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Teoría de Errores
Topografía
Introducción
• En la vida cotidiana la mayoría de las
personas están acostumbradas a contar,
pero no así a realizar mediciones.
• La cantidad de personas presentes en
este salón son p. e. 23, 33, 36 y no 32.9
• La topografía se encarga de medir
cantidades cuyo valor exacto o verdadero
no se puede determinar, como el caso de
distancias, elevaciones, volúmenes.
Principio fundamental de la
topografía
Ninguna medición es exacta y nunca se
conoce el valor verdadero de la cantidad
que se mide.
• Aunque nunca se conocer el valor exacto
de una cantidad que se mide, podemos
saber de forma exacta cual debe ser la
suma de un grupo de mediciones, p. e. la
suma de los 3 ángulos internos de un
triángulo debe ser igual a 180º, y la suma
de los 4 ángulos internos de un rectángulo
debe ser 360º y así sucesivamente.
• Sin embargo, se debe tener habilidad para
ejecutar mediciones precisas, esto resulta
obvio cuando pensamos en largos
puentes, túneles, edificios altos, etc.; pero
también es necesario la precisión en los
levantamientos topográficos.
Exactitud y Precisión
• Exactitud, se refiere al grado de perfección que
se obtiene en las mediciones. Representa que
tan cerca se encuentra una medición
determinada del valor verdadero.
• Precisión, es el grado de refinamiento con el
que se mide una determinada cantidad, es la
cercanía de una medida a otra, si se mide una
cantidad y los valores son muy cercanos entre
sí, la precisión es alta.
Errores y Equivocaciones
• No existe persona que tenga los sentidos
tan desarrollados para medir cantidades
de forma exacta y tampoco instrumentos
con los cuales lograrlo, en consecuencia,
todas las mediciones son imperfectas.
• De esta forma, las diferencias entre las
cantidades medidas y sus magnitudes
verdaderas se conocen como errores o
equivocaciones.
• Equivocaciones, es una diferencia con
respecto al valor verdadero, causada por
la falta de atención, pero puede eliminarse
haciendo una revisión cuidadosa.
• Error, es una diferencia respecto al valor
verdadero, ocasionado por la imperfección
de los sentidos de las personas, de los
instrumentos usados o por efectos
climáticos.
Fuentes de error
• Las personas
Los sentidos no son perfectos
• Instrumentos
Los instrumentos no son perfectos
• Naturales
Ocasionados por cambios de temperatura, viento
y humedad
Clasificación de los errores
• Errores groseros
Producto de la falta de concentración del
operador del equipo.
• Errores sistemáticos
Producto de la presencia de errores físicos o
matemáticos, siempre se conoce su influencia,
por lo general son pequeños.
• Errores aleatorios o accidentales
Obedecen a la falta de perfección de los
elementos que conforman los instrumentos.
Tipos de errores accidentales
• Error verdadero (Ei)
Representa la diferencia entre el valor
verdadero y el error medido.
Ei = x – li
X = Valor verdadero
li = Medición
• Valor más probable ( x )
Se define como la medida entre varias
mediciones
l1  l 2  l3  l 4    l n
x
n
n
li
x
i 1 n
• Error aparente (i)
Representa la diferencia entre el valor más probable de un grupo de
mediciones y la medida en sí. Es el residuo de una observación individual
(grado en que se desvía o aparta del promedio la cantidad).
i= x - li
Si se tiene l1, l2, l3, l4, l5
l1  l 2  l3  l 4  l5
El valor más probable x 
5
 1=
 2=
3=
 4=
x
x
x
x
- l1 Error aparente de la primera medición
- l2 Error aparente de la segunda medición
- l3 Error aparente de la tercera medición
- l4 Error aparente de la cuarta medición
Ejercicio
Calcular el error aparente de las siguientes
mediciones ….
l1=10,20m
l2=10,30m
10,20  10,30
x
 10,25
2
 1  10,25  10,20  0.05
 2  10,25  10,30  0,05
• Error estándar (σ) y varianza (σ2)
Son términos estadísticos que se emplean para expresar la
precisión de un grupos de medidas. La ecuación de la
desviación estándar es:
σ es la desviación estándar
 
2


n 1
 error aparente
2 es la suma de los cuadrados de


los residuos individuales

2
 
2
n es el número de observaciones
La varianza es igual a σ2, el cuadrado de la desviación estándar.
“En topografía se considera a toda desviación
como un error, y por ello normalmente se
usa la expresión error estándar en vez de
desviación estándar”
Interpretación del error estándar
El error estándar establece los límites dentro de los
cuales debe esperarse que caigan las mediciones
68.27% de las veces. En otras palabras, si se repitió 10
veces una medición, debería esperarse que
aproximadamente 7 de los resultados queden dentro de
los límites establecidos por el error estándar y 3 de ellos
caerían fuera de dichos límites. Otra interpretación es
que una medición adicional tendría 68.27% de
probabilidad de caer dentro de los límites establecidos
por el error estándar. Una tercera deducción es que el
valor real o verdadero tiene 68.27% de probabilidades
de caer dentro de los límites del error estándar.
Errores de 50, 90 y 95%
Se puede determinar la probabilidad de un
error de cualquier porcentaje de
probabilidad mediante la siguiente
ecuación general.
Ep=Cpσ
En la cual Ep es el porcentaje de error y
Cp es un factor numérico.
E50 = 0,6745σ
E90 = 1,6449σ
E95 = 1,9599σ
El error de 50% (E50) es el llamado error
probable. Este valor establece los límites
dentro de los cuales han de caer las
mediciones 50% de las veces. En otras
palabras, una medida tendrá la misma
probabilidad de quedar dentro de estos
límites que de caer fuera de ellos.
Ejemplo
Supóngase que se ha medido 10 veces
una línea, con los resultados a
continuación.
Se supone que estas
mediciones ya se han corregido por todos
los errores sistemáticos.
Pueden deducirse las siguientes conclusiones:
1. La longitud más probable es 1000,45 m.
2. El error estándar de una sola medida es ±0,08 m.
3. La expectativa normal es que 68% de las veces, una
longitud registrada estaría comprendida entre 1000,37
y 1000,53 m; es decir, que aproximadamente siete de
los valores estarían comprendidos dentro de estos
límites. (Realmente siete lo están.)
4. El error probable (E50) es ±0,05 m. Por tanto, puede
anticiparse que la mitad, o sea cinco, de las medidas
caerán dentro del intervalo 1000,40 a 1000,50. (Cuatro
valores quedan ahí).
5. 90% de las veces una longitud medida no contendrá un
error mayor de ±0,13 m, y su valor estaría dentro del
intervalo de 1000,32 y 1000,58
6. El error de 95% sería ±0,15, y la longitud estaría
comprendida entre 1000,30 y 1000,60 en el
95% de las veces. (Nótese que todas las
medidas están, por cierto, dentro de los límites
de ambos errores, el de 90% y el de 95%.
• Error de una suma
La expresión para determinar el error de
una suma de cantidades observadas
independientemente es:
Esuma  Ea2  Eb2  Ec2  
En la cual E representa cualquier error
específico; a, b y c son las medidas
independiente.
Ejemplo
Se mide una línea en tres partes, siendo
los errores de éstas iguales a:
±0,012; ±0,028; y ±0,020
El error de la longitud total es:
Esuma   0,012  0,028  0,020  0,036m
2
2
2
Se aplica un cálculo similar al error de
cualquier producto, y en consecuencia, al
error de un área.
El error en dirección del lado A es Ea y en
la dirección B es Eb. Por tanto el error
ocasionado en el área por Ea es BEa, y el
debido a Eb es AEb. Entonces, la
ecuación para el error que tiene el área
(producto AB) es:
E prod  A2 Eb2  B 2 Ea2
Ejemplo
Para un lote rectangular de 50,00 ±0,01 x
100,00 ±0,02 metros, el error que hay en
el área es
 50 (0,02)  100 (0,01)  1,41m
2
2
2
2
2
• Error de una serie
A veces se lee una serie de cantidades similares, como
los ángulos de una poligonal, resultando cada medida
con un error de aproximadamente la misma magnitud en
todos los casos. Al error total de la suma de todas las
cantidades medidas de una serie de esta naturaleza se
le llama error de la serie, y se le designa por Eserie.
Eserie  E 2  E 2  E 2  ....  E n
En donde E representa al error en cada medida y n es el
número de mediciones.
Ejemplo
Supóngase que se mide con cinta de 50
m., una distancia igual a 1 km, aplicando
ciertas técnicas, se efectúa cada medición
de 50 m con un error de ± 0,005 m. Se
desea conocer el error que se comete en
la medición de 1 km.
Eserie  E n  0,005 20  0,022m
• Error medio (εm)
m 
E1  E2    En
Ei = Error verdadero n
n = Número de errores verdaderos
• Error relativo
Es una manera de expresar el error, con el fin de
hacerlo más notable, se expresa en forma de
fracciones.
Por ejemplo, un error de diez (10) medidas cada
cincuenta (50) significa que nos hemos equivocado 10
veces en 50 medidas realizadas.
10
1

50
5
334
1

1859 6
Cifras significativas
• Al registrar medidas, una indicación de la
exactitud lograda es el número de dígitos
(cifras significativas) que se registran. Por
definición, el número de cifras
significativas en cualquier valor incluye los
dígitos positivos más uno que es un dígito
estimado, y por tanto, cuestionable.
Por ejemplo.
Una distancia registrada como 873,52 se dice que tiene
cinco cifras significativas; en este caso, los cuatro
primeros dígitos son seguros y el último es
cuestionable.
Para ser congruentes con la teoría de errores, es
esencial que los datos se registren con el número
correcto de cifras significativas, si se descarta una cifra
significativa al registrar un valor, se ha desperdiciado el
tiempo empleado en lograr exactitud.
• A menudo, se confunde el número de
cifras significativas con el número de cifras
decimales.
• Puede tener que usarse cifras decimales
para conservar el número correcto de
cifras significativas, pero aquéllas no
indican por sí mismas las cifras
significativas.
Ejemplo
Dos cifras significativas:
24; 2,4; 0,24, 0,0024, 0,020
Tres cifras significativas:
364; 36,4; 0,000364; 0,0240
Cuatro cifras significativas:
7621; 76,21; 0,0007621; 2.400
• Para hacer una adición o sustracción
debe redondearse la respuesta,
reteniendo como última cifra significativa
al dígito que se encuentra en la columna
completa de cifras significativas que está
más a la derecha.
46,4012
57,301
1,02
1,48
375,0
629
422,4
688
Redondeo de números
Es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la
respuesta sólo contenga aquéllos que sean significativos
o necesarios en cálculos subsecuentes. Para tal efecto
puede seguirse el procedimiento a continuación.
1. Cuando el dígito a despreciar sea menor a 5, se
escribirá el número sin ese dígito. Así, 78,374 se
transforma en 78,37.
2. Cuando el dígito a despreciar sea exactamente 5, se
usará el siguiente número par para el dígito precedente.
Así, 78,375 se transforma en 78,38 y 78,385 se
redondeará también a 78,38.
3. Cuando el dígito a despreciar sea mayor que 5, se
escribirá el número con el dígito precedente aumentado
en una cantidad. Así 78,376 se convierte en 78,38.
Aparición de errores aleatorios
Supóngase que se realiza una medida de distancia de
10,46 pulgadas con una escala en la que puede
estimarse una lectura al centésimo, y que es correcta a
±0,05. en este caso, el valor real de la medida está
comprendido entre 10,41 y 10,51; pudiendo ser:
10,41; 10,42; 10,43, 10,44; 10,45; 10,46; 10,47; 10,48;
10,49; 10,50; ó 10,51.
En consecuencia hay 11 posibles valores para la
respuesta correcta. Este análisis puede suponer que
todas las lecturas tienen la misma posibilidad de ser
correctas. La probabilidad de que cualquier respuesta
sea correcta es, por tanto, de 1/11 ó 0,0909.
Considérese una línea que requiere que se hagan dos
medidas adyacentes con esta escala, teniendo cada una
el mismo error posible. La respuesta, que es la suma de
dos medidas, puede ser el total de cualquier par de 11
posibilidades para cada medición separada, teniendo
todas igual probabilidad de ser correctas. Según los
principios matemáticos, si un evento puede ocurrir de n
maneras y otro de r modos, los dos eventos juntos
pueden ocurrir de nr maneras. En las condiciones
supuestas hay (11x11)=121 posibilidades. Al sumar las
dos medidas el valor real estará comprendido entre -0,10
y +0,10.
Sólo un par de posibles valores puede dar una diferencia
de -0,10, y ese es el par para el cual la diferencia en cada
medida es -0,05.
Puede obtenerse un error de -0,09 en dos
formas, y es posible que haya una
diferencia de -0,05 en la primera lectura y
una diferencia de -0,04 en la segunda
lectura, o bien, una diferencia de -0,04 en
la primera y una diferencia de -0,05 en la
segunda. Este análisis puede continuarse
hasta obtener los siguientes resultados.
Si se toman tres medidas adyacentes de la misma
manera, con una diferencia máxima de -0,05 y +0,05; las
tres tendrían que estar fuera de realidad en -0,05 ó +0,05
para obtener una amplitud de error de -0,15 a +0,15 y
por los principios matemáticos, el número total de
probabilidades es 11x11x11=1331.
Histograma y curva de probabilidad