Transcript Introducci_n_a_la_convecci_n

INTRODUCCIÓN A LA
CONVECCIÓN
CONVECCIÓN.- ES LA
TRANSFERENCIA DE
ENERGÍA ENTRE UNA
SUPERFICIE Y UN FLUIDO
QUE SE MUEVE SOBRE ÉSTA.
EL PROBLEMA DE LA TRANSFERENCIA DE
CALOR POR CONVECCIÓN.
En la figura se tienen los efectos de la transferencia
local y total de calor por convección.
(a) Superficie de forma arbitraria.
q” = h (TS - T∞)
q

AS
q ' ' dA S
q  (T S  T  )  hdA S
AS
Definiendo un coeficiente de convección promedio h para
toda la superficie, el calor total transferido se expresa
como:
q  h A S (T S  T  )
Igualando ecuaciones, se sigue que los coeficientes de
convección promedio y local están relacionados por una
expresión de la forma.
h
1
AS

AS
hdA S
Advierta que para el caso especial de flujo sobre una placa plana, h varía
con la distancia x desde la primera orilla y la ecuación se reduce a:
h
1
L 
L
hdx
0
(b) EN TRANSFERENCIA DE MASA. La siguiente figura
muestra los efectos de la transferencia por convección, local y
total de especies.
PARÁMETROS EN DIFUSIÓN
CAS, CA∞ → Concentración molar [ Kmol / m3 ]. CAS ≠ CA∞
A → Típicamente un vapor transferido en una corriente de gas debido a
evaporación a un líquido o sublimación en una superficie sólida.
N A  Flujo molar
de A
h m  Coef
masa
"
Transf
 A  Flujo másico
"
Kg
Kmol
s .m
por conv
s .m
2
2
m s 

 A   Kg s 
C AS 
Psat (T S )
 TS
 Conc molar

de vapor
En la figura, ocurrirá una transferencia de especies por
convección.
La transferencia molar total para una superficie completa
NA(kmol seg) se expresa entonces como:
N A  h m AS ( C A , s  C A , )
Donde los coeficientes promedio y local de transferencia
de masa por convección están relacionados por una
ecuación de la forma:
hm 
1
AS

AS
h m dA S
Para la placa plana de la figura, se sigue que:
hm 
1
L

L
0
h m dx
La transferencia de especies también se expresa como un
flujo de masa o como una transferencia de masa, nA. En
consecuencia.
"
n A  h m (  A , s   A , )
n A  h m AS (  A , s   A , )
Para determinar el valor de CA,s o A,s. Se hace con el
equilibrio termodinámico y la ecuación de estado para un gas
ideal es decir,
C AS 
Psat (T S )
 TS
 Conc molar
de vapor
 A   A C A ;  A  Peso molecular
 Kg
Kmol

CAPAS LÍMITE DE CONVECCIÓN.
* CAPA LÍMITE DE VELOCIDAD HIDRODINÁMICA
ES CUANDO HAY UN PASO DE FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE
Re
x

u x
m

u x

 Número
de Re ynolds
δ → Espesor de la capa límite: el valor de “y” para que u = 0.99 u∞
Coeficiente de fricción local
Al suponer un fluido newtoniano
Cf 
s
u / 2
s  m
2
u
y
y0
Donde m es la propiedad que se conoce como viscosidad dinámica.
CAPA LÍMITE TÉRMICA
ES CUANDO DIFIEREN LAS TEMPERATURAS DEL FLUJO
LIBRE DE FLUIDO Y DE LA SUPERFICIE.
PRODUCCIÓN DE LA CAPA LÍMITE TÉRMICA SOBRE
UNA PLACA PLANA ISOTÉRMICA.
Esta expresión es apropiada pues, en la superficie, no hay movimiento de
fluido y la transferencia de energía ocurre sólo por conducción.

Q s" k f
T
y
y0
Al combinar esta ecuación con la ley de enfriamiento de Newton, se
obtiene.
T
kf
y y0
h 
T s  T
δt → Espesor de capa límite térmica: el valor de “y” para cuando
Se incrementa en “x”, el gradiente decrece,

Qs
y h decrecen
Ts  T
T s  T
 0 . 99
CAPA LÍMITE DE CONCENTRACIÓN.
DETERMINA LA TRANSFERENCIA DE
MASA POR CONVECCIÓN.
C AS  C A 
C  C A  C B  Cte
N A ' '   D AB
C A
y
 c  valor " y " para
Ley de Fick; DAB→ Coef de difusión binaria
C AS  C A
C AS  C A 
 0 . 99
Al aplicar la Ley de Fick en y=0, el flujo de especies a
cualquier distancia desde el inicio de la superficie es entonces
N A "   D AB
C A
y
y0
Al combinar las ecuaciones, se sigue que
hm  
 D AB  C A /  y
C A , s  C A ,
y0
Los resultados anteriores también se expresan en base de masa en lugar de
molar. Al multiplicar ambos lados de la ecuación por el peso molecular de
las especies MA, el flujo de masa de especies debido a la difusión es
n " A   D AB
 A
y
Con la aplicación de esta ecuación en y = 0 y al combinar con la ecuación
se obtiene:
hm 
 D AB  C A /  y
C A , s  C A ,
y 0

 D AB   A /  y
 A , s   A ,
y 0
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO.
* FLUJO LAMINAR.- El movimiento de fluido es altamente
ordenado y es posible identificar líneas de flujo a lo largo de las
cuales se mueven las partículas.
* FLUJO TURBULENTO.- El movimiento es altamente irregular y
se caracteriza por fluctuaciones de velocidad.
NUMERO DE REYNOLDS.
Re
x

u x
m
DESARROLLO DE LA CAPA LÍMITE HIDRODINÁMICA
SOBRE UNA PLACA PLANA
PARA EL FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA, VARÍA
DE 105 A 3X106 DEPENDIENDO DE LA ASPEREZA DE
LA SUPERFICIE Y DEL NIVEL DE TURBULENCIA DEL
FLUJO LIBRE. A MENUDO SE SUPONE UN VALOR
REPRESENTATIVO DE
Re x 
u  xc
m
 5  10
5
EN LA FIGURA SE MUESTRA LA PRODUCCIÓN DE LAS
CAPAS LÍMITE DE VELOCIDAD, TÉRMICA Y DE
CONCENTRACIÓN
PARA
UNA
SUPERFICIE
ARBITRARIA.
LAS ECUACIONES DE TRANSFERENCIA POR CONVECCIÓN.
La capa límite de velocidad
v 

y
(  v ) dy
y
u
x
u 
dy
z

x
(  u ) dx
ρ = ρA + ρB
dx
v
La masa que entra al volumen de control es: (u) dy  dir “x”
 ( u )
y la que sale
( u 
dx ) dy
x

( u ) 
 (  ) 

(  u ) dy  (  ) dx    u  
dx  dy    
dy  dx  0
x
y




Reduciendo:
 ( u )
x

 (  )
y
 0
Ecuación de continuidad
Si
u
  cte :
x


y
 0
Hay dos clases de fuerzas sobre el fluido en la capa
límite:
(1). Fuerzas de cuerpo

(2). Fuerzas de superficie
volumen

Área
Las fuerzas gravitacionales centrífugas magnéticas o de campos eléctricos
contribuyen a las fuerzas de cuerpo y sus componentes x, y por unidad de
volumen se designan como X, Y.
Las fuerzas de superficie FS son debido a la presión estática del fluido como las
fuerzas de corte.

yy


y
(

 xx
 xy
(x,y)
yx
dy


y


Fs , x
) dy
 xy 
dx
 yx
yy
(
yx

x
xx
) dy
( xy ) dx


x
(
xx
) dx
yy
Volumen diferencial = dx.dy.1
Fs , y
   xx  p   yx



x
y
 x

 dxdy

  yy
   xy
p 
 


 dxdy
y
y 
 x
Para cantidad de movimiento
Para un elemento diferencial en la capa límite hidrodinámica
(  ) u 
Y,v

y
( 
) u dy
x,u
z,w
  u u
(x,y)
dy
  u u 

x
  u u  dx
dx
  v u
 u
u 

 u
v
(

y  x
 x
 v
v 

 u
v
(

y  y
 x
xx
yy
 p) 
 p) 
  yx
y
  xy
x
 X
Y
PARA FLUIDO NEWTONIANO SE CUMPLE
 xx  2 m

u
x
2
3
 u
m 
 x

v 

y 
 u v 

 2m
 m 

y 3  x y 
v
yy

2
 u
v 

 yx   xy  m 

 x y 
Sustituyen do en ecuaciones
anteriores
 u
u 
p
    u 2   u  v        u  v  
  
   
   X
  u
v

 


m 2
 m 
y 
 x  x    x 3   x  y     y    y  x  
 x
 v
u 
p
    v 2   u  v        u  v  
  
   
   Y
  u
v

 


m 2
 m 
y 
 y  y    x 3   x  y     x    y  x  
 x
CAPA LIMITE TÉRMICA.
Para aplicar el requerimiento de conservación de la energía a un volumen de control diferencial en la
capa limite térmica primero es necesario delinear los procesos físicos relevantes.La energía por unidad
de masa del fluido incluye la energía térmica interna “e” y la energía cinética V2/2, donde V2 = u2 + v2
la velocidad neta a la que esta energía ingresa al volumen de control es:


E cond , y  dy
E adv , y  dy


E cond , x
E cond , x  dx
dy


E adv , x
E adv , x  dx
dx


E cond , y

E adv , y

E adv , x  E adv , x  dx   u ( e  V


x
2

2 ) dy    u e  V

 u e  V

2

2

2 

x
 u e  V
2


2 dx  dy

2 dx .dy
Para el proceso de conducción, la transferencia neta de energía en el volumen de control es:

T
  T  
 T 
E cond , x  E cond , x  dx    k
dy


k


k
 dx  dy

x x  x  
 x 

  T 

k
 dx .dy
x  x 


La energía también se transfiere hacia y desde el fluido en el volumen de
control mediante interacciones de trabajo que incluyen las fuerzas de cuerpo y
superficie.

W
neto , x
Xu
dx .dy
 

trabajo


 xx
 p u dx .dy 
trabajo neto hecho



x

x
 u e  V
u  

y
anteriores
2

2 
v  

q  calor

y

x
xx
2
u dx .dy
por las Fzas de presión
y corte
  T    T 
 k
   Xu  Yv 
2 
k

x  x  y  y 

u   xy v  
2
generado
yx
:
 v e  V


x
y
            
por Fza de cuerpo
De ecuaciones

por unidad

y


yy
v   yx u   q  0
2
de volumen
2
2
LA ECUACIÓN DE ENERGÍA

 u v 
  T    T 
 k
  p 
  m   q
u
 v


k

x
y
x  x  y  y 
 x y 
e
e
 u v 
  conversión
p 

 x y 
m   Disipación
reversible
entre energía
cinética
vis cos a

2
2

  u  2   v  2 
2  u v 
 u v 
  2  
  


m   m  


  
3  x y 
   x 
  y  
 y x 

  


     


esfuerzo vis cos o normal
esfuerzo de corte vis cos o

cinética  Energía
Energía
ie
p

térmica







por viscocidad
 entalpía ; y si di  c p dT ; y con : de  c v dT  c p dT

 T
T 
  T    T 
 
 k
  m   q
 c p  u
v
k

y  x  x  y  y 
 x
y térmica
PROBLEMA: Se tienen dos placas a 27 0C paralelas, separadas 5 mm en un caso por
agua y otro por aire, una fija y la otra se mueve a 200 m/s sobre ella, en ambos casos: (a)
¿Cuál es la fuerza por unidad de área superficial requerida para mantener esta condición
y la potencia requerida?. (b) ¿Cuál es la disipación viscosa? (c) ¿Cuál es la temperatura
máxima?
ESQUEMA. Perfil de velocidades: u = U (y/L)
L
SE ASUME: Flujo de Couette completamente
desarrollado. Fluido incompresible con sus
propiedades constantes en el proceso
PROPIEDADES. Aire a 300 0K
μ = 184x 10-7 Ns/m3, k = 26.3 x 10-3 w/mK
Agua a 300 0K: μ = 855 x 10-6 Ns/m3
k = 0.613 x 10-3 w/mK
U = 200 m/s
aire ó agua
.
y
u=0
ANÁLISIS.
(a) La fuerza por unidad de área asociada con el esfuerzo de corte para el perfil de velocidades
U 
 m
 m 
dy
 L 
du
:
Pot
A
 m
Aire:
 aire  184 . 6 x10
 Pot

Agua:
H 2O
 Pot
7
 200

0 . 005   0 . 738 N m

A aire  0 . 738 ( 200 )  147 . 6 W m
 855 x10
A H
2O
6
 200
2


0 . 005   34 . 2 N m

 34 . 2 ( 200 )  6840 W m
2

2

2

SOLUCIÓN DE PARTES (B) Y (C)
2
(b) La disipación viscosa:
 du 
U 
  m  
m   m 
 L 
 dy 
entonces :
 m  aire
 184 . 6 x10
m  H
 855 x10
2O
7
7
2
 200
 200
0 . 005
0 . 005
2
2
 2 . 95 x10
 1 . 37 x10
6
4
w
w
m
m
3
3


(c) La temperatura máxima. Considerando la ecuación de energía ya obtenida,
condiciones de estado estable bidimensionales con:

v  0, (u x )  0 y q  0
para flujo de Couette desarrolla do :  T  x   0
La ecuación de energía queda :
2
2
 du 
U 


k


m


m
  ; cuya solución es :
2


dy
 L 
 dy 
2


m
y
y
y


2
T ( y )  T0 
U       (T L  T 0 )
;
2k
L
L
L




 mU 2
L
T max correspond e a y max  ; T max  T 0  
2
 8k
2
d T

;


 184 . 6 x10  7 ( 200 ) 2 
  30 . 5 0 C
(T max ) aire  27  

8 ( 0 . 0263 )


6
2
 855 x10 ( 200 ) 
  34 0 C
(T max ) H 2 0  27  

8 ( 0 . 613 )


CAPA LÍMITE DE CONCENTRACION.
La forma adecuada de la ecuacion de conservación se obtiene identificando los procesos que afectan
al transporte y generación de la especie A para un volumen diferencial de control en la capa limite.
La especie A se transporta por advección ( con la velocidad media de la mezcla ) y por difusión
( relativa al movimiento ) en cada una de las direcciones coordenadas. Se trata de una mezcla binaria
donde hay gradientes de concentración de especies, como hay transporte, debe haber conservación de
las especies.


M
A 

M
Aadv , y  dy
Adif , y  dy

M

M
Aadv , x
Advección. “A” es transportada con una
velocidad media de la mezcla.
Adif , x  dx

M
Ag

M
Difusión. Relativa a la media del movimiento

M
Adif , x

M

M
La razón a la cual la especie “A” es
generada por unidad de volumen debido a
reacciones químicas
Aadv , x  dx

M
Aadv , y
Adif , y

A , adv , x  M
A , adv , x  dx
  Au  

   A u dy     A u  
dx  dy
x



  Au 
x
dx .dy
De manera similar al suponer un fluido incompresible ( constante ) y usar la ley de Fick para
evaluar el flujo de difusión, la velocidad neta a la que la especie A ingresa en el volumen de
control debido a la difusión en la dirección x es :

M

A , dif , x
M
A , dif , x  dx

 A 
 A   
 A  

   D AB
 dy     D AB

  D AB
 dx  dy
x 
x  x 
x  



 
 A 
 D AB
 dx .dy
x 
x 
Los requisitos de la conservación de las especies son:

(M

(M

A , adv , x
M
A , dif , x
M

A , adv , x  dx

)  (M

A , adv , y

A , dif , x  dx
)  (M
M
A , adv , y  dy

A , dif , y
M
)

A , dif , y  dy
) M
A,g
Con  ( masa total )  Cte
 A
 A
 
 A 
 
 A  
 D AB
 
u
v

 D AB

x
y
x 
 x   y 
 y 
0
A
En forma molar
C A
C A
 
C A 
 
C A  
 D AB
  N
u
v

 D AB

x
y
x 
x  y 
y 
A
APROXIMACIONES Y CONDICIONES ESPECIALES.
Las ecuaciones de la seccion anterior proporcionan una explicación completa de los procesos físicos
que influyen en las condiciones de las capas limite hidrodinámica, térmica y de concentración
estables bidimensionales.
La situación usual es aquella en que la capa límite se caracteriza como: incompresible (  es
constante ) . Con propiedades constantes ( K, μ, etc.) y fuerzas de cuerpo insignificantes (X =Y =0),

no reactivas y sin generación de energia. 
 A  0; y q  0
Es posible llevar a cabo simplificaciones adicionales recordando lo que se conoce como
aproximaciones de capa limite. Como los espesores de la capa límite normalmente son muy
pequeños, se sabe que se aplican las siguientes desigualdades:
u  v ; y
T

y
C A
T

u
y

u v v
,
,
 capa lim de velocidad
x y x
 capa lim térmica
x
C A
 capa lim de concentrac ión
y
x
Esfuerzos normales
u
 xy   yx  m
y
despreciab le
LAS ECUACIONES SIMPLIFICADAS
Ecuación
Ecuación
Ecuación
Ecuación
Ecuación
de continuida d :
u
x

de momentum ( x ) : u
de momentum ( y ) :
de energía : u
T
x
x
y
0
y
u
p
v
v
v
u
y

1 p
 x
 u
2

y
2
0
T
y
 T
2

Concentrac ión especies : u
y
C A
x
2

v
  u 
2


c p  y 
C A
y
 CA
2
 D AB
y
2
ECUACIONES DE TRANFERENCIA POR CONVECCIÓN NORMALIZADAS
Normalizando:

x 
x

y 
;
L
T


y
Ecuaciones:

u 
;
L
T  Ts
T  T s
;
C
u
;

v 
V

A

v
V
Continuida d :
C A  C A,S
C A ,  C A , S
Momentum
: u
u

x



u

x

v

y

v


0
v

y


 

u  f ( x , y , Re L ,
C
Con los grupos adimensionales:
Re
L
Pr 
Sc 



V
L
Capa
 Num
de
 Num de Pr andtl

D AB
 Num de Scmidt
2
Re
lim térmica : u
Re ynolds
Capa
f

lim
L

u

y

T

x


dp


dx

dp

dx
Re
2

y
2
 u
1
L
)
 Coef
de fricción

y 0
v

T

y

1

 T
2
2
Pr  y

dp



T  f ( x , y , Re L , Pr,
)

dx


2

1
 CA
 C A
 C A
conc : u
v



2
x
y
Re L Sc  y
Re

L
OTROS PARÁMETROS ADIMENSIONALES Y SU SIGNIFICADO
Número de Nusselt:
Este parámetro es igual al gradiente de
temperatura adimensional en la superficie y
proporciona una medida de la transferencia
de calor por convección que ocurre en la
superficie
El numero de Nusselt es para la capa limite
térmica lo que el coeficiente de fricción es a
la capa limite de velocidad.
Número de Sherwood:
Este parámetro es igual al gradiente de
concentración adimensional en la superficie,
y proporciona una medida de la transferencia
de masa por convección que ocurre en la
superficie.
Nu 
hL

T

y

kf

 f ( x , Re, Pr)

y 0
_
_
Nu 
hL
 f (Re, Pr)
kf
C

A


 f ( x , y , Re L , Sc ,
Sh 
hm L
D AB
dp
dx


C A
y


y 0
_
_
Sh 
hm L
D AB
 f (Re L , Sh )


)
PROBLEMA: Se conoce la longitud característica, temperatura de superficie y el flujo de calor
promedio para dos casos de objetos expuestos a una corriente de aire a una cierta temperatura y
velocidad. Encontrar el coeficiente promedio de convección si la longitud característica de
incrementa cinco veces y velocidad del aire decrece cinco veces.
Esquema:
Aire
Aire
Ts = 400 0 C


Q "  20 Kw m
V1 =100 m/s
T∞ =300 0 C
2
Se asume: Propiedades Ctes y
T∞ =400 0 C
estado estable.

V2 =20 m/s
T∞ =300 0 C
L2 = 5 m
L1 = 1 m
Análisis: Se conoce que para cierta geometría: N u L  f (Re L , Pr)
Caso
I : Re
L1

v 1 L1
1
Como  1   2 , Re
 N u L1  N u L 2 
L1

100 (1)
1
 Re
h1 L1
k1

L2

100
1
y Caso
entonces
h2 L 2
k2
II : Re
L2

El “ReL” para cada caso es:
v2 L2
2

20 ( 5 )
2

100
1
Pr 1  Pr 2
 h 2  h1
L1
L2
 0 . 2 h1


 W 
 200  2 
(T s  T  )
( 400  300 )
m K 
 W 
II : h 2  0 . 2 h1  0 . 2 ( 200 )  40  2 
m K 
Para
Caso I : Q "  h1 (T s  T  )  h1 
Para
Caso
Q"

20 , 000
SIGNIFICADO FISICO DE LOS PARAMETROS ADIMENSIONALES.
Los parámetros adimensionales aquí considerados, tienen interpretaciones físicas que se relacionan
con las condiciones en las capas límite:
El Número de Reynolds “Re”, el cual mide la razón de las fuerzas de inercia a las fuerzas viscosas
en la capa límite hidrodinámica. Define el tipo de flujo: laminar o turbulento.
 Fzas de Inercia
Re l 
 Fzas vis cos as
2
 Fl
 V L  VL
 


 Re
2
F
m
V
L
m

s
L
El Número de Prandtl “Pr”. Relaciona la difusividad del momento “υ” a la difusividad térmica “α”
Para gases:
Pr ≈ 1

Metal líquido: Pr<<1
Aceites:
t
Pr >>1
 Pr ; n  entero
n
positivo
El número de Schmidt “Sc”. Relación entre momentum y transporte de masa por difusión.

c
 Sc ; n  entero
n
positivo
Número de Lewis “Le”. Medición relativa de capas límite térmica a la de concentración.
Le 

D AB

Sc
Pr
;
t
c
 Le
n
PROBLEMA: En un día el aire tiene una temperatura de 27 0C y humedad relativa de 30%. La
evaporación de la superficie de un lago es de 0.10 Kg/hr por m2 de agua de la superficie. La temperatura
del agua también es de 27 0C. Determine el coeficiente de convección de transferencia de masa “hm”.
Esquema:
AIRE
T∞=27 0C
Ø = 0.30
ρA,∞
Análisis:
η”a= 0.10 [Kg/m2 hr]
hm 
A
"
(  A , s   A , )
; donde
 A , s   A , sat
Que es la densidad de saturación a la
temperatura del agua.
Tagua = Ts = 270C
 A ,    A , sat
pA
con :  
y como gas ideal
p A , sat
 A"
0 . 1(1 3 , 600 )
3
Se asume:
hm 

 1 . 55 x10 m s 
 A , sat (1   ) 0 . 02556 (1  0 . 3 )
Equilibrio de vapor-líquido de agua de la
superficie. Condiciones isotérmicas, el vapor del Comentario: Del conocimiento de PA,sat pudo
Usarse la ley de los gases perfectos para obtener
agua se comporta como gas perfecto. El aire a
la densidad de saturación.
presión atmosférica Std.
Propiedades:
Con tabla de vapor de agua saturado a 3000K.
Pa,sat = 0.03531 bar
ρA,sat = 0.02556
Kg/m3.
 A , sat 
p A , sat  A
RT

0 . 03531 bar (18 )  Kg Kmol
 m 3 bar
8 . 314 
0
 Kmol . K

0
 ( 300 ) K


 
 Kg 
 0 . 02548  3 
m 
Que es valor aproximado al obtenido en tabla. Se
pudo obtener con la carta psicométrica ρA,sat y ρA,∞