Математика. Задачи с параметром
Download
Report
Transcript Математика. Задачи с параметром
МАОУ «Лицей №10»
Учитель математики
Золотухина Л. В
Пермь,2012
Содержание
Простейшие уравнения и неравенства с параметром
Параметр как переменная
Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного
уравнения
Теорема Виета для уравнения высших степеней
Графический способ
Метод областей
Домашнее задание
Литература
Параметр
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
ax 1
a
Решение:
Если a 0 0 x 1, решенийнет;
1
Если a 0 a x 1, решенияе x .
a
0
x
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
ax 1
Решение:
Если a 0 0 x 1, решенийнет;
1
если a 0 ax 1, x ;
a
1
если a 0 ax 1, x .
a
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
xa
0
x 1
Решение:
Если a 1 решенийнет;
если a 1 x a.
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
x a
2
a
Решение:
Если a 0 x 2 0, x 0;
если a 0 x 2 a, x a ;
если a 0 действительных корнейнет.
0
x
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример: Для каждого значения a решите относительно x:
x a
a
Решение:
Если a 0 x 0;
если a 0 x a 2 .
0
x
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Для каждого значения a решите относительно x:
a
2 a
x
Решение:
Если a 0 x R;
если a 0 x log2 a.
x
0
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Решение:
Для каждого значения a решите относительно x:
loga x1
Если a 0;1 x a;
если a 1 x 0; a .
Простейшие уравнения и
неравенства с параметром
Пример:
Решение:
Для каждого значения a решите относительно x:
sin x a
Если a - ;-1 x R;
если a - 1;1 x arcsin a 2n; arcsin a 2n , n Z ;
если a1 действительных корнейнет.
a
1
x
0
-1
Параметр как переменная
В разных задачах параметр рассматривается как
фиксированное, но неизвестное число. Между тем
с формальной точки зрения параметр –
переменная. Например, f(x;a) – функция с двумя
переменными.
Параметр как переменная
Пример:
Найти все значения a , при которых уравнения
имеют общий действительный корень
x x 4a 0 и a x ax 4a 0.
2
2 2
Параметр как переменная
Пример:
Найти все значения a , при которых уравнения имеют
общий действительный корень
x x 4a 0 и a x ax 4a 0.
2
Решение:
x x 4a 0,
2 2
a x ax 4a 0.
2
2 2
x x a x ax 0,
2
x x 4a 0.
a 1 x1 a 1x 0,
2
x x 4a 0.
2
2
2
a 1,
a) 2
x x 4 a 0.
x 0,
б ) 2
x x 4 a 0.
x xa 1 0,
в ) 2
x x 4 a 0.
a )решенийнет;
б )0;0 ;
в ) x; a :
1;0, 2; 1 , 2; 3
2
2
Задачи, сводящиеся к исследованию
квадратного уравнения
ax2 bx c 0, a 0,
ax2 bx c 0, ax x1 x x2 ,
D b 2 4ac0, действительных корнейнет.
D b 2 4a c 0, x
b
.
2a
D b 2 4ac 0, два действительных корня
b b 2 4ac
x
.
2a
Т еоремаВиета
b
x 1 x2 ,
a
c
x1 x2 .
a
Задачи, сводящиеся к исследованию
квадратного уравнения
Пример:
Решение:
При каких значениях параметра a множество решений
неравенства
будет
2
ax 10
интервал длины5? x
Пусть x1 и x 2 корниквадратного неравенства. По условию
x1 x2 5.
x1 x2
x1 x2 2
x1 x2 2 4 x1 x2
По т Виета получаем:
x1 x2
a
a
a 2 4 5.
21.
21 или a - 21.
Теорема Виета
для уравнений 3 степени
a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0 0, a3 0
a2
x1 x2 x3 ,
a3
a1
x
x
x
x
x
x
,
1 2 1 3 2 3
a3
a0
x1 x2 x3 .
a3
Теорема Виета
для уравнений 3 степени
Пример:
Решение:
Определитьвсе значенияa при каждом из которых
3 различныхкорня образуютгеометрическую прогрессию.
Найти эти корни.
x 3 a 2 9a x 2 8ax 64 0
Пустьq - знаменатель прогрессии,
x 2 qx1 , x3 q x1. По т Виета
2
x1 x2 x3 64, qx1 64, x2 4.
Ясно,что a 0. Из первого и второго
уравненияполучаем2 a 9 a 7.
Из второгоуравнениянаходим
3
x1 q 1 x2 4q 1 , x2 4, x3 qx2 4q :
4 q 1 1 q a 2 9a ,
1
16 q 1 q 8a,
x 4.
2
q 1 q -1
7
5
1
q 2 - q 1 0 q 2, q .
2
2
2
Пустьq 2. Находим x1 2,x2 4, x3 8.
Пустьq
1
. Находим x1 8,x2 4,x3 2.
2
Графический способ решения
y
y
x1 ; y1
b
arctg
a
x2 ; y 2
x
x
x x1
y y1
x2 x1
y2 y1
y
ax by c 0
y xa
a
x
Графический способ решения
y
y
y
x
x
ax b
,
cx d
графикомдробно- линейной
функцииесть гипербола.
y
ax2 bx c 0, a 0,
уравнениепараболы.
x x0 2 y y0 2 R 2 ,
уравнениеокружности
с центромв x0 ; y0
и радиусомR.
x
Графический способ решения
Пример:
При каких значениях параметра а уравнение
x 2 a x 1 имеет единственное решение?
Найдите это решение.
Решение:
y
Заметим,что x 1 не будет решениемисходного
уравнения.Пусть x -;1 1; .
x2
a
.
x-1
Р ассмотримграфикифункций
x2
x2
a
при x1 и a
при x1.
x-1
1-x
Получаем,что исходноеуравнение:
при a -1 не имеет решений;
при -1 a 1 имеет единственное решение;
при a1 имеет два решения.
1
-1
1
x
Метод областей
При решениинеравенства f(x,y)
методомобластейнужно найти
все кривые, на которых f(x,y) 0.
Данныекривые разбиваютплоскость
на множества,на которыхзнак
функциипостоянный.
Выбираем подмножества,
на которых f(x,y) 0.
Метод областей
Пример:
Решение:
Найти площадь множества точек (х;у),
удовлетворяющих неравенствам:
x y 2 x 4 y 1,
3x 2 y 1 0.
2
x 12 y 2 4 0,
3 x 2 y 1 0.
S
R 2
2
S 2 .
y
2
.
2
0
1
x
Домашнее задание
При каких значениях параметра a уравнение
x
x
2
имеет единственное решение 4 5a 3 2 4a 3a 0 ?
2. При каких значениях выражения принимают
одинаковые значения a 1 lg2a 3 и a 1 ?
3. При каких значениях b в области допустимых
значений функции содержится ровно 7
натуральных чисел f (x) x b log2 12 x ?
1.
Литература
ЗвавичЛ. И, Алгебра и начала анализа.
Разноуровневые контрольные работы для
подготовки к ЕГЭ. 11 класс/ Л. И. Звавич, Л. Я.
Шляпочник.- М.: Издательство «Экзамен», 2011. –
237 с.
2. Козко А. И., Панферов В. С, ЕГЭ 2011. Математика.
Задачи С5 с параметром/ Под ред. А. Л. Семенова
и И. В. Ященко. – М.: МЦМНО, 2011. – 144с.
1.
ПАРАМЕТР
ПАРАМЕТР (от греч. parametron - отмеривающий) в математике - величина, числовые значения которой позволяют выделить
определенный элемент (напр., кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. Напр., в уравнении x2 + y2 = r2 величина r
является параметром окружности.
Большой Энциклопедический словарь. 2000.
ПАРАМЕТР
См. также в других словарях:
ПАРАМЕТР — (греч., от para возле, подле, и metron мера). В геометрии: принятая, постоянная величина, от которой зависит
построение и уравнение линии или поверхности. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910.
ПАРАМЕТР 1) … Словарь иностранных слов русского языка
ПАРАМЕТР — ПАРАМЕТР, параметра, муж. (от греч. parametreo меряю, сопоставляя). 1. Величина, входящая в математическую
формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к
другому явлению, к… … Толковый словарь Ушакова
Параметр — переменная величина, значение которой передается процедуре или функции из внешней среды. Различают
формальные и фактические параметры. См. также: Подпрограммы Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь
ПАРАМЕТР — (в технике) величина, характеризующая какое либо свойство процесса, явления или системы, машины, прибора
(напр., электрическое сопротивление, теплоемкость, быстродействие, масса, коэффициент трения и др.). Параметры могут быть
сосредоточенными… … Большой Энциклопедический словарь
параметр — м тех., физ. Kennwert m 1a; Parameter m 1d рабочие параметры Arbeitswerte m pl … Большой немецко-русский и руссконемецкий словарь
ПАРАМЕТР — ПАРАМЕТР, а, муж. (спец.). Величина, характеризующая какое н. основное свойство машины, устройства, системы
или явления, процесса. Параметры реактора. | прил. параметрический, ая, ое. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю.
Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
параметр — I (от греч. parametrōn отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить
определенный элемент (например, кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. Например, в уравнении х2 + у2 = r2
величина r… … Энциклопедический словарь
параметр — а; м. [от греч. parametrōn отмеривающий] 1. Матем. Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая
своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи. 2. Физ., техн. Величина или величины, характеризующие какие л.
свойства процесса … Толковый словарь русского языка Кузнецова
параметр — сущ., кол во синонимов: (3) • ↑метеопараметр (1) • ↑предиктор (4) • ↑приведенка (4) Словарь синонимов ASIS, Тришин
В.Н., 2010 … Словарь синонимов
ПАРАМЕТР — (от греч. parametnm отмеривать) англ. parameter; нем. Parameter. 1. В математике величина, значение к рой является
постоянным в пределах рассматриваемой задачи. 2. Величина, характеризующая к. л. свойство устройства, процесса, вещества; то
же,… … Энциклопедия социологии