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1 Introduction to Graph Theory Reference http://ww.scicamp.sc.pu.edu.tw/scicamp/95/materials/圖的著色 及其應用.ppt http://homepage.ntu.edu.tw/~r95221034/GraphTheory/Graph_T heory.htm 2 什麼是“圖”？ 圖是由一些點及一些點與點的連線(邊)所形成 的集合 3 例 子 A A I B H I B C H G G C D D F E E F 4 圖形理論的濫觴 哥尼斯堡七橋問題 (Konigsberg Seven Bridges Problem) 哥尼斯堡內有七座橋，每一座橋只走一次，有 沒有辦法七座橋都走過？ 5 Königsburg 地圖 6 哥尼斯堡七橋問題 歐拉（Leonhord Euler）在1736年利用「圖形」解決 問題 A B C D 7 一筆畫原理 以一筆畫的畫線相交處為點，交於 點的線數如果是偶數，則該點稱為 偶數點，如果是奇數，則該點稱為 奇數點。 一個圖形包括三個以上的奇數點， 這個圖形就沒辦法一筆畫成。 12 圖論 • 位置的幾何學（geometria situs） ▫ 不考慮距離只考慮構造的幾何 ▫ 後分支為圖論與拓撲學 ▫ 圖論 沒有複雜的幾何結構，只有點跟邊兩種最單純的元素 歸類在離散數學的分支之中 ▫ 拓撲學 近代發展起來的一個研究連續性現象的數學分支 點集拓撲學 代數拓撲學 微分拓撲學 幾何拓撲學 圖論應用 群播 (multicast) /廣播 (broadcast) 電信局配接電纜問題 救災資源配送中心、災害救助需求點 大眾運輸系統最短路徑 在三維曲面上之最短路徑規劃 投資計畫組合/背包問題 新市鎮道路設計/電腦網路設計 管道運輸/生產線、輸送帶 VLSI設計/ 三維圖形結構的表示 賽程安排/ 配對問題 人際關係網路 /六度分隔 … 最小生成樹(Minimum Spanning Tree) • Question ▫ Given一個點集合和各點之間的連線(被賦予不同 的數值), 求出一條路徑使所有的點相連且路徑上 所有加權值的總和最小. • 應用 ▫ 電信局配接電纜問題 電信總局要如何配接電纜才能使各電信局能互通訊 息, 但同時令配線經費最低？ ▫ 群播 (multicast) 廣播 (broadcast) ▫ 公司/團隊 組織架構 救災資源配送中心、災害救助需求點 最短路徑問題(Shortest Path) • • • • • • • • 大眾運輸系統最短路徑 任意兩節點之最短路徑(All-pairs shortest-path) 最短路徑與遞移封包 在三維曲面上之最短路徑規劃 車輛路徑規劃 設備更新計畫 生產規劃 投資計畫組合/背包問題 最大流量問題(Maximum Flow) • • • • 新市鎮道路設計 電腦網路設計 管道運輸 生產線、輸送帶 17 圖論著色應用 • Coloring of Graphs ▫ Planar Graphs ▫ Marriage Problem ▫ Tournament 18 點著色(VERTEX COLORING) 在圖的點上著色或標號 19 邊著色(EDGE COLORING) 在圖的邊上著色或標號 21 時間排程(TIME SCHEDULING) 假設某一學校設有八個委員會，而有些委員會 會擁有共同委員。今各委員會想利用週一至週五的 晨間活動時間開會，問會議時程應如何安排？ 22 圖的建構與著色 (1)每個委員會當成一個點。 (2)兩個委員會若擁有共同委員，則連一條邊。 (3)兩個委員會若擁有共同委員，不能在同一時間 開會。 (4)用一到五在圖的點上標示，使得有邊相連的點 標示不同的日期。 各委員會共同委員關係表 A A B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 G H B C D E F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 1 1 1 A H F 1 1 E C D G H 1 23 24 圖形與著色 A B A E C D B C D F G E F H G H 27 平面圖(PLANAR GRAPH) 在一張世界地圖中，如何分辨各國的疆域所在？ 利用著色 28 圖的建構與著色 (1)每個國家當成一個點。 (2)兩個國家若擁有共同邊界，則連一條 邊。 (連線 須通過邊界) (3)兩個國家若擁有共同邊界，不能使用相同顏色。 (4)在圖的點上著色，使得有邊相連的點著不同的顏 色。 29 圖 形 與 著 色 30 31 需要多少顏色？ ● 凱利(Cayley)在1878年提出｢四色猜想｣。 每個可以畫出來的無飛地地圖都可以用不多於4種顏色來上色，而且沒有 兩個相接的區域會是相同的顏色。 ● 黑肯(Haken)和阿佩爾(Appel),於1976年利用電腦 程式，用了三部電腦，花了1200多個小時，終於 證明了｢四色猜想｣。 http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%AE%9A%E7%90%86 32 交友問題(MARRIAGE PROBLEM) 有一婚友聯誼社共有五男五女十位客戶，基於 「先友後婚」原則，欲在週一至週五晚間安排條件 相符者會面，問會面時程該如何安排？ 33 圖的建構與著色 (1)每個客戶當成一個點。 (2)男女條件相符者，則連一條邊。 (3)每位男士不能在同一時間與兩位女士 見面。每位 女士不能在同一時間與兩位男士見面。 (4)在圖的邊上標示日期，使得共點的邊標示不同的 日期。 34 圖形與著色 35 錦標賽(TOURNAMENT) 有一項錦標賽共有七支隊伍參加，採循環賽制。 如果每天有一支隊伍休息，其餘六隊均須出賽一場， 問主辦單位應如何安排賽程？ 36 圖的建構與著色 (1)每支隊伍當成一個點。 (2)任兩點連一條邊。 (3)每支隊伍不能在同一天與其他兩支隊伍比賽。 (4)在圖的邊上標示日期，使得共點的邊標示不同的 日期，且同一日期的邊共有三條。 37 圖形與著色 平面圖(PLANAR GRAPH) 圖G稱為平面圖(planar graph)意指G可繪於平面上 使得任兩條邊不相交 。 平面圖(PLANAR GRAPH) • VLSI設計 • 三維圖形結構的表示 平面圖(PLANAR GRAPH) • 相傳古代有一位國王，臨死前留下遺囑，把土地 分給他的五個兒子。 • 這五個兒子在自己的領地上各修築了一座宮殿， 他們還想修一些道路，使得每兩座宮殿之間之間 有一條道路直接連通、又要求道路不能交叉。 • 結果，這五個王子雖然費盡苦心設計，卻始終不 能造出他們希望的這些道路。 www.math.ntu.edu.tw/...graph.../Graph-Theory-2007-12-26-Chapter-6.pdf 平面圖(PLANAR GRAPH) • 鏡頭拉回現代，話說某個森林裡住了三戶人家， 他們是世仇，不管任何大小事情都發誓老死不相 往來。 • 然而，如今他們需要各自建立管線以連接到水、 電、瓦斯三種不同的資源設施，而基於老死不相 往來的誓言，這些管線也要求不能交叉。 • 他們有可能完成這樣的管線配置嗎？ www.math.ntu.edu.tw/...graph.../Graph-Theory-2007-12-26-Chapter-6.pdf 人際關係網路 (Social Network) • 以人為點(Node); 彼此認識的兩個人之間存在邊 (Edge) • Six degree of separation（六度分隔） http://www.pi-werk.de/projects-interactive.html http://fredadvise.blogspot.com/2010/01/six-degrees-of-separation.html http://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation http://fredadvise.blogspot.com/2010/01/six-degrees-of-separation.html Six degree of separation（六度分隔） • 世界上任何兩個人，只要經過平均六個人聯系就 能扯上關係。這仍然是一個理論，未有足夠實驗 證明。 • MSN透過分析MSN Mssenger上的訊息，以特定 字句如短片連結作為關鍵字搜尋，得出結果是平 均6.6條訊息就能連繫上兩個MSN Messenger用 家。 49 教學計畫表 學習圖學理論的基本概念。This course covers the following topics: fundamental concepts, graphs’ 課程目標 structures, trees, distance, connectivity, paths, matchings, factors, coloring of graphs and Hamiltonian graphs, etc. 教學方法 教師講授、討論為主，並輔以作業。 教學評量 作業與平時分數 40% 期中考 30% 期末考 30% Introduction To Graph Theory (Douglas B. West; 課堂教材 Prentice Hall 全華圖書代理2008) 50 參考書籍 • Graph Theory: Modeling, Applications, and Algorithms (Geir Agnarsson and Raymond Greenlaw Prentice Hall, 開發圖書 代理2007) ISBN:0131423843 • Introduction to Graph Theory (G. Chartrand & Ping Zhang McGraw-Hill,東華書局代理2005) ISBN: 0071238220 • A Friendly Introduction to Graph Theory(F. Buckley Prentice Hall天龍圖書代理2003) ISBN：0130669490 • Introduction to Graph Theory (Douglas B. West Prentice Hall,全華科技圖書代理 2001) ISBN: 0130144002 • Introductory to Graph Theory (G. Chartrand Chapman & Hall) • Applied and Algorithmic Graph Theory, (Chartrand and Oellermann, McGraw-Hill 滄海, 2000) ISBN 0-07-557101-3 • 沒有數字的數學 (徐力行, 天下文化) ISBN 986-417-184-4 • 圖論算法及其MATLAB實現 (三民網路書店/北京航空航天 大學出版社 王海英2010) I S B N：7811249405 51 連絡方式 授課老師 賴寶蓮 校內分機 4053 教師電子郵件 [email protected] 工D306 會談時間 二 pm 2:00~4:00 最新消息 將公布在教師網頁 http://www.csie.ndhu.edu.tw/~baolein/teaching.html 教師辦公室 52 教學進度規劃 週次 日期 進度 內容 一 02232011 圖論簡介 Introduction to Graph Theory 二 03022011 圖論的基礎知識 Degrees 三 03092011 圖論的基礎知識 Directed Graphs 四 03162011 樹狀結構相關知識 Basic Properties of Trees 五 03232011 最小生成樹問題 Minimum Spanning Trees 六 03302011 最短路徑問題 Shortest Paths 七 04062011 4/6調整上課 八 04132011 配對問題 九 04202011 Midterm 彈性放假 Algorithms and Applications of Matchings 53 教學進度規劃 週次 日期 進度 內容 04272011 配對問題 Algorithms and Applications of Matchings 十一 05042011 連通圖相關知識 Cuts and Connectivity 十二 05112011 最大流量問題 Network Flow Problems 十三 05182011 平面圖相關知識 Planar Graphs 十四 05252011 點著色問題 Coloring of Graphs 十五 06012011 Hamilton圖及其應用 Hamiltonian Graphs 十六 06082011 Hamilton圖及其應用 Hamiltonian Graphs 十七 06152011 圖論相關演算法 Graph Algorithms 十八 06222011 Final exam 十 54 Reference List http://homepage.ntu.edu.tw/~r95221034/GraphTheory/Graph_Theory.htm http://www-math.cudenver.edu/~wcherowi/courses/m4408/glossary.htm http://www.math.gatech.edu/~sanders/graphtheory/ http://oneweb.utc.edu/~Christopher-Mawata/petersen/ http://www.utm.edu/departments/math/graph/index.html http://www.inf.uos.de/knust/ga_links http://www.math.uiuc.edu/~west/