The Liar)
Kel Adam Paradoksu
A: ‘Eğer bir adamın yalnızca bir saç teli olsaydı, ona
kel der miydiniz?
B: Evet.
A: Eğer iki saç teli olsaydı kel der miydiniz?
B: Evet.
A: Eğer üç saç teli olsaydı,
… vs.
A: Öyleyse kel olma durumu ile kel olmama durumu
arasındaki sınırı nereye çizeceğiz?’
Yığın Paradoksu

Bir çıkarım şeması:
N kum tanesi bir kum yığınıdır.
(Öncül 1)
N kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2)
------------------------------------------------------------------------(N-1) kum tanesi bir kum yığınıdır. (Sonuç)

Uygulama:
1,000,000 kum tanesi bir kum yığınıdır. (Öncül 1)
1,000,000 kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2)
----------------------------------------------------------------------999,999 grains of sand is a heap of sand. (Conclusion)
Çıkarım şemasını her defasında elde ettiğimiz sonuçla başlayarak defalarca
uygularsak, neticede bir kum yığınının tek bir kum tanesinden oluşabileceği
sonucunu kabul etmek zorunda kalırız.
Elektra Paradoksu
While Agamemnon, king of Mycenes, was away to fight in the Trojan war,
his wife Clytaemnestra had set up house with another man. Obviously, when
Agamemnon was due back, there would be a problem. So when Agamemnon
came home Clytaemnestra let him a warm bath, during which she chopped
his head off with a sword. That would have been the end of the affair, had it
not been for the children, in particular the son Orestes, who now had the
holy duty to avenge his father. However, in order to do that, he would have
to kill his mother, which would be a heinous crime. In order to sort out his
moral dilemma, Orestes went to stay with an uncle for a while. At the end of
that period he has made up his mind and has decided that the right thing to
do, after all, is to kill his mother. So he returns to Mycenes, but, sensibly
fearing to receive a treatment similar to his father’s, he disguises himself as
a beggar so as not to be recognized. He then knocks at the gate and is let in.
His sister Electra has him shown to the kitchen and given some soup. At this
point in the story, Eubulides steps in and asks: ‘Is the sentence Electra
knows that her brother Orestes is in the kitchen true or false?’
Boynuzlu Adam Paradoksu
What you have not lost, you have.
But you have not lost horns.
Therefore you have horns.
Yalancının Paradoksu
‘Şu an bu cümleyle söylediğim yanlıştır.’
‘Aşağıdaki cümle yanlıştır.’
‘Yukarıdaki cümle doğrudur.’
Gödel’in Eksiklik Teoremi
 Gödel
Yalancının Paradoksunu
aşağıdaki şekilde değiştirdi:
“Bu önerme ispatlanabilir değildir.”

…
 Aritmetiğin
her
tutarlı
biçimselleştirilmesi için öyle
aritmetik doğrular vardır ki,
bunlar bu biçimsel sistem içinde
ispatlanabilir değillerdir.
16
Rüyanın Sonu
17
Durma Problemi
Program
Input
ALGORİTMA
(BİLGİSAYIM
MODELİ)
?
Durur / Durmaz
Alan Turing 1936’da, Durma Problemini bütün program-input çiftleri için
çözebilecek genel bir algoritmanın olmadığını ispatlamıştır.
Tipik Matematiksel Bilgisayım Modelleri
 Durum Modelleri
– Sonlu Durum Otomatları
– Bask-Bırak Otomatları
– Turing Makineleri
– vs.
 Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller
 Mantık programlama gibi mantıksal modeller
 Markov algoritmaları
 Formel sistemler
 vs.
19
Bilgisayar Bilimi
 Bilgisayım Kuramı
 Enformasyon Kuramı
20
Hesaplanabilirlik
 Sayılabilir Kümeler
 Sayılamaz Kümeler
21
Sayılabilir Kümeler
 Tamsayılar
 Rasyonel Sayılar
22
Sayılamaz Kümeler
 Reel Sayılar
 Karmaşık Sayılar
23
Karmaşıklık
 Verimli Hesaplama (Efficient Computation)
 NP Problemleri
 Üstel Patlama
24
Verimli ve Verimsiz Algoritmalar
 Verimli algoritmaların zaman karmaşılığı:
– O(n)
Çok terimli (Polynomial)
– O(nlogn)
– O(n10)
Bir c sabiti için O(nc)
– vs.
 Verimsiz algoritmaların zaman karmaşılığı:
– O(nlog n)
– O(2n)
Çok terimli değil
– O(n!)
– vs.
25
"İyi Algoritmalar"
 An explanation is due on the use of the words
"efficient algorithm"…I am not prepared to set up
the machinery necessary to give it formal
meaning, nor is the present context appropriate for
doing this…For practical purposes the difference
between algebraic and exponential order is more
crucial than the difference between [computable
and not computable]… (Paths, Trees and Flowers,
Jack Edmonds, 1965)
26
P versus NP
 NP contains lots of problems we don’t know to be
in P
–
–
–
–
–
–
–
–
Classroom Scheduling
Packing objects into bins
Scheduling jobs on machines
Finding cheap tours visiting a subset of cities
Allocating variables to registers
Finding good packet routings in networks
Decryption
Hence proving P = NP would break cryptosystems
…
27
Kaynak
Computers and Intractablity:
A guide to the Theory of NP-completeness
by Mike Garey and David Johnson
28
Chomsky Hiyerarşisi
Otomatlar
Diller
Turing
Machine
R.E.
ATN
Bağlama-duyarlı
RTN
FSA
Bağlamdan-bağımsız
Düzenli Diller
Bir Kognitif Hiyerarşi Denemesi
Bilişsel Yetiler
Akıl
Bilişsel Araçlar
Mantık
Anlam
Semantik
Bellek
Sentaks
Özyineleme
Morfoloji
En Kısa Özet
 Bilgisayar Bilimi
– Bilgisayım ve
– Enformasyon
kuramlarını içerir.
 Bilgisayım Kuramı
– Hesaplanabilirlik ve
– Karmaşıklık
alt kuramlarını barındırır.
31