Transcript MODELOVÁNÍ A SIMULACE Modelovací techniky v biologii Modely

MODELOVÁNÍ A SIMULACE
Modelovací techniky v biologii
Modely v praxi
Modelovací techniky

Kompartmentové modelování


medicínské modely - např. regulace glykémie (množství glukózy v krvi)
Celulární a jiné konečné automaty
umělé systémy inspirované živými organismy – metabolismus, reprodukce,
evoluce
= evoluční systémy, multicelulární systémy, učící se systémy


Petriho sítě

Grafický a matematický nástroj

Vhodné pro modelování a analýzu systémů diskrétních událostí

Distribuovaný systém reprezentován orientovaným bipartitním grafem
s ohodnocením

Modely systémů hromadné obsluhy

…
Petriho sítě

Petriho sítě obsahují:

místa (places)



přechody (transitions)




vyjadřují možné změny stavu
jejich aktivováním dochází k přesunu tokenů mezi místy, jež daný
přechod spojuje
v grafech reprezentovány jako obdélníky
hrany (arcs)



obsahují stavovou informaci ve formě značek (tokenů)
v grafech jsou reprezentována jako kolečka
určují logické vazby
mohou být pouze mezi místem a přechodem
značky – tokeny (tokens)


jejich počet vyjadřuje stavovou informaci systému
rozložení značek v daném časovém okamžiku se nazývá označkování
Petriho sítě
  ( P, T , F ,W , C, M 0 )
 P…množina míst
 T…množina přechodů
 F…množina hran, platí: F  ( P  T )  (T  P)
 W : F  N+…váhová funkce, jež každé hraně
přiřazuje číslo, které nám říká, kolik tokenů touto
hranou projde
 C : P  N …vyjadřuje kapacitu jednotlivých míst
 M0 : P  N…počáteční označkování
Příklad PS – postavení domu

5 míst






P1
P2
P3
P4
P5
počet
počet
počet
počet
počet
stěn
oken
dveří
střech
domů
1 přechod T

který je uschopněn, obsahuje-li:






=
=
=
=
=
místo P1 alespoň 4 tokeny
místo P2 libovolný počet tokenů
místo P3 a místo P4 alespoň 1
aktivací přechodu se odeberou tokeny z
P1-P4
postavení domu – v místě P5 přibude 1
token
Příklad: nedojde k aktivaci přechodu –
nutná střecha
Systémy hromadné obsluhy

Systém, jež slouží k uspokojování požadavků, které do
tohoto systému vstupují právě za účelem jejich uspokojení

Základními částmi SHO jsou:

Vstupní linka - přichází jí do systému nové požadavky

Obslužný kanál - jsou jím uspokojovány požadavky

Fronta - obsahuje požadavky, které nemohou být uspokojeny
okamžitě (např. z důvodu „obsazení“ obslužného kanálu jiným
požadavkem)
Systémy hromadné obsluhy
 Markovovy modely SHO
 V praxi bohatě zastoupeno
 Poissonovo exponenciální rozdělení vstupního toku a
doby obsluhy
 Pravděpodobnost, s jakou najde nově příchozí
požadavek systém ve stavu A je shodná
s pravděpodobností, že systém se nachází ve stavu A
 Tj. Markovův model - jeho následující stav závisí
pouze na stavu aktuálním
 Např. pro populační a epidemiologické modely
MODELY BIOLOGICKÝCH SYSTÉMU
V PRAXI
 Populační modely

Jednodruhové populace

Dvoudruhové populace
 Epidemiologické modely
 Modely venerických onemocnění
 Biologické modely

Modely celulární a tkáňové struktury

Medicínské modely
Populační modely
– jednodruhové populace
 A. Spojité deterministické modely jednodr. populací
 Modelování založeno na deterministickém způsobu
chování populace, stav populace je charakterizován
její velikostí (např. hustota osídlení)
 Základní otázky
 jak dlouho trvá, než dosáhne populace dané velikosti
 jak velká bude populace po určitém čase (příp. po
daném počtu generací)
 jak dlouho může populace přežít v nevhodných
podmínkách
Populační modely
– jednodruhové populace
 Základní vztah charakterizující dynamiku dané populace
je možno napsat ve tvaru:
x(t  t )  x(t )  xb  xd  xm ,
 Δxb … automní přírustek – narození jedinci
 Δxd … autonomní úbytek – zemřelí jedinci
 Δxm … počet jedinců, kteří do populace přišli
(imigrovali) z jiného prostředí, příp. odešli (emigrovali)
Populační modely
– jednodruhové populace
x(t  t )  x(t )  (b( x, t )  d ( x, t )). x(t ).t 
 V limitním případě, kdy Δt → 0:
x(t  t )  x(t )
  ( x, t ). x(t )
t
x(t )   ( x, t ).x(t )
 Deterministické vyjádření dynamiky stavu populace x(t)
za předpokladu, že tento stav můžu popsat spojitou
funkcí
 Chování základního spojitého modelu jednodruhové
populace definovaného tímto vztahem určuje tvar funkce
γ(x,t)
Užívané spojité modely
jednodruhových populací

Malthusův model

Nejjednodušší
modelu
varianta
spojitého

Předp. neměnnost prostředí (stálý
rozdíl úbytku a přírůstku v populaci)

lineární diferenciální rovnice 1. řádu
 (t )  b( x, t )  d ( x, t )  r  x(t )  r.x(t ),


Nevýhoda
populace
-
neomezený
růst
Logistický model

uplatňují
prostředí
se
omezující
faktory
Populační modely
– jednodruhové populace

B. Diskrétní ekvivalenty spojitých modelů jednodruhových
populací


Generace se v populace nepřekrývají (jedinci z jedné generace)
C. Modely s věkovou strukturou

Leslieho model

Věkově struktur. model s diskrétním časem

Popisuje dynamiku populace v definovaných věkových skupinách pomocí
známých hodnot porodnosti a úmrtnosti v jednotlivých věkových
kategoriích

Věková struktura dána vývojovými stádii jedinců v populaci nebo jinými
konvencemi
Populační modely
– dvoudruhové populace

Spolužitím zpravidla ovlivněna dynamika každé z vyskytující
se populace – vzájemná interakce (kladný vliv – stimulační,
záporný vliv – inhibiční, neutrální)

Interakce mezi druhy probíhají na úrovni jedinců, ale
uvažujeme o nich na úrovni populace

Mezidruhové vztahy vytváří síť vazeb, které regulují přílišné
kolísání početnosti populací a udržují rovnovážný stav
ekosystému

Typy vzájemné interakce se rozdělují podle míry vzájemné
prospěšnosti i těsnosti soužití z hlediska zúčastněných
organismů
Užívané modely dvoudruhových
populací (dravec – kořist)

Gaussův model
x'  xf ( x)  V ( x) y
y '  yg ( y )  V ( x) y,

x = x(t) … velikost populace kořisti

y = y(t) … velikost populace predátora

Funkce V … tzv. trofická funkce

Určuje množství kořisti, které dravec uloví za jednotku času v závislosti na stavu
populace kořisti

κ … znamená efektivitu, s jakou predátor přemění zlikvidovanou kořist na svoji
biomasu

f(x) … relativní rychlost rozmnožování populace kořisti

g(y) … celkový přírůstek populace dravce
Užívané modely dvoudruhových
populací (dravec – kořist)

Lotka-Volterrův model konkurence druhů
x' (t )  k1 x(t )  k 2 x(t ) y(t )
y' (t )  k 2 k3 x(t ) y(t )  k 4 y(t ),

k1 … koeficient přírůstku do populace kořisti

k2 … pravděpodobnost, že setkání dravce s kořistí skončí smrtí kořisti

k3 … vyjadřuje účinnost přeměny biomasy kořisti na biomasu dravce

k4 … koeficient přírůstku do populace dravce

Předpoklad - každá populace roste logisticky

Zobecnění - Model společenstva více druhů
Lotka-Volterrův model
k1 = 0,4, k2 = 0,017, k3 = 0,7 a k4 = 1,2
Stavové trajektorie modelu pro různé hodnoty k1
Užívané modely dvoudruhových
populací (dravec – kořist)


Spojitý model

Jednoduchá implementace – modelování diferenciálních rovnic v
Simulinku

Přesnější numerická metoda – chyby

Deterministické chování – pro určité parametry existuje pouze jediné
řešení, není zahrnuta náhoda
Diskrétní model (v úrovni)

Markovovy modely – exponenciální rozdělení vzniku jednotlivých
událostí

Respektování počtu jedinců

Stochastické chování
Užívané modely dvoudruhových
populací (dravec – kořist)
 Základní matematický model LotkyVolterry:
 předpokládal neomezený, exponenciální růst
populace kořisti za nepřítomnosti dravce
 Může být splněno jen tehdy, když je zahubení
dravcem výrazně hlavní příčinou smrti kořisti
 Není-li tato podmínka splněna, pak je nutné
připustit pro kořist další omezující faktory
růstu - Kolmogorovův model
Epidemiologické modely

Modely časoprostorového šíření infekčních chorob

I pro modelování principiálně blízkých procesů (např. šíření ohně,
invaze rostlin do neobsazeného prostoru, dynamika potravinového
řetězce)

Základní předpoklady:

jde o uzavřenou, autonomní, populaci – celkový počet jedinců se
nemění v čase, tj. nepředpokládáme narození nových jedinců ani
migraci a všichni zemřelí jsou zahrnuti ve skupině R(t)

nemoc se šíří kontaktem mezi infikovanými a zdravými jedinci

choroba nemá latentní období

populace je homogenní, tj. všichni ohrožení jedinci jsou ohrožení
stejně, všichni infikovaní jedinci jsou stejně infekční atd.
Epidemiologické modely

Za uvedených předpokladů je možno populaci rozdělit do tří skupin:

skupina S (susceptible)



skupina I (infected)



obsahuje tu část populace, která je náchylná k onemocnění
tito jedinci netrpí chorobou, mohou však být infikováni při styku s nemocnými
obsahuje část populace tvořenou infikovanými jedinci
tito jedinci vykazují známky onemocnění a rozšiřují nemoc mezi členy skupiny S
skupina R (removed)


obsahuje tu část populace, která je tvořena jedinci, kteří byli dříve infikováni, ale
nyní již nemohou šířit chorobu
jsou zde obsaženi jedinci, kteří se uzdravili a zůstali trvale imunní, jedinci, kteří byli
trvale izolováni, a v případě smrtelné nemoci jedinci, kteří uhynuli

Veličiny S, I, R jsou obecně funkcemi času

V libovolném časovém okamžiku t platí (tzv. podmínka autonomity
systému):
S (t )  I (t )  R(t )  N
Epidemiologické modely


Předpoklady pro vývoj epidemie:

rychlost přesunu jedinců ze skupiny S do skupiny I je úměrná počtu setkání
infikovaných jedinců s jedinci náchylnými k onemocnění

rychlost přesunu jedinců ze skupiny I do skupiny R je úměrná počtu
infikovaných jedinců

jedinci, kteří se ocitli ve skupině R v této skupině trvale zůstávají
Počáteční podmínky (v čase t = 0):

existuje kladný počet jedinců, kteří jsou náchylní k onemocnění

v populaci se vyskytuje kladný počet jedinců, kteří jsou nemocí infikováni a
jsou přenašeči infekce

nulový počet vyléčených (imunitních) jedinců (pokud je tato skupina
populace v modelu zahrnuta)
Nejčastěji používané
epidemiologické modely
 A. Model SIR
 Po prodělání choroby vzniká jistá forma imunity
(většinou doživotní klasická či smrt) - např. plané
neštovice
 Kermackův-McKendrickův (matematický) model
 definovaný třemi diferenciálními rovnicemi popisujícími
dynamiku dílčích kategorií
S (t )  r  S (t )  I (t ),
S (0)  S0  0;
I (t )  r  S (t )  I (t )  a  I (t ), I (0)  I 0  0;
R(t )  a  I (t ),
R(0)  R0  0;
r  0, a  0;
Nejčastěji používané
epidemiologické modely

Koeficient r - koeficient šíření nákazy


Koeficient a - koeficientem léčení


míra infekčnosti choroby a kvalita prevence proti dalšímu šíření
míra vážnosti choroby a schopnost (společnosti či jedince) se
s chorobou vypořádat
B. Model SI

Zajímá nás dynamika počátku infekce (přechod ze skupiny
ohrožených do skupiny infikovaných) - např. počáteční stádium
horních cest dýchacích
Nejčastěji používané
epidemiologické modely
 C. Model SIS

Pro onemocnění, která nejsou smrtelná a při kterých nevzniká na
danou nemoc imunita - jedná se tedy o „běžné“ nemoci, jako je
např. chřipka či angína

Rozlišujeme model SIS:

s konstantními koeficienty – prodělaná choroba není smrtelná a
současně prodělání choroby proti ní nevytváří imunitu

s časově proměnnými koeficienty – v reálných systémech se zpravidla
mění parametry – povědomí společnosti o nemoci, epidemiologická
opatření apod.

s konstantním počtem přenašečů – případ, kdy je nemoc vyvolána
zprostředkovaně nakaženým prostředím, potravou apod.
Nejčastěji používané
epidemiologické modely
 D. Model SIR s vakcinací
 Případ, kdy nemocí ohrožené osoby jsou buď posíleny
očkováním nebo se převádějí do izolované karantény
- navíc skupina V(t)
 E. Model SEIR
 Zahrnutí inkubační doby, která uplyne od nákazy
do okamžiku, kdy se příznaky nemoci projeví – nutné
u poměrně dlouhé inkubační doba nemoci - skupina
E(t) - popisuje tu část populace, která je infikována,
ale zatím není infekční
Modely venerických nemocí
 Oproti infekčním nemocím některé poněkud
odlišné charakteristiky:
 omezeny na sexuálně aktivní část populace
(výjimku tvoří přenos choroby z matky na dítě)
 přenašeči jsou často asymptomatičtí (bez
vnějších projevů)
 nevyvolávají téměř žádnou imunitu vůči
prodělané chorobě
 vzhledem k sociálnímu tabu se obtížně získávají
údaje o dynamice přenosu
Modely venerických nemocí
 Při tvorbě modelu budeme předpokládat:
 přenos nemocí se bude uskutečňovat mezi
dvěma vzájemně se ovlivňujícími skupinami
(heterosexuální přenos), které budeme
považovat za homogenní
 stejně promiskuitní chování u všech mužů a žen
 Křížový model SIR
 taková venerická onemocnění, po jejichž
prodělání získává jedinec imunitu (jedinci, kteří
nemoci podlehli)
Modely venerických nemocí
 Křížový model SIR
S m (t )  rm  S m (t )  I z (t )
I m (t )  rm  S m (t )  I z (t )  a m  I m (t )
Rm (t )  a m  I m (t )
(3.11)
S z (t )  rz  S z (t )  I m (t )
I z (t )  rz  S z (t )  I m (t )  a z  I z (t )
R z (t )  a z  I z (t )
 Křížový model SIS
Modely šíření AIDS
 Narážíme na mnohé nejasnosti a neurčitosti s touto
chorobou spojené:
 neznámá délka latentního období nemoci
 výchozí a současná délka seropozitivní části populace
 epidemiologické parametry šíření
 sociální problémy při pořizování dat vzhledem
k různým sociálním tabu spojených s touto nemocí
 Zatím neexistuje žádný spolehlivý lék  modelováno
pomocí křížového modelu SIR, kde skupina R(t) udává
počet jedinců, kteří této chorobě podlehli.
Modely šíření AIDS

Výhoda diskrétního modelu - větší přiblížení
reálnému světu (nemusí dojít k vymření celé
autonomní populace)

Nevýhoda - generuje pouze jednu realizaci
náhodného procesu, což při stejných počátečních
podmínkách způsobí odlišné průběhy

Uživatele nejčastěji zajímá střední hodnota - lze
částečně vyřešit (použitím metody Monte Carlo)

Spojitý model relativně dobře zachycuje interakci
jednotlivých populačních skupin.

Možné zpřesnění spojitého modelu - použití
přesnější numerické metody (metoda RungeKutta či využití Richardsonovy extrapolace)
Medicínské modely:
Bergmanův model cukrovky I. typu
dG(t )
  p1  G(t )  Gb   x  t  G (t ), G(0)  G0
dt
dx(t )
  p2 x  t   p3  I (t )  I b  ,
x(0)  x0
dt
dI (t )

 n  I (t )  I b     G(t )  h  t , I (0)  I 0
dt

nelineární, 2-kompartmentový model

matematický popis orgánů
zdravého lidského těla,
které jsou zapojeny do
procesu metabolismu cukrů

jsou zanedbány některé
vlivy podílející se na
regulaci metabolismu cukrů

výstupem Bergmanova
modelu na základě vhodně
zvolených parametrů
člověka je množství glukózy
a inzulínu v krvi
Medicínské modely:
Model činnosti srdce

Balthasar van der Pol

elektronkové modely lidského
srdce - studium dynamiky pro
stabilizaci srdeční arytmie

Van der Polova diferenciální
rovnice:


y      y 2 y  ky  u
KONEC 