Transcript Document

Logaritmvõrratused
© T. Lepikult, 2003
Logaritmfunktsiooni monotoonsus
Logaritmvõrratuses esineb otsitav muutuja logaritmitavas või
logaritmi aluses.
Lahendamisel
kasutatakse
logaritmfunktsiooni
monotonsuse omadust:
ühest suurema aluse
korral on
logaritmfunktsioon
kasvav ja ühest
väiksema (kuid nullist
suurema) aluse korral
kahanev.
y
y = log a x, a > 1
4
2
1
0
-1
-2
1/a 1 a 2
x
3
y = log 1/a x,
0<1/a <1
Lihtsaimad logaritmvõrratused
Lihtsaimad logaritmvõrratused
loga x  b,
(1)
loga x  b
(2)
on lahenduvad igasuguse konstandi b  R korral.
b
x

a
, võrratus (2)
a

1
Juhul
on võrratus (1) rahuldatud kui
aga siis kui 0  x  ab .
b
Juhul 0  a  1 on võrratus (1) rahuldatud kui 0  x  a ,
võrratus (2) aga siis kui x  ab .
y
y  log a x,
a 1
b
1
ab
x
y
y  log a x,
b
0  a 1
1
ab
x
Järeldus logaritmfunktsiooni
monotoonsusest
Logaritmvõrratus
log a f ( x)  log a g ( x)
on a > 1 korral samaväärne võrratusega
f ( x)  g ( x)  0,
0 < a < 1 korral aga võrratusega
0  f ( x)  g ( x).
Ülesanne 1
Lahendada võrratus log3 ( x  2)  2.
Lahendus
log3 9  2
Kuna
siis võime algse võrratuse ümber kirjutada nii:
log3 ( x  2)  log3 9.
Kuna logaritmi alus 3 > 1, siis logaritmfunktsiooni
monotoonsuse tõttu
x  2  9,
millest saame lahendi:
x  11.
VASTUS
Võrratuse lahendiks on hulk
X  {x : x  11}.
Ülesanne 2
Lahendada võrratus log1/ 3 ( x  1)  3.
Lahendus
Kuna
log1/ 3 27  3,
siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga:
log1/ 3 ( x  1)  log1/ 3 27
Kuna ühest väiksema alusega logaritmfunktsioon on kahanev,
siis
x  1  27,
millest
x  26.
VASTUS
Võrratuse lahendiks on hulk
X  {x : x  26}.
Ülesanne 3 (I)
Lahendada võrratus
3  x  log5 (20  5 x ).
Lahendus
3  x  log5 53 x
Kuna
siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga:
log5 53 x  log5 (20  5 x ),
millest järeldub, et
53 x  20  5x.
Tulemuseks saime eksponentvõrratuse, mille lahendamiseks
korrutame selle mõlemaid pooli positiivse arvuga 5 x  0 :
3 x
5
 5  20  5  5  5
x
x
x
x

53  20  5 x  52 x.
Ülesanne 3 (II)
53  20  5x  52 x
Tehes asenduse
u  5x ,
u0
saame ruutvõrratuse
125  20u  u 2 
u 2  20u  125  0.
Lahendame vastava ruutvõrrandi:
u 2  20u  125  0,
u  10  102  125  10  15
u1  10 15  25,
u2  10  15  5.
Ülesanne 3 (III)
Ruutvõrratuse lahendi leidmiseks skitseerime funktsiooni
v  u 2  20u  125
graafiku:
v
-25
5
u
Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni
positiivsuspiirkonna:
u < -25 või
u > 5,
kuna aga u = 5x > 0, siis vasakpoolne piirkond ( u < -25) on
võõrlahendite hulk.
Ülesanne 3 (IV)
Parempoolsest piirkonnast saame lahendihulga, minnes tagasi
esialgsele muutujale:
u  5x  5  51
Ühest suurema alusega eksponentfunktsioon on kasvav,
seetõttu on viimane võrratus samaväärne võrratusega
x  1,
mis ongi lahendatava võrratuse lahendihulgaks.
VASTUS
Võrratuse lahendiks on hulk
X  {x : x  1}.