Transcript Võrratused
Võrratused Võrratuse mõiste Kui kahe avaldise (arvu) vahel on võrratusmärk(<, >, või ), siis sellist seost nimetatakse võrratuseks. Näited Lineaarvõrratus: x5 3 Ruutvõrratus: x2 x 2 0 Murdvõrratus: 2x 5 0 3x 2 Absoluutväärtusi sisaldav võrratus: x 3 5 Arvvõrratus ja selle omadused Kui kaks arvu või arvavaldist on ühendatud märgiga “suurem” (>) või “väiksem” (<), siis kõneldakse, et on antud arvvõrratus. Arvvõrratused on ka sellised tähti sisaldavad võrratused, kus tähtede all mõeldakse kindlaid arve nagu , e. Arvvõrratuse korral kehtivad järgmised omadused: 1. Kui a > b, siis b < a Näide: 5 > -2, seega -2 < 5 2. Kui a > b ja b > c, siis a > c Näide: 5 > -2 ja -2 > -5 seega 5 > -5 Arvvõrratus ja selle omadused 3. Võrratuse mõlema poolega võib liita ühe ja sama avaldise (arvu), kui a > b, siis ka a + c > b + c Näide: 5 > -2, seega ka 5 + 2 > -2 + 2 ehk 7 > 0 4. Võrratusmärk jääb samapidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga a b kui a > b ja c > 0, siis ca > cb ja c c Näide: 5 > -2 ja 2 > 0 seega 5·2 > -2·2 ehk 10 > -4 5 2 2 2 ehk 2,5 1 Arvvõrratus ja selle omadused 5. Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga a b kui a > b ja c < 0, siis ca < cb ja c c Näide: 5 > -2 ja -2 < 0 seega 5·(-2) < -2·(-2) ehk -10 < 4 5 2 ehk 2,5 1 2 2 Võrratuste lahendamine Kui võrratus sisaldab muutujat, siis saab teda lahendada, s.t. leida muutuja need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need muutuja väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Kaht võrratust nimetatakse samaväärseks, kui nende lahendihulgad on võrdsed. Võrratuse lahendamine seisneb antud võrratuse teisendamisel järjest lihtsamaks temaga samaväärseiks võrratusteks seni, kuni jõutakse võrratuseni, mis määrab lahendihulga. See teisendamine põhineb arvvõrratuse omadustel. Samaväärsed võrratused Samaväärseteks nimetatakse võrratusi, millel on üks ja sama lahendihulk. Näited Võrratused x 3 1 ja x 1 on samaväärsed, kuna kummagi võrratuse lahendihulgad on võrdsed x 1. Võrratused x 2 1 ja x 1 ei ole samaväärsed, kuna esimese võrratuse lahendihulgaks on x 1 või x 1. Teise võrratuse lahendihulgaks on aga x 1. Võrratuste lahendamisel kasutatavad teisendused Võrratuse liikmeid võib viia võrratuse ühelt poolt teisele poolele, muutes iga üleviidava liikme ees oleva märgi esialgsega vastupidiseks. Näide x 5 3 x 35 x 8 Võrratuse pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga (avaldisega). Näide 6 5x x 5 6 2(6 5 x) 3( x 5) 3 2 12 10x 3x 15 7 x 27 : 7 27 x 7 Võrratuste lahendamisel kasutatavad teisendused Võrratuse pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga (avaldisega), muutes võrratuse märgi vastupidiseks. Näide 13x 39 : (13) x 3 Võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, kui see avaldis saab muutuja erinevate väärtuste korral olla nii positiivne kui negatiivne. Võrratuse lahendite arv Võrratusel võib olla üks, mitu, lõpmata palju lahendeid või lahendid hoopiski puududa. Näited Võrratusel x 1 1 x 0 on üks lahend x = 1 Võrratusel 3x 45 on lõpmatu palju lahendeid, n.o. x > 15 Võrratusel ( x 1) 2 0 aga lahendid puuduvad Võrratuse lahendamine tähendab selle kõigi lahendite leidmist.