Facultad de Ciencias BQ-202 –Repartido Nº 1
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Facultad de Ciencias BQ-202 –Repartido Nº 1 - MEDICIONES, ERRORES Y AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
Definiciones y conceptos básicos
Magnitud física atributo cuerpo, fenómeno o sustancia susceptible de ser medido.
Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la carga eléctrica, etc.
Medir: comparar objeto con otro tomado como patrón universal que se define como unidad.
Proceso medición intervienen: mensurando (magnitud objeto a medir) , método de
medición ( sistema de comparación), instrumento de medición (incluye al observador)
- y definir unidades de medición.
En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el
método de medición, el observador y el entorno en que se realiza la medición. Asimismo, el
mismo proceso de medición introduce errores o incertezas.
No podemos obtener con certeza “el” valor del mensurando
solo podemos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente
contenido el mejor valor del mensurando.
Resultado final de una
medición: un número real,
valor de una magnitud física,
su unidad correspondiente y un
intervalo de incertidumbre:
x x
1
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Definiciones y conceptos básicos
x x
x
N mediciones: valor medio o promedio
1
x
N
N
x
i 1
i
N = 1 es el resultado de la única medida realizada
x
incertidumbre absoluta o error absoluto.
ERRORES O INCERTIDUMBRES
Medición: o no conocemos valor exacto o verdadero de la magnitud o no existe dicho valor.
Extraño en términos física clásica
Habitual en física moderna (mecánica cuántica) magnitudes no tienen valor determinado, y lo
que se mide es algo probabilístico.
Resultado medición: valor mejor representa magnitud y estimación incertidumbre medida.
Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición.
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Definiciones y conceptos básicos
Existen diferentes formas de definir y clasificar los errores.
Presentaremos los que consideraremos como válidos para nuestro curso.
Dos “clases” de errores:
1) SISTEMÁTICOS: se originan por imperfecciones en métodos de medición.
En general afectan los resultados siempre en un mismo sentido.
2) ESTADÍSTICOS: se producen al azar, debidos a causas múltiples y
fortuitas. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto
como por exceso.
Además habría un tercer tipo “los ilegítimos o espúreos” que son las
equivocaciones comunes.
En los distintos tipos de errores que veremos a continuación participan
tanto errores sistemáticos como estadísticos.
Sin embargo los consideraremos como independientes y usaremos el
error nominal para cuantificar los errores sistemáticos.
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Tipos de errores –error nominal
Error de apreciación σap – Asociado mínima división de escala o mínima
división que podemos resolver con algún método de medición.
No precisamente mínima división del instrumento, sino mínima división discernible por
observador. Puede ser mayor o menor que apreciación nominal, dependiendo habilidad (o
falta de ella) del observador.
Error de exactitud σexac - Error absoluto con que el instrumento ha sido
calibrado. Se suministra como información del instrumento.
Error de interacción σint - Proviene de la interacción del método de medición
con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor
se estima de un análisis cuidadoso del método usado.
Ejemplo: Medición de temperatura con un termómetro de bulbo.
Error falta definición objeto sujeto a medición σdef -Incertidumbre asociada
con la falta de definición del objeto a medir (incertidumbre intrínseca).
Ejemplos: diámetro de una sección que no es exactamente circular, longitud con apreciación
muy pequeña (límites del objeto dejan de estar bien definidos).
Error nominal de una medición σnom- En un experimento todas estas fuentes
de incertidumbres, independiente entre sí, pueden estar presentes, resulta útil
definir:
2
2
2
2
nom ap def int exac
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Errores estadísticos- Error absoluto
Errores estadísticos σest- los que se producen al azar, debidos a causas
múltiples y fortuitas.
Pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Midiendo varias
veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente.
Teoría estadística comúnmente hace referencia de ellos como errores de medición.
Para determinar el error estadístico, procederemos de
la siguiente forma.
Calculamos primeramente la desviación estándar Sx
x
N
Sx
Finalmente determinamos el error estadístico est
j 1
j
x
N 1
est
N
2
x
j 1
2
j
N 1
Sx
N
Error absoluto o efectivo Δx resulta de combinar el error nominal con el
estadístico de la siguiente forma:
2
2
2
2
2
2
2
x est
nom
est
ap
def
int
exac
Si hacemos una única medida:
σest = 0
y
Δx = σnom
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Resumen para evaluar el error
1) El error de la medición lo calcularemos a través de la expresión: x
2) Si hacemos una sola medida:
x nom
2
2
est
nom
3) Si tomamos varias medidas: calculamos Sx (desviación estándar) y luego
determinamos:
est
Sx
N
4) Para determinar el error nominal (nom) debemos calcular los 4 tipos de errores.
2
2
2
nom ap2 def
int
exac
El error de apreciación (aprec) y exactitud (exac) en general lo calculamos a
través de la “tabla de errores del multímetro”
Si no se especifica nada en el planteamiento de la situación, se asumirá que el
error de definición y de interacción se asumen como nulos: def = int = 0.
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Número óptimo de mediciones
Sx (desviación estándar) dispersión de cada medición y no depende de N
(número de medidas) sino de la calidad de las mediciones,
σest (error estadístico) sí depende de N, y es menor cuanto más grande es N.
Por ejemplo si medimos una longitud con regla graduada en mm, por más que aumentamos
N (disminuyendo σest ) nunca con esta regla podremos dar con certeza cifras del orden de
los micrones, por más que realicemos muchas mediciones.
Al aumentar N, σest disminuye, pero, desde un punto de vista físico, el error en x
solo puede disminuir hasta hacerse igual o del orden de σnom.
No es razonable esforzarse en disminuir σest mucho más que σnom.
Suponiendo que Sx es constante con N, hacemos un número pequeño de
mediciones Nprel, de 5 a 10 y calculamos Sx:
2
SX
N OPTIMO
nom
Si NOPTIMO > Nprel, se completan las mediciones hasta NOPTIMO.
Si NOPTIMO < Nprel, no se realizan más mediciones que las preliminares y se usan todas ellas.
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Héctor Korenko -2012
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Tipos de errores –error interacción
Error de interacción σint
Barra ajuste micrómetro
confeccionada para ser usada
a 20ºC.
Apreciación instrumento:
0,01 mm (10 mm)
coefiente dilatación lineal
del acero:
1,1x10-5 /ºC)
Temp. ambiente 5ºC
Longitud calibre 150 mm
L = 25 mm
L T L
Héctor Korenko -2012
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Tipos de errores –error definición
Error falta definición objeto sujeto a medición σdef : Medir una longitud con
una apreciación de micras
Héctor Korenko -2012
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Cifras significativas
Regla 1: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del
primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.
Regla 2: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras
decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.
Regla 3: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas
del resultado es igual al del factor con menos cifras.
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Propagación de errores
Para determinar errores de una magnitud V que se calcula a través de
otras magnitudes x, y , z cuyos errores se conocen (Δx, Δy y Δz )
V
V
2
V
.x
x
y
2
Segundo orden
Primer orden
2
V
2
.y 2
.z ...
z
2
V
V
V
V
.x
.y
..z ...
x
y
z
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL
O LINEALIZACIÓN
Se aplica para ajustar a cualquier función,
veremos sólo ajuste a una recta.
y = ax +b
2
i Yi f ( X i ) Yi aX i b .
2
Minimizo:
i2
a
0
a
y
b
0
n X i Yi X i . Yi
n. X i2 X i
2
X . Y X . X Y
b
n. X X
2
i
Hipótesis: error sólo en yi (xi sin error)
i
i
i i
2
2
i
r
Coeficiente de correlación:
i2
2
i
n. xi . yi xi . yi
n. x x . n. y y
2
i
2
i
2
i
2
i
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL
O LINEALIZACIÓN
Funciones no lineales que se pueden linealizar: cambio de variables
Y aX b
Exponencial
Potencial
y ce
y cx
ax
Y i ln(yi )
X i xi
Y i log(yi )
X i log(xi )
Racional
y
xC
Y i
1
yi
X i xi
c eb
y eb e ax
a
c 10
b
y 10b x a
a
1
a
C
b
a
y
1
a
x
b
a
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