Transcript Document

Научно-образовательный семинар студентов и аспирантов
Резонансы Фано в некоторых
физических задачах и моделях
Д. И. Бурдейный
ИФМ РАН, 2011 г.
План рассказа
1. Исторические замечания. Сведения из биографии U.Fano.
Наиболее значительные работы Фано
2. Два примера систем, в которых реализуется интерференция
типа Фано:
а) два связанных осциллятора + вынуждающая сила
б) спектр фотоионизации атома
3. Моделирование резонансов Фано:
а) система со сложной геометрией. Цепочка осцилляторов
б) система со сложной динамикой. Рассеяние волн малой
амплитуды на дискретных бризерах (НУШ)
4. Другие примеры систем, в которых возникают резонансы Фано
5. Заключение
Исторические замечания
– U. Fano родился в 1912 в Турине
– получил степень Ph.D. в Туринском университете в
1934 (по математике)
– в 1934-1939 работал в группе Э. Ферми (в Риме)
– в 1936-1938 работал под руководством
В. Гейзенберга (Лейпцигский университет)
– в 1939 г. переехал в США
– 1946-1966: работа в Национальном бюро стандартов
– 1966-2000: работа в Чикагском университете
Ugo Fano (1912 — 2001)
Некоторые из важнейших научных результатов:
– интерпретация формы некоторых спектральных линий благородных газов
(линии Бойтлера–Фано) (1935, совместно с Э. Ферми)
– объяснение процессов перехода кинетической энергии сталкивающихся
атомов в энергию возбуждения электронов (механизм Фано–Лихтена) (1965)
– работы в области радиобиологии и дозиметрии
– вклад в использование концепции матриц плотности и операторных
представлений в атомной и молекулярной физике
Резонанс Фано: пример #1
Два гармонических осциллятора со слабым затуханием:
1 , 2
— собственные частоты
1 ~ 2 ; 1  2 
g1 , g 2 — коэффициенты затухания g1, 2  1, 2 
h — коэффициент связи
h   
1, 2
На первый осциллятор действует
гармоническая сила ~ cost  :
 xtt  g1 xt  12 x  hy  f expit ,

2
y

g
y


2 t
2 y  hx  0.
 tt
1
cos( t )
h
1 , g1
внешняя вынуждающая сила
слабая линейная связь
малое затухание
Нахождение вынужденных колебаний; комплексные амплитуды:
x  c1 expit , y  c2 expit ; c1  c1  , c2  c2  
2
2 , g 2
Резонанс Фано: пример #1
Два гармонических осциллятора со слабым затуханием:
1 , 2
— собственные частоты
1 ~ 2 ; 1  2 
g1 , g 2 — коэффициенты затухания g1, 2  1, 2 
h — коэффициент связи h  1, 2 
cos( t )
h
1 , g1
2
2 , g 2
|c1|
5
4

3
2

1
0
0.8
8
1
0.9
1.0
1.1
1.2
ω
1.3
|c2|
6
Breit-Wigner
4
2
0
0.8
ω
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
Установившийся режим: амплитуды с1, с2
|с1| вблизи ω-: симметричный профиль
|с2| вблизи ω+: асимметричный профиль!
Резонансная деструктивная интерференция
внешней вынуждающей силы f и силы,
действующей со стороны осциллятора 2
на осциллятор 1
Резонанс Фано: пример #1
Два гармонических осциллятора со слабым затуханием:
1 , 2
1 ~ 2 ; 1  2 
— собственные частоты
g1 , g 2 — коэффициенты затухания g1, 2  1, 2 
h — коэффициент связи
h   
1
cos( t )
1, 2
2
ω = ω2
h
1 , g1
2
2 , g 2
1
|c1|
5
4
DD:
ω = ω2

3
2
0
1.19
1
0
0.8
8
ω
0.9
1.0
1.1
1.2
|c2|
6

Breit-Wigner
4
2
0
0.8
1.3
ω
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.20
1.21
1.22
Установившийся режим: амплитуды с1, с2
|с1| вблизи ω-: симметричный профиль
|с2| вблизи ω+: асимметричный профиль!
Резонансная деструктивная интерференция
внешней вынуждающей силы f и силы,
действующей со стороны осциллятора 2
на осциллятор 1
Резонанс Фано: пример #2
Особенности в спектрах поглощения инертных газов (Beutler, 1935)
Природа асимметрии необычных острых пиков в спектрах установлена
в теории Фано взаимодействия конфигураций (Fano, 1961)
Фотоионизация атома
Два пути:
1) возбуждение одного
электрона в континуум:
g c,
A    A  e
2) возбуждение в квазистационарное состояние
ДС и спонтан. ионизация
(электрон → в континуум):
g d,
A    A*  A  e
Резонанс Фано: пример #2
Фано: решение задачи о взаимодействии конфигураций (1935, 1961)
Взаимодействие одного дискретного состояния с одним континуумом:
рез. добавка к коэффициенту поглощения
E  E

  q 2
  A 2
, 
,
 1
2
E — резонансная энергия,  — ширина резонансного (autoionized) уровня
f   A
 1 q,
f  1 q2
2.5
2.0
1.5
1.0
max:
min:
   q,
f 0
1.0
0.5
0.6
q 1
0.4
q  
0.2

0.0
q0
0.8
Fano profile
3.0
0.0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Система со сложной геометрией
Линейная цепочка грузов c пружинами + доп. груз, связанный с одним из цепочки
Масса всех грузов = 1
chain
U  U ch  U res  Uint ,
U ch  1 2  02 n  xn  xn 1 
2
U res  1 2  12 y 2
interaction
— цепочка
— резонансный груз
U int  1 2  2  y  x0 
2
resonance
— линейная связь x0 из цепочки и резонансного груза
d 2 xn
U d 2 y
U
Уравнения движения грузов:

,

2
2
dt
xn dt
y
Закон дисперсии волн в цепочке: xn  expikn  it   k   20 sink 2
Периодические (во времени) решения:
Частота ω в разрешённой полосе:
xn  An exp it , y  B exp it 
   k 
Падающая, отражённая и прошедшая волны:
expikn   exp ikn, n  0
An  
 expikn, n  0
Система со сложной геометрией
Граничное условие:
1   
1

Коэффициент прохождения
2
по интенсивности: T      
1
T  
 1

4

2
1



(0)
(+1)
(-1)
2 2
 2 404   2  12   2   2 2
T    0 при   0,   20 и   12   2
  12   2 ← антирезонанс
Выберем
1 ~ 0 , 2  12
==> справа и слева от провала T    1
1.0
0.8
0.6
0.4
Полная ширина провала
на половине высоты
2 4
W1 2 
3
3 0
T  
0.2
0.0
0.0
0  1
1  1
W1 2
  0.5
0.5

1.0
1.5
2.0
Система со сложной геометрией
Подстройка параметра асимметрии:
введение неоднородности в цепочку
(-3) (-2) (-1)
(+1) (+2) (+3)
Введение нескольких резонансов:
присоединение конечной цепочки
связанных осцилляторов вместо
одного резонансного
Система со сложной динамикой
Рассеяние на дискретных бризерах (discrete breathers) в рамках НУШ
Нелинейное уравнение Шрёдингера для непрерывного случая:
u
 2u
2
i
  2  2 u u, u  u x, t  :
t
x
,  0
Выделение несущей частоты, масштабирование:
После дискретизации:
ux, t   A wx, t expi t 
i t n  C   n 1  n 1    n  n (дискретн. НУШ)
2
2
Распространяющиеся волны малой амплитуды:
 n t    expit  ikn,   C
Закон дисперсии
1
 k   2C  cosk 
0
-6
-4
  k  k 
An  exp  n , cosh    2C
«Одноточечный» бризер:
  C  An0  A0
0
2
4
6
-1
Существует решение солитонного типа (breather):
n t   An expit , An  0
-2
-2
1.0
0.8
An
0.6
0.4
0.2
0.0
-5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
n
k
Система со сложной динамикой
Малое возмущение на фоне бризера:
 n t   n t   n t 
Подстановка в НУШ и линеаризация по малому возмущению:
itn  Cn1  n1    n,0  20   n,0 exp i2t 0*
описывает
распространяющиеся
волны
статический
потенциал
рассеяния
Решение «двухканального» вида:
распространяющаяся волна
динамический
потенциал
рассеяния
n t   X n expit   Yn* exp i2   t 
рассеиватель (n=0)
 X n  C   X n1  X n1    n,0 2 X 0  Y0 ,
2  Yn  C  Yn1  Yn1    n,0 2Y0  X 0 
exp. спадающее решение
«потенциальная яма»
Система со сложной динамикой
 n
Yn  Ye
Закрытый канал:
, ln   2 C
1

«Собственная частота» закрытого канала:
LY     2  2C 2

(в разреш. полосе)
eikn  e ikn , n  0
Открытый канал: X n  
ikn
e , n  0
Коэффициент прохождения:
T  
2
2 cosk  a  d  2  b 
T  0 при   LY  — резонансное условие
T k 
1
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0
  3.5
  4.5
  4.8
 C  1 .0
T  100
0.5
1.0
1.5
2.0
k
4 sin 2 k
2
2
 4 sin 2 k
Полное прохождение
(Т = 1) возможно при
16  4 9  7C 2

7
Иначе T k  1 k
Резонансное рассеяние частиц
E
Пример: резонансные
ядерные процессы
E
континуум
Резкое увеличение
сечения рассеяния нейтронов
ядром при энергии, близкой
к резонансной (Eφ).
ДС
Э. Ферми, 1934: первое наблюдение резонансного рассеяния медленных нейтронов
Ширина квазистационарного
энергетического уровня = Г
  Ei  E j
 full , барн
n 
232

Th
Время жизни >> времени
пролёта частицы через ядро:
   a v
E (n), эВ
Резонансное рассеяние ЭМ волны на шаре
E || Ox
x
R
H
k || Oz
падающая плоская волна
  
y
Параметры теории упругого рассеяния:
z
рассеянное излучение
kR  R c ,
Рэлеевское рассеяние (Lord Rayleigh, 1871):
R  
Теория Ми (Gustav Mie, 1908): произвольное соотношение между
Геометрическая оптика:
R
и

R  
Интенсивность рассеянного излучения зависит от направления и от частоты!
Резонансное рассеяние:
падающая ЭМВ → локализ. резонансн. ЭМ моды → рассеянное излучение
Резонансное рассеяние ЭМ волны на шаре
Изолированная шарообразная частица: kR  1 или kR ~ 1
Слабое поглощение:
Im    Re   
Оптические резонансы
(мультипольное возбуждение):
 rel      1   Ok 2 R2 
в окрестности квадрупольного
резонанса   2


kR ~ 1
Пример:
аномальное рассеяние на коллоидных
частицах калия в кристалле KCl
Расчёт для реалистичной модели:
R  62 нм, nKCl  1.5, kR ~ 1,
 p2
    1 
,  p  5.77 1015 c1 ,
  i 
 ~ v F R , v F  108 cм с
Tribelsky et. al.,
Phys. Rev. Lett. 100, 043903 (2008)
Заключение
► Резонанс Фано — общее физическое явление, обусловленное
интерференцией волновых процессов. Носит универсальный характер и
проявляется в различных физических системах.
Общая черта — одновременное существование резонансного и
нерезонансного путей распространения рассеянных волн.
► Резонанс Фано характеризуется асимметричным профилем пропускания
или сечения рассеяния как функций некоторых управляющих параметров.
Впервые количественно описан Ugo Fano при анализе явлений
конструктивной и деструктивной интерференции в волновых процессах.
► Резонанс Фано тесно связан с наличием квазистационарного состояния,
резонансно взаимодействующего с континуумом состояний рассеяния.
Резонансное состояние может быть обусловлено геометрией системы или
многочастичным взаимодействием.
Основной источник — обзор Miroshnichenko et. al., Rev. Mod. Phys. 82, 2257 (2010)