Transcript 2. Renaissance de la didactique des mathématiques

Renaissance de la
Didactique des
Mathématiques
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mathématiques
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Les mathématiques vers 1960
Une évolution ancienne, qui s’accélère…
des idées qui envahissent les sciences et les
techniques
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►
Le 18ième siècle voit le Calcul différentiel et intégral ouvrir
un champ nouveau aux mathématiques qui envahissent
l’industrie
►
Le 19ième voit l’algèbre, l’analyse et la logique réorganiser
les structures de l’édifice jusqu’à la crise des fondements
►
Le 20ième siècle voit un développement tous azimuts des
mathématiques fondamentales et appliquées (qui tendent
à se confondre), toutes les sciences demandent et
suscitent des développements mathématiques originaux
►
Malgré l’allongement des études, il devient de plus en plus
difficile d’assurer des connaissances mathématiques
suffisantes pour les acteurs de tous les secteurs d’activités
où cela serait nécessaire.
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►
La pression concerne d’abord les formations universitaires
et en particulier en mathématiques, la préparation aux
grandes écoles
►
Après 1950, toutes les forces vives de la société, les
industriels comme les intellectuels, militent pour cette
réforme dans le monde entier.
►
►
►
Progressivement toutes les disciplines et tous les secteurs
de l’enseignement classique: le vocabulaire, les objets de
l’étude, la construction des concepts, l’organisation
d’ensemble, les méthodes d’enseignement… sont remis en
cause, certains mêmes disqualifiés dans l’opinion.
Ces projets vont se concrétiser en France à l’occasion des
évènements de 1968
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►
La demande évoluera avec l’apparition de l’informatique
qui rend progressivement automatiques les calculs, la
gestion et la modélisation dans beaucoup d’activités
humaines et par suite, dévalue leur apprentissage .
►
Beaucoup veulent que la réforme ne se limite pas aux
études supérieures scientifiques. Elle doit concerner le 2ième
cycle de l’enseignement secondaire scientifique.
►
►
Rapidement on conçoit qu’elle doit s’étendre à tout le
secondaire, c.à.d à son tronc commun, le premier cycle et
on entrevoit des raisons de l’étendre aussi au primaire
►
Finalement l’ambition de la réforme s’étend « de la
maternelle à l’Université »
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Cette réforme consiste essentiellement :
► 1. à réorganiser l’ordre des notions classiques par rapport à
l’exposé moderne des mathématiques afin de réformer et
d’unifier le vocabulaire
►
2. à réaliser les cours sur ces nouvelles connaissances
►
3. à imaginer les exercices et les problèmes
correspondants. Ce qui était moins aisé !
… en utilisant si possible les méthodes pédagogiques et les
connaissances épistémologiques et psychologiques
classiques
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►
Remarque : Adapter ces conceptions et ces méthodes aux
nouvelles connaissances venues de toutes les disciplines
était considéré par les mathématiciens comme un
problème indépendant, qui était l’affaire des professeurs et
des psychopédagogues
►
Mais toutes les disciplines proposaient de nouvelles
suggestions à l’enseignement et engageaient des
recherches à ce sujet
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1950-60
Le renouveau des mathématiques
pose à l’enseignement des questions
- de culture mathématiques
- et d’Ingénierie didactique
qui vont remonter jusqu’à
l’enseignement primaire
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L’enseignement des
mathématiques à l’école
primaire avant 1960
Une méthodologie traditionnelle
sophistiquée mais sans support
scientifique
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Des méthodes et une épistémologie stables
►
►
Les mathématiques à l’école primaire (6-14 ans) : arithmétique (3h/s),
système métrique (1h/s), géométrie (1h/s) pendant 36 semaines
L’enseignement de l’arithmétique suit un plan d’ensemble qui est le
même depuis plus de 250 ans (ref. Gobain 1711), avec seulement
l’ajout du système métrique.
►
La responsabilité du professeur : exposer la même leçon à tous les
élèves, donner et corriger des exercices et des problèmes. Assurer des
révisions périodiques raisonnables pour les algorithmes fondamentaux
pour les usages
►
Les instituteurs ne signalent pas de grandes difficultés dans leur
enseignement de l’arithmétique et du calcul, sauf un peu pour les
problèmes: les élèves « doués » savent tous les faire parfaitement, les
autres se limitent plus ou moins aux exemples standards, certains en
restent aux exercices.
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Diverses organisations de manuels
►
1. Recueil de problèmes pratiques gradués centrés sur les métiers: les
algorithmes sont nommés mais pas étudiés à part
►
2. Les algorithmes simples sont regroupés et quelques notions sont
identifiées et montrées à l’occasion de leur usage
►
3. L’étude des algorithmes et des notions mathématiques devient
l’ossature des manuels. Les définitions et les règles deviennent l’objet
d’enseignement et d’apprentissage formels (récitation). Exemple, leçon
type 1890.
►
4. Lorsque survient l’étude des structures mathématiques, à la fin des
années 60 : les notions sont articulées pour la commodité de leur
présentation et de leur compréhension interne. Les exercices se
diversifient en rapport avec le cours. Leur rapport classique avec les
usages et les pratiques quotidiennes n’est plus assuré.
►
5. La réaction à partir des années 90. « retour » vers un faux passé
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Plan standard d’une leçon type 1920
►
►
►
►
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►
►
►
►
►
►
La correction des devoirs de la veille
Le titre, l’objet de la leçon (ex. mesure de volume pour les bois)
L’exposé de la connaissance à apprendre : définition, ou règle,
Les questions orales répéter, interroger et commenter l’exposé
Les exercices oraux et écrits, contrôlés aussitôt (reproduire)
Les exemples d’applications,
Le Problème type, Emplois similaires
Les commentaires et les questions
La correction ,
Les exercices d’entraînement, ad libitum
Les devoirs,
E
N
C
L
A
S
S
E
A la Maison
Il s’agit de l’étude des techniques et de leur applications.
Les mathématiques sont, au mieux, orales, lors des explications
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Exemple (1923)
Alix & Bazenant, Arithmétique
Bibliothèque d’éducation (1923)
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Avec des variantes…
►
►
►
►
►
►
►
►
présentation d’un problème introductif
recherche autonome ou recherche guidée de la solution
Explication, preuve ou démonstration,
Reformulation et confirmation de la validité culturelle
Les applications
exercices contrôlés par le professeur,
Problèmes
exercices d’entraînement où la réponse est donnée
(auto -enseignements programmés,
E
N
C
L
A
S
S
E
fichier de calcul de C. Freinet)
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Exemple 1962
Ch. Piette, S. Sciulara, R. Berthoul,
Arithmétique Moderne, Cours moyen
1- 2, Wesmael-Charlier, 1962
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►
Les modèles classiques (rationalistes et « conductivistes ») sont
toujours l’objet de critiques , qui, dans la ligne de Rousseau, s’appuient
sur des arguments d’origines diverses, pédagogiques, médicales ou
philosophiques.
►
- L’éducation nouvelle de John Dewey prône une pédagogie active,
l’écoute des besoins de l'enfant, le recours au projet: apprendre en
faisant... (E.U. 1900). Elle est « pragmatique, expérimentale,
volontariste et socialisante ».
►
Ce mouvement en inspire beaucoup d’autres, dès 1918, qui se
manifestent par la production de techniques variées : textes et dessins
libres (C. Freinet), centres d’intérêt (O. Decroly), méthodes fondées sur
la psychologie sensori-motrice (A. Montessori), activités collectives
(Roger Cousinet) ou individuelles (H. Bouchet ) ou orientées plutôt
vers les travaux manuels ou vers les techniques modernes de
communication…
►
Il apparaît ainsi une grande variété de pratiques proposées aux
enseignants avec des arguments rhétoriques et avec des exemples de
classes « modèles » ou expérimentales
Le contenu intervient peu dans ces débats.
►
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Trois questions sensibles en 1965
► 1.
Pour les instituteurs Comment améliorer
l’apprentissage de la résolution de problèmes?
La recherche se concentre à cette époque :
- Sur l’étude des élèves en difficulté,
 classification des handicaps  enseignement
individualisé (1934)
- et sur l’enseignement de la résolution des
problèmes par les procédés classiques :
 Problèmes types, analogie, discours et répétition
(apprentissage behavioriste,
 L’illustration, le matériel etc. (moyens sensorimoteurs)
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► 2.
Pour les responsables des programmes
Comment améliorer l’organisation générale des
apprentissages mathématiques
Elle est fondée à l’époque sur l’enchaînement des
techniques et sur la décomposition des tâches en
sous tâches :
►
- adaptée aux exposés suivis d’exercices
- mais lourde (répétitive), coûteuse (en vocabulaire, en
temps et en échecs), inadaptée aux mathématiques
Cette organisation conduit à multiplier les problèmes types
pour favoriser la reconnaissance par analogie. Plus leur
nombre croît plus l’incertitude des élèves augmente.
► Les
mathématiques et une épistémologie
scientifique peuvent-elles faire mieux ?
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► 3.
Pour les promoteurs de la réforme. A quelles
conditions des réponses à ces questions pourront
être tenues pour scientifiquement valides ?
Quelles connaissances pour déterminer leur objet (les
questions, les hypothèses)?
Quelles conditions pour la mise en expérience de ces
questions (la confrontation à la contingence)?
Quelles Méthodes pour établir la consistance et la
validité des conclusions?
Quelles limites (précautions) pour leur développement?
►A
l’époque, on conçoit seulement un schéma
empirique :
Grands principes, Idées générales, /Expérimentations,
« évaluation », /Diffusion par l’exemple / reproduction,
En fait ces processus sont seulement médiatiques, sans
contrôle effectif de la valeur scientifique des hypothèses.
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Les mathématiques
« modernes » et
l’enseignement primaire
Les raisons et les causes de l’extension
du mouvement à l’école primaire sont
différentes
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►
►
Mais il était clair que pour l’école primaire, le projet de changer
seulement le « contenu » mathématique ne pouvait pas fonctionner
car les méthodes pédagogiques traditionnelles étaient critiquées de
toutes parts.
On pouvait prévoir que les professeurs essaieraient de les changer
►
Mais alors, tenter de résoudre en même temps le problème de la
compréhension de l’enseignement et de l’apprentissage de
mathématiques totalement nouvelles, en tenant compte des apports
des autres disciplines notamment de l’épistémologie, ne pouvait que
provoquer la proposition d’un très grand nombre de « solutions ».
►
Il en résulterait une grande dispersion
- difficile à accepter pour les responsables de l’éducation nationale
soucieux de son homogénéité, et surtout
- difficile à réduire par le processus habituel des concertations
entre le genre d’« experts » dont on disposait
- et a fortiori par des ralliements spontanés au même modèle
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►
C’est sans doute ce qui a poussé les promoteurs de la réforme, et en
particulier André Lichnérowicz à envisager la création d’Instituts de
Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques.
►
Il me proposa en 1964 d’étudier « les conditions limites d’une
expérience en pédagogie des mathématiques ». Je lui remis en 1968
un « rapport » sur les conditions sociales, matérielles et
méthodologiques de l’observation dont je vous parlerai bientôt.
►
Je rendis public en 1970 une sorte de programme d’étude des
« situations pour l’enseignement des mathématiques » avec quelques
premiers exemples.
►
L’idée des situations s’inspirait des dispositifs imaginés par Pierre Gréco
pour étudier l’apparition spontanée des structures mathématiques chez
l’enfant. J’avais l’intention de systématiser la construction de dispositifs
appropriés à l’étude psychologique des nouveaux concepts
mathématiques.
►
Les grandes étapes de ce qui s’ensuivit est l’objet de la vue suivante
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La création des IREM et la naissance de la
didactique et ma contribution
►
1964 : 1964 : Grande agitation des mathématiciens et des professeurs
réforme de l’enseignement à l’université
►
Détail personnel: André Lichnérowicz me propose d’étudier « les
conditions limites d’une expérience en pédagogie des mathématiques »
►
1968 : Mouvements sociaux,
►
Je remets mon « rapport » sur « les conditions sociales, matérielles et
méthodologiques des expériences en pédagogie des mathématiques » au
colloque d’Amiens : il conclut sur le projet d’un IREM
►
1969 : Création des premiers IREM : de la maternelle à l’université, tous
►
Je publie un programme d’étude des « situations pour l’enseignement des
mathématiques ». Le Pr Colmez directeur du nouvel IREM de Bordeaux me
confie la mise en œuvre du programme de recherches de l’équipe que j’avais
formée depuis 1964.
les niveaux sont concernés …
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L’enseignement primaire est un terrain plus favorable que d’autres aux
recherches théoriques et expérimentales sur l’enseignement:
►
►
►
►
►
►
les aménagements didactiques du savoir y sont plus évidemment
nécessaires, plus délicats et moins facilement conformes aux canons
traditionnels de l’enseignement des mathématiques
les connaissances qui y sont traditionnellement enseignées sont
fondamentales. Elles sont donc concernées par les nouvelles
mathématiques bien que leur origine très ancienne rende leur forme
plus différente.
les phénomènes de didactique y sont plus « complexes » et d’autant
plus visibles.
Les conflits épistémologiques y sont moins violents
Seule la jeune tradition scolaire et les ressources humaines du primaire
permettaient la création des conditions expérimentales nécessaires
Alors que le mouvement prenait l’ampleur que l’on connaît dans le
secondaire et dans le supérieur, les instruments nécessaires à des
recherches scientifiques cliniques et expérimentales sur la scolarité
commune se mettaient en place avec la création du COREM.
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L’ingénierie didactique
Les options fondamentales du centre
d’observation et de recherches de
l’IREM de Bordeaux
(COREM)
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►
►
1. La Simulation de l’activité mathématique
L’enfant apprend à parler sa langue maternelle grâce à des conditions
favorables (recherche de coopération, communication, etc.) avant de
pouvoir étudier sa grammaire. Ces conditions le conduisent à
s’exprimer et non pas à citer ou à réciter des textes.
►
Pour enseigner les mathématiques il faut donc disposer de conditions
qui induisent spontanément chez les élèves des comportements qui
ressemblent à ceux des mathématiciens lorsqu’ils créent les
mathématiques mais qui sont des expressions
►
Dans la conception didactique classique ce sont les problèmes qui
tiennent ce rôle. Faire des mathématiques, « c’est » résoudre des
problèmes de mathématiques dit-on.
►
Or si avec les méthodes classiques l’enseignement des textes et des
algorithmes mathématiques est assez bien réussi, celui des problèmes
est moins satisfaisant.
►
On peut penser que c’est parce que l’activité mathématique est mal
représentée par les problèmes traditionnels.
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►
►
►
►
►
Les méthodes d’apprentissage classiques consistent à exposer le savoir,
puis à en faire apprendre le texte, puis à demander la restitution ce
texte en réponse à des circonstances voisines.
Cette restitution ne représente pas bien l’activité mathématique: tout
ce qui s’écarte du texte et des méthodes enseignées est considéré
comme des maladresses ou des erreurs.
Or l’activité mathématique réelle a abouti à ces textes par des
processus beaucoup plus variés, où la production de questions et de
connaissances nouvelles avait son prix.
Ainsi pour les élèves aussi, faire des mathématiques serait poser de
nouveaux problèmes, de nouvelles questions en construisant au
passage les instruments d’étude nécessaires
D’où l’idée d’élargir la notion de « problème » centrée sur la
construction logique des énoncés mathématiques, à celle plus large de
« situation », qui par des propriétés poïétiques*, pourrait susciter une
sorte de genèse mathématique des concepts.
* La poïétique a pour objet l'étude des potentialités inscrites dans une
situation donnée qui débouche sur une création nouvelle.
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►
►
►
►
►
►
2. La chose avant le mot et avant l’explication
Traditionnellement, les connaissances étaient introduites d’abord
verbalement, par leur définition et par leur justification.
Sans renoncer à cette possibilité, il semblait utile d’étudier des
dispositifs où le sens pourrait se manifester par des décisions avant
d’être l’objet de formulations et d’explications.
Créer les conditions qui provoquent chez l’élève des décisions dont la
cause et la raison sont la connaissance à enseigner, donne à cette
connaissance une existence concrète qui peut permettre ensuite de
l’évoquer, de la communiquer et de l’expliquer.
Examiner, Expliquer, justifier, définir, sont des activités secondes. Elles
sont facilitées par l’existence préalable de leur objet sous forme de
faits « objectifs », de décisions et de formulations directes.
Ces conditions ne tendent pas à reproduire les processus historiques,
ni les textes qui en résultent. Ce sont des simulations qui donnent aux
connaissances le sens finalement retenu par les mathématiciens. Elles
avaient l’avantage d’inviter les novateurs à éviter l’intrusion de
concepts trop discursifs, accompagnés d’un vocabulaire qui ne serait
pas soutenu par un usage mathématique.
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►
3. La spécificité des conditions et des processus
►
Les conditions d’apprentissage sont spécifiques de chaque savoir: par
exemple on ne compte pas et on ne range pas des objets dans les
mêmes conditions ni pour les mêmes raisons.
►
Les processus de connaissance et d’apprentissage trop généraux ou
trop particuliers sont finalement plus coûteux et moins efficaces. La
construction mathématique est par définition la seule qui soit
légitimement « signifiante ».
Par exemple, l’importance démesurée donnée dans l’enseignement aux
procédés rhétoriques comme la métaphore et plus précisément
l’analogie n’ont finalement qu’une efficacité locale et passagère. Il en
est de même pour la décomposition formelle soi disant « rationnelle »
lorsqu’elle fait disparaître la logique et la fonction du concept.
►
►
La question génératrice de la théorie des situations est donc «pourquoi
les élèves donneraient-ils la réponse attendue? Ces raisons sont-elles
mathématiques? Sont-elles l’objet de l’enseignement? Sont-elles
optimales?».
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4. La centration des recherches sur les situations mathématiques
utilisées avec les enfants présentait plusieurs avantages…
a) aborder directement les difficultés principales de l’enseignement
traditionnel : celui de la résolution des problèmes
b) tenter de répondre à la question essentielle :
« Est-ce que pratiquer les mathématiques en mathématicien favorise
vraiment leur apprentissage et leur enseignement, par rapport aux
méthodes classiques plus formelles et plus périphériques? »
c) Laisser les professeurs continuer à utiliser les moyens qui leur sont
familiers et qui conviennent souvent à certains objectifs et à certaines
conditions sans entreprendre une bataille épistémologique générale
prématurée.
Il ne s’agissait pas pour moi de promouvoir des innovations lucratives en
disqualifiant le travail des professeurs mais d’obtenir des réponses
convaincantes à des questions. Je ne prévoyais pas de faire l’impasse
sur ce que l’expérience de l’enseignement avait accumulé au cours des
siècles, mais de le questionner
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5. … Et quelques inconvénients, entre autres…
a) Il fallait admettre que le sens des concepts mathématiques variait
suivant les conditions de leur utilisation. En créant de nouvelles
situations les professeurs, volontairement ou non, transforment les
mathématiques qu’ils enseignent. L’idée que les mathématiques
« changent » suivant le contexte paraît choquante pour les
mathématiciens. Il convenait d’étudier ces modifications pour les
contrôler et pour les utiliser. Ce phénomène a été étudié plus tard
sous le nom de « transposition didactique»
b) L’organisation mathématique des mathématiciens n’est donc pas
nécessairement la plus adaptée à l’apprentissage. L’ampleur et la
signification des écarts n’est pas analysable sans une science
expérimentale appropriée ayant pour objet les rapports des sociétés
humaines avec les mathématiques.
c) Ce genre de travaux n’avait pas de place dans l’organisation des
disciplines, ni en psychologie, ni en pédagogie. Leur responsabilité
revenait aux mathématiciens. Nous les avons intitulés : « recherches
en ingénierie (mathématique pour la) didactique
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Conclusions
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Il s’agissait donc de chercher comment pourraient être construites ces
situations propres à stimuler l’activité mathématique des élèves.
Certains se sont attachés à donner des exemples d’activités pour
apprendre des connaissances fragmentaires autour des apprentissages
officiels.
Il s’agissait au contraire de pouvoir le faire à propos des notions
traditionnellement enseignées, si possible à leur place (et non pas
comme des cours additionnels) et avec des résultats au moins aussi
bons.
La suite de ce cours a pour objet de montrer comment la construction
de ces situations a été possible et pourquoi. Pour cela je présenterai
1. des exemples de leçons et de curriculums couvrant les parties les
plus importantes de l’enseignement commun à tous les élèves
2. La définition des principaux concepts théoriques relatifs à la théorie
des situations mathématiques et à celles des situations didactiques
3. Les méthodes d’observation que nous avons utilisées pour
confronter nos travaux à la contingence.
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Dans l’immédiat, nous allons d’abord montrer un exemple de situation
propre à faire créer des théorèmes par les élèves, et les études dont
elle a été l’objet. (qui dira 20?)
ensuite nous montrerons comment TOUT énoncé mathématique,
théorème ou définition, peut être interprété par des modèles de
situations.
Nous appliquerons ces principes à la construction d’une ébauche
appropriée à l’étude de l’égalité.
Ces esquisses peuvent être étudiées et améliorées expérimentalement
et théoriquement.
Mais notre ingénierie ne prétend pas donner des « modèles » au sens
populaire. Elle ne disqualifie a priori aucun procédé, ancien ou
nouveau.
Il est important de noter que nos travaux ont seulement pour objet de
nous aider à comprendre l’enseignement des mathématiques, pratiqué
ou possible, et sa complexité et de faire de son étude un objet de
science
Cette science commence à pouvoir prévoir certains phénomènes
Mais nous ne prétendons pas qu’elle est assez avancée pour nous
permettre de nous aventurer à suggérer des solutions pratiques aux
problèmes que nous soulevons.
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Fin
A venir :
ID2 : Étude d’une situation mathématique
ID3 : Exemples de construction de situations : la
désignation, l’égalité,
ID4 : le nombre naturel
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