ch08 網路模式.ppt
Download
Report
Transcript ch08 網路模式.ppt
第八章
網路模式
Network Models
作業研究 二版 2009
© 廖慶榮
章節大綱
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
前言
專有名詞
最短路徑問題
最小擴充樹問題
最大流量問題
最低成本流量問題
網路單形法
p.2/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.2 專有名詞
圖（graph）：一組節點（node）與一組弧（arc）的
集合
網路（network）：弧上具有流量的圖
鏈（chain）：由弧所連接的一系列節點
路徑（path）：所有弧之方向均相同的鏈
迴路（circuit）：開始和結束在同一個節點的路徑
循環（cycle）：開始和結束在同一個節點的鏈
無循環網路（acyclic network）：無迴路的網路
連接圖（connected graph）：任意兩節點均存在相
連之鏈的圖
樹（tree）：無循環的連接圖
擴充樹（spanning tree）：包含圖中所有節點的樹
p.3/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
專有名詞的圖示
p.4/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.3 最短路徑問題
最短路徑問題（shortest-path problem）
找出由起始節點至終止節點的最短路徑
應用
電子地圖
航空運輸網的設計
消防車行經路線的規劃
（弧可代表距離、成本、時間、機率等）
p.5/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
Dijkstra演算法
Dijkstra演算法
最短路徑演算法
尤其適用於有迴路的網路
定義：
k i ：離節點 1 最近的第 i 個節點
d ij ：由節點 i 至節點 j 的直接距離
D j ：至目前為止，由節點 1 至節點 j 的最短距離
p.6/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
Dijkstra演算法
1. 讓 i 0, k0 1 。在節點 1 旁標記 (0, ) ，並在標記上加
框，代表永久標記。
2. 考慮所有可由節點 k i 直接到達且尚未被永久標記的節點
j 。若節點 j 無暫時標記，則在其旁暫時標記
( D j d ki , j , ki ) 。若已有暫時標記，則比較是否經由 k i 會
得到離節點 1 更近的距離。若是，則重新暫時標記
( Dki d ki , j , ki ) 。
3. 在所有暫時標記中，選擇具最小 D j 的節點，並讓 ki 1 等
於該節點。將該節點的暫時標記加框。
4. 若所有節點已被永久標記，則程序停止；否則讓
i i 1 ，回步驟 2。
p.7/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.1
若要開車由市中心（節點1）至該風景區（節點
7），則最短路徑為何？
p.8/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.1
/最佳解
(3,1)
3
2
3
6
(0, )
4
1
(5,4)
(6,2)
(3,3)
(4,1)
5
5
2
4
1
1
2
(9,6)
3
(4,4)
(5,3)
7
5
6
(2,1) 3
p.9/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.4 最小擴充樹問題
最小擴充樹問題（minimal spanning tree
problem）
找出一個總長度最短的擴充樹，以使得圖中任
意兩節點間存在一條路徑
應用
通訊網路的設計
交通運輸系統的設計
電力供應網路系統的設計
水利灌溉工程的設計
道路積雪的清除
p.10/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.4 最小擴充樹問題
演算法步驟
1. 選擇長度最短的弧
2. 在所有尚未被連接的節點中，找出一個與目前
連接圖距離最近的節點，並將其與連結圖相連
3. 若連接圖包含所有節點，則停止程序，否則返
回步驟2
p.11/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.2
有線電視系統公司應如何選擇圖中的各弧，才能以最低
的網路架設成本，提供對該郊區所有住戶的收視服務？
p.12/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.2
最佳解
p.13/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.5 最大流量問題
最大流量問題（maximal flow problem）
決定由起始節點至終止節點的最大流量以及各
弧的最佳流量
應用
顛峰時間的交通管制
石油公司的管線輸送
大型活動（如演唱會、集會遊行、運動比賽）
前後的交通管制
公司貨物的供應鏈系統設計
p.14/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.5 最大流量問題
定義： xij =由節點 i 至節點 j 的流量
u ij =由節點 i 至 j 的最大流動容量
LP模式： Max f
s.t.
n
n
x x
j 1
ij
n
j 1
ij
n
j 1
ji
f
in
ji
0
i 2,3,
n
x x
j 1
i 1
n
x x
j 1
f
ji
ij
j 1
0 xij uij
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
, n 1
p.15/36
8.5 最大流量問題
演算法步驟：
1. 找出一條由起點至終點仍具有正剩餘流動容量
（positive remaining flow capacity；PRFC）
的路徑。若無此路徑，則程序停止。
2. 在此路徑上，選擇具最小PRFC的弧，並讓f等
於此最小的PRFC。
3. 更新路徑上各弧的PRFC如下：
a. 對於與路徑方向相同的弧，將其容量減去f。
b. 對於與路徑方向相反的弧，將其容量加上f。
4. 返回步驟1。
p.16/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.3
在下班的交通顛峰時間，各道路應如何管制交通，
才能使得車輛得以儘速疏散？
p.17/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.3
/圖a.b
5
2
10
0
5 10
15
0
0
10
1
10
20
7
6
20
2
5
0
5 10
15
0
0
1
30
0
0 3
10
10
10
10 4 0
0
0
15
20
7
20
0 3
20
10
10
10
6
20
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
10
0
10
20
10
10
10
0
0
4
0 10
25
0
20
p.18/36
範例8.3
/圖c.d
5
2
10
0
5 10
15
0
10
0
10
10
20
1
0
7
20
10
3
1
0
2
0
5
5
15
5
5
15
15 4 0
0
0
10
0
7
20
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
3
0
6
20
20
10
10
20
20
5
0
0
30
6
20
20
10
10
20
5
10
10 4 0
0
0
15
20
0
30
10
10
20
5
p.19/36
範例8.3
/最佳解
5
2
10
45
5
15
5
15
10
4
1
7
45
10
30
20
6
3
20
p.20/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
最大流量最小切割理論
切割（cut）
一組有向弧（directed arc）所成的集合，此集合
包含所有由起點至終點的路徑中，至少其中一個弧
切割值（cut value）
集合內所有弧之流動容量的總和
最大流量最小切割理論（max-flow min-cut
theorem）
最小切割值則等於最大流量
p.21/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
最大流量最小切割理論
以範例8.3為例，其中三條切割：
切割1：55 /切割2：45 /切割3：50
切割 1
10
1
0 2
10
5
切割 2
0
5 20
5
0
0
10
0
4
0 10
25
20
7
0
10
30
6
20
0 3
切割 3
0
20
p.22/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
最大流量最小切割理論
此切割內所有弧的流動容量均為零，故為最佳解
2
10
0
5
5
0
10
10
20
5
1
5
15
5
5
15
15 4 0
0
0
10
0
7
20
6
20
20
3
0
20
30
10
10
20
5
0
p.23/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.6 最低成本流量問題
最低成本流量問題（minimum cost flow problem）
以最低總成本將供給經由網路運送至所需的節點
應用
石油管線運送
大多數網路問題均是最低成本流量問題的特例
LP模式：
n
n
c x
Max
i 1 j 1
s.t.
n
ij ij
n
x x
j 1
ij
j 1
ji
bi
0 xij uij
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
i 1, 2,
(i, j )
,n
p.24/36
流量下限限制的調整
若 xij lij ，則讓 xij xij lij ，並以 xij 取代 xij 。此外：
1. 改變 bi 為 bi lij ，改變 b j 為 b j lij 。
2. 讓 xij 的上限為 uij lij 。
[ bi ]
i
$cij
[ bj ]
[ bi lij ]
j
i
$cij
xij
(uij lij )
xij
轉換前
轉換後
(lij , uij )
[ b j lij ]
j
經由轉換後，即可讓所有的變數均大於等於零。
p.25/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.4
最低成本流量問題的網路表達方式：
[30]
2
[40] 1
(15)
$2
$5
(20)
$3
(25)
$4
5 [ 50 ]
3 [0]
$1
$8
$2
$1
4
[ 20 ]
必要條件：淨流量的總和必須為零，即 i 1 bi 0
n
p.26/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
特殊情況
運輸問題：當符合以下條件時：
1. 無轉運節點
2. 各弧無容量限制
指派問題：除運輸問題的兩項條件外，尚需：
供給節點的淨流量=1，需求節點的淨流量= -1
轉運問題
當各弧無容量限制時
p.27/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
特殊情況
最短路徑問題：當符合以下三項條件時：
1. 供給及需求節點各僅有一個，其餘均為轉運節點
2. 供給節點的淨流量=1，需求節點的淨流量= -1
3. 各弧無容量限制
最大流量問題：當符合以下條件時：
1. 供給及需求節點各僅有一個，其餘均為轉運節點
2. 供給節點的 b1 f ，需求節點的 bn f ，其中 f 是任
意指定的一個最大流量上限值
3. 加上弧(1,n)，並讓其容量限制為無限大
4. 所有 cij 0，惟 c1n M
p.28/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
8.7 網路單形法
網路單形法（network simplex method）
結合運輸問題單形法以及單形法上限技巧兩個方法，
應用在網路問題，而形成的一個有效率的方法
四個重要部分：
1.
2.
3.
4.
可行解的表達方式
測試最佳性及決定進入變數
決定離開變數
建立下一個可行基解
p.29/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
1. 可行解的表達方式
若指定一個擴充樹，即可找出（如果存在的話）此
擴充樹所代表的可行基解
範例8.5 (Z=490)
[30]
2
30
5 [ 50 ]
3 [0]
[40] 1
40
30
50
4
[ 20 ]
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
p.30/36
2. 測試最佳性及決定進入變數
根據右圖，可計算所有 NBV
的 Z 如下：
Z 2 3 1 8 2 對 x12
Z 5 1 8 2
對 x13
Z 4 1 1 3 1 對 x25
Z 2 1 3
對 x54
因仍有負值，所以並非最佳
解。我們選擇具最負值的
NBV 進入
[30]
2
$2
[40]
$5
1
$8
$4
30 $3
[ 50 ]
3 [0]
30 $1
40
4
5
$2
50
$1
[ 20 ]
p.31/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
3.&4. 決定離開變數並建立BFS
說明
由於弧上有容量的限制，所以決定離開變數的方式
須依4.5節上限技巧的方式處理
在此循環中，最先降為零或最先達到上限的弧即為
離開變數
讓f為此離開變數的變化量，則將所有與循環方向相
同的弧加上f，與循環方向相反的弧減去f，即可得
到下一個BFS
p.32/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
3.&4. 決定離開變數並建立BFS
為進一步簡化計算過程，當變數 xij 到達上限而以
yij 取代時，僅需調整如下：
1. 將弧 (i , j ) 改為弧 ( j , i )
2. 節點 i 的淨需求 bi 減去 u ij ，節點 j 的 b j 加上 u ij
3. 弧 ( j , i ) 的單位流動成本 c ji c ij
p.33/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.6
/圖(a)&(b)
[30]
2
2
[40]
1
(15)
$2
$5
(20)
$8
30 $3
(25)
$4
[ 50 ]
3 [0]
30 $1
5
$2
40
4
[ 20 ]
50
$1
(15)*
(25)
$3
$2 45
$4 [ 50 ]
[25]
$2
$5
1
3 [0]
5
(20)
45 $1 $2
$8
25
$1
50
4
[ 20 ]
p.34/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.6
[5]
1
/圖(c)&(d)
[45]
[20]
2
2
(15)*
$2 45 $3
$2
$5
(20)*
$8
(25)
$4 [ 50 ]
3 [20]
65 $1
5
4
5
$2
50
[ 20 ]
$1
[5]
1
(15)*
$2 20 $3
$2
$5
(20)*
$8
(25)*
$4 [ 25 ]
3 [20]
40 $1
5
4
5
$2
25
$1
[ 20 ]
p.35/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式
範例8.6
/最佳解
[30]
2
15
$2
$5
20
[40] 1
$8
20 $3
25
$4
5 [ 50 ]
3 [0]
40 $1
5
4
[ 20 ]
$2
25
$1
Z 395
p.36/36
作業研究 二版 Ch.8 網路模式