Transcript P 0 - Blog.hu

Határidős és opciós ügyletek
segédanyag
IV. Opciók értéke lejárat előtt
22
• A lejárat pillanatai tehát igen egyszerűek, de
a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam.
• Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható
meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk.
• Miért bonyolult?
– „Szokásos” eljárásunk, a várható pénzáramlás
becslése, majd az opció kockázatához illeszkedő
tőke alternatíva költséggel történő diszkontálás
nem vezet megoldásra.
– Az opció kockázata folyamatosan változik.
• Érték = Árfolyam
– Hatékony árazódást tételezünk fel.
– c és p érték is, (egyensúlyi) árfolyam is.
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
2
IV.1. Egyszerűsített megközelítés –
a binomiális modell
22
• Mivel egy opció értéke közvetlenül nem
megragadható, így olyan részek
kombinációjával próbáljuk közelíteni, amelyek
értéke ismert, vagy könnyen megadható.
• A binomiális modellben lényegében az
alaptermék árfolyam-alakulásának
tulajdonságait egyszerűsítjük azért, hogy a
lejáratkori árfolyam végtelen lehetséges értéke
helyett csak néhánnyal kelljen kalkulálnunk.
– A részvény-árfolyamok alapvető tulajdonságait kell
egyszerűbb formára hoznunk
• várható hozam + bolyongás
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
3
• A binomiális modell egyszerűsítése:
P
P
folytonos modell
P0
22
diszkrét binomiális
modell
P0
t
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
t
4
• Mindezek után olyan portfóliót állítunk
össze, amelynek ugyan része az opció is, de
mind a portfólió egésze, mind a többi része
egzaktul megadható.
• Végül a portfólió és az „egzakt rész”
különbségeként adódik az opció értéke.
23
– Olyan portfóliót állítunk össze, amelynek T
időpontbeli értéke biztosan ismert.
– Ezt úgy csináljuk, hogy a portfólióban lévő
részvény értékének változását „lefedezzük” az
opció értékének változásával.
– Ismerjük tehát a portfólió jövőbeli értékét,
amiből megadhatjuk a jelenbeli értékét.
– Mivel ismerjük P0-t, az egyetlen ismeretlen az
opció jelenlegi (c vagy p) értéke lesz.
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
5
23
• Tekintsünk egy egyszerű példát!
–jelenlegi részvényárfolyam (P) legyen 10$
–vételi opció
• kötési árfolyam K=11$
• lejárat T=1év, európai típusú
–a részvényárfolyam 1 év alatt 12,5$-ra növekedhet,
vagy 8$-ra csökkenhet
részvény: 12,5$
opció: 1,5 $
12,5$
részvény: 10$
opció: c
10$
részvény: 8$
opció: 0
8$
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
6
• Állítsunk össze a lejáratkori
részvényárfolyamtól független értékű
portfóliót!
23
–Célunkat x db részvény megvásárlásával és 1
db (ezen részvényre vonatkozó) vételi opció
kiírásával (eladási kötelezettség vállalásával)
próbáljuk elérni.
12,5 x  1,5  8 x
1
x
3
–1/3 részvényből és 1 vételi opció kiírásából álló
portfóliónk értéke 1 év múlva:
1
1
12,5  1,5  2, 67
 8  2, 67
3
3
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
7
–Tudjuk tehát, hogy a portfólió jövőbeli értékét. 24
2,67$
–Egy ilyen portfólió összeállításának költsége – a
portfólió jelenbeli értéke:
1
10$  c
3
–Mindezek alapján c-t meghatározható.
(3,33  c)  (1  rf )  2, 67
2, 67
c  3,33 
(1  rf )
2, 67
c  3,33 
 0, 738
(1  0, 03)
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
8
• Binomiális értékelés több periódus esetén
24-25
–Hasonló eljárás, mint egy periódus esetén.
15,625 $
12,5 1, 25
4,625 $
15,12,5
625zy2,4,29
625
 8z10 y
y
0,822
z
0,509
12,5 $
10 1, 25 2,29c1$
12,5  0,8
10 $
10 $
c
0$
10  0,8
0$
8 1, 25
8$
8  0,8
6,4 $
15,
625 0,509
 0,8222,4,29
625
 072
8, 22
12,5
 4,
 0,822
 072
8, 22
810
 0,509
 4,
8,4,22
072
12,5

0,822

c

1
10  0,509  c  1  r
1  0,f 03
0$
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
cc1 
 1,137
2, 29$
9
• A megoldás pontosításához a részidőszakok 26
számának növelése vezet, ez azonban
megnehezíti a számítást.
• A binomiális modell segítségével az alaptermék
árfolyamváltozásának folyamata könnyen
megragadható, a paraméterek változtatásával
bonyolultabb folyamatok is könnyen
kezelhetők (az értékelési eljárás alapelve ekkor
is hasonló).
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
10
• Binomiális értékelés – eladási opciók
25
–példa: P0=50$, T=2év, KT=52$, rf=5%
72 $
60 1, 2
0$
60 $
50 1, 2 1,42 $
60  0,8
48 $
50 $
4,24 $
4$
50  0,8
9,52 $
40 1, 2
40 $
40  0,8
32 $
20 $
2007. tavasz
Kockázatmentes portfólió:
x 60
dbzrészvény
 1, 42  és
401z db
 9,52
eladási opció megvásárlása
z  0, 405
72 x48
 y48x4432 y  20
0, 405  60  1, 42  25, 72
y 1
x  0,167
0, 405  40  9,52  25, 72
0,167  72
4812,
4 02
52
25, 72
0,167
 48
324p20
12,
0, 405
 50
 02
52
1, 05
12,
02
52
0,167  60 
40ppp4, 24
1, 05
1, 05
p p1,42
9,52
Határidős és opciós ügyletek
11
• Binomiális értékelés – amerikai opciók
72 $
0$
60 z  1, 42  40 z  12
z  0,529
60 $
1,42 $
50 $
5,13 $
48 $
12 $$
9,52
4$
40 $
32 $
20 $
2007. tavasz
25
0,529  60  1, 42  33,16
0,529  40  12  33,16
33,16
0,529  50  p 
1, 05
p  5,13
Határidős és opciós ügyletek
12
IV.2. Általános megközelítés –
a Black-Scholes modell
26
• A binomiális modellnél a diszkrét
árfolyamváltozások bevezetése adta a
megoldást.
• A folyamatos változat megoldását adja az ún.
Black-Scholes-formula (képlet).
• A megoldáshoz vezető út szinte azonos:
–kockázatmentes portfólió – részvény - opció
• A folyamatos forma miatt a levezetés
magasabb fokú matematikai eszköztárat
igényel. Ezért a téma tárgyalását
leegyszerűsítjük, a levezetéstől eltekintünk.
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
13
• A Black-Scholes formula sztorija
– „Az elmúlt három évtized egyik legfontosabb
áttörése volt a pénzügyekben.”
• 1960-as évek végén egy különös háromtagú
társaság
– Fischer Black
– Myron Scholes
– Robert C. Merton
Fischer
Black
2007. tavasz
Myron
Scholes
Határidős és opciós ügyletek
Robert
Merton
14
• Az alap-formula a lejáratig osztalékot nem 27
fizető részvényre vonatkozó európai vételi
opció értékét (c-t) adja meg, a többi opciós
pozíció értékére ebből következtetünk majd.
• A Black-Scholes formula szerinti c-függvény
jellege:
c
c
P0-KT
KT
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
P0
15
• A Black-Scholes formula szerinti
c-függvény képlete:
27
• P0 a részvény jelenlegi árfolyama
• K0 az opció KT kötési árfolyamának jelenértéke
rf kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva
• N(d) a normális eloszlású valószínűségi változó
eloszlásfüggvény-értéke d-nél
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
16
• A Black-Scholes formula szerinti
c-függvény képlete:
28
c  P0  N (d1 )  K0  N (d 2 )
Valamekkora valószínűséggel
rendelkezünk P0 értékű
részvénnyel
Valamekkora
valószínűséggel
fizetünk K0 –t érte
•  a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz
a részvény időegység alatti relatív szórása, ami
megegyezik az időegységre vonatkozó hozam
szórásával.
• N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét
adják, hogy PT nagyobb lesz KT -nél és az
opciót lehívják.
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
17
28
• Jegyezzük meg, hogy az opció értékét
meghatározó tényezők között nem szerepel se
a részvény bétája, se várható hozama.
• Egy opciós jogot úgy kell felfogni, hogy
„kicsit” már most megvettük a részvényt,
amiért „kicsit” már fizettünk is, meg később
is fogunk még.
• A diszkontált pénzáramláson alapuló
megközelítés zsákutca, mert képtelenség
kifejezni a kockázatot, és így ralt-ot, mert az a
részvény árfolyam-változásával és az idő
előrehaladtával folyamatosan változik.
• (Ezért nem tudták annyi ideig megoldani.)
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
18
• Mitől függ c értéke?
Nézzük meg a képlet változóit!
Ha nő a
Részvényárfolyam (P0)
akkor c értéke
nő
Kötési árfolyam (KT)
Kamatláb (rf)
Lejáratig hátralévő idő (T)
Részvény volatilitása ()
2007. tavasz
28
Határidős és opciós ügyletek
csökken
nő
nő
nő
19
28
• Indokoljuk meg az egyes változók
hatásának okait!
• A kötési árfolyam hatása szinte nyilvánvaló,
a többi tényező szerepének megértéséhez az
opció értékét részértékekre bontjuk szét.
–Belső érték
–Ingadozási érték
–Részletfizetési érték
2007. tavasz
Időérték
Határidős és opciós ügyletek
20
• Belső érték
29
–Az opció azonnali lehívása eredményezné.
–Amennyivel mégis több az opció értéke, az ún.
időérték.
c
P0-KT
KT
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
P0
21
• Ingadozási érték
29
c
c
P0-KT
P0
KT
E(PT)
P
PT
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
22
• Ingadozási érték és belső érték
29
c
c
P0-KT
Belső érték
KT P0
E(PT)
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
P
PT
23
• A részvényárfolyam lejáratig adódó
kockázatossága pozitívan hat c értékére:
c
c
P
P0
KT
P
PT
P0
c
KT
PT
c
P
KT P0
2007. tavasz
30
PT
P
KT P0
Határidős és opciós ügyletek
PT
24
• Az ingadozási érték tehát annál nagyobb, 30
minél a részvény lejáratig hátralévő időre eső
változékonysága.
c
• Mitől függ ez?
c
–T-től
–σ-tól
–egészen pontosan
-től
P0-KT
P
P0
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
KT
PT
25
31
P
PT=4
P1
P0
0
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
T
t
26
• Részletfizetési érték
31
–Első érzetünkkel ellentétben c értéke nem a P0-KT
belső értékhez „simul”, hanem a P0-K0 ún.
módosított belső értékhez.
–Ez azzal magyarázható, hogy az opció lehívása
lényegében egy részletre történő részvényvásárlást
jelent, ahol az első részlet c, a második részlet KT.
–KT-nek viszont csak a jelenértékét kell számolnunk,
hiszen később fizetjük:
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
27
32
c
KT-K0
P0-KT
P0-K0
c
K0 KT
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
P0
28
–A részletfizetési érték nyilván KT -től, rf-től és T-től 32
függ, valamint a lehívás valószínűségétől is:
c
c
KT-K0
Részletfizetési érték
P0-KT
N(d)
KT
P0
1
d
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
29
• Összegezzük a három értékforrást!
32
c
c
KT-K0
Részletfizetési érték
Időérték
Ingadozási érték
P0-KT
Belső érték
KT
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
P0
30
Ha nő a
Részvényárfolyam (P0)
akkor c értéke
nő
Kötési árfolyam (KT)
Kamatláb (rf)
Lejáratig hátralévő idő (T)
Részvény volatilitása ()
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
csökken
nő
nő
nő
31
• c értéke „ráérzésre”:
2007. tavasz
33
Nagy T és nagy σ
Kis T és nagy σ
Nagy T és kis σ
Kis T és kis σ
Határidős és opciós ügyletek
32
IV.2.2. Európai eladási opciók értéke
lejárat előtt – a put-call paritás
34
• Az eladási opció értékét – az ún. put-call
paritás segítségével – a vételiéből vezetjük le.
• A paritásos összefüggés felírásához két azonos
eredményű (értékű) portfóliót állítunk össze,
úgy, hogy az egyikben vételi, a másikban
eladási opció szerepeljen.
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
33
34
LC
LP
KT
KT
KT
PT
KT
PT
KT
PT
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
PT
34
35
p
KT-K0
KT
c  K0  p  P0
K0
c
K0 KT
p=c-P0+K0
p c
P
K00KP0
P0
p=c-P0
-K0
-P0
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
35
• Vázoljuk az eladási opcióknak is a belső, a
részletfizetési és az ingadozási értékét!
35-36
p
KT
K0
Részletfizetési érték (-)
Ingadozási érték (+)
KT-P0
Belső érték
P0
KT-K0
N(d)
KT
1
d
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
36
• Mitől és hogyan függ p értéke?
Ha nő a
Részvényárfolyam (P0)
Kötési árfolyam (KT)
Kamatláb (rf)
Részvény volatilitása ()
Lejáratig hátralévő idő (T)
2007. tavasz
36
akkor p értéke
csökken
nő
csökken
nő
nem egyértelmű
Határidős és opciós ügyletek
37
IV.2.3. Osztalékot fizető részvényekre
vonatkozó vételi és eladási opciók
értéke lejárat előtt
E  DIV2 
E  DIV1 
E  DIVT 
E  DIVN 
36
E  DIVN 1 
P0
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
38
37
• Eddigi értékelési módszerünkön csupán P0
értelmezésén keresztül kell változtatnunk.
– Korrigáljuk a lejáratig fizetendő osztalékkal.
• (diszkontráta: rf vagy ralt?)
• A paritásos összefüggés is megváltozik:
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
39
IV.2.4. Amerikai típusú vételi opciók
értéke lejárat előtt
37
• Bármikor lehívhatjuk, ezért a jog birtokosa előtt
folyamatosan két lehetőség kínálkozik:
–Lehívja
• Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: P0-KT
–Nem hívja le
• Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): c
• Nyilván a nagyobb érték mellett fog dönteni.
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
40
• Amerikai vételi opció osztalékfizetés nélkül
37
c
KT-K0
P0-KT
P0-K0
c
K0 KT
P0
• Láthatóan c mindig nagyobb a belső értéknél
(P0-KT), így soha nem élnek a lehívás jogával,
így a lehívhatóság joga értéktelen.
• c amerikai = c európai
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
41
• Amerikai vételi opció osztalékfizetéssel:
c
38
DIV(T)0
P0 DIV + DIV(T)0 –KT
P0 DIV -KT
P0 DIV -K0
c
K0 KT
eladás
PP
0 DIV
0
lehívás
•A korábbi lehívás mellett szólhat a T-ig
kifizetésre kerülő osztalékok megszerzése.
•c amerikai > vagy = c európai
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
42
IV.2.5. Amerikai típusú eladási opciók
értéke lejárat előtt
38
• Itt is az a kérdés, hogy a belső érték vagy az
opció pillanatnyi értéke a nagyobb-e:
–Lehívja
• Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: KT-P0
–Nem hívja le
• Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): p
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
43
•Amerikai eladási opció osztalékfizetés
nélkül:
39
p
KT
K0
p
K0 KT
lehívás
eladás
P0
• Látható, hogy alacsonyabb P0 esetén – az egyre
csökkenő részletfizetési érték miatt – jobb a
korábbi lehívás („hamarabb jut KT-hez”).
• p amerikai > vagy = p európai
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
44
• Amerikai eladási opció osztalékfizetéssel:
39
p
KT
DIV(T)0
K0
KT-(P0 DIV +DIV(T)0)
= KT-P0 DIV -DIV(T)0
p
K0 KT
P0PDIV
0
• Az osztalékfizetés hatására a korábbi lehívás
motivációja gyengül.
• p amerikai „kevésbé” > vagy = p európai
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
45
IV.2.6. Opciók értékének meghatározása
Black-Scholes táblázattal
40
• 1. lépés
– volatilitás: 35,5%, lejáratig hátralévő idő: fél
év
• 2. lépés
– KT=63$, P0=59$, rf=2,5% (fél évre)
• 3. lépés: táblázat: 8,2
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
46
40
• Azonban a piaci árfolyam 6,1$.
– Mit rontottunk el?
– A „piac” kb. 42%-os volatilitást becsül.
– Ez az ún. visszaszámított volatilitás.
• Eladási opció:
2007. tavasz
Határidős és opciós ügyletek
47
„érték / ár”
„kockázat”
1
P0
K0
 T
2007. tavasz
c  P0  " Táblázat értéke"
p  c  K 0  P0
Határidős és opciós ügyletek
48