Transcript 5. Základní vlastnosti vlnění, vlnová rovnice a její řešení. Vlny na

Postupné vlny
u
?
výchylka počátku provazu
„libovolná“ funkce času
výchylka jiné částice (v místě x)
zpoždění
částice opakuje stejný pohyb se zpožděním
Postupné vlny
u
„libovolná“
funkce popisuje
postupnou vlnu jdoucí
rychlostí v ve/proti směru
osy x
Příčné a podélné vlny
Příčná (transverzální) vlna
Polarizace - směr výchylky
zde lineárně polarizovaná
vlna
Existují dvě ortogonální
polarizace
Podélná (longitudinální) vlna
Postupná rovinná vlna
Příčná (transverzální) vlna
Polarizace - směr výchylky
zde lineárně polarizovaná
vlna
Existují dvě ortogonální
polarizace
Podélná (longitudinální) vlna
Vlny v přírodě
Přenos informace?
Sinusové (harmonické) postupné vlny
u
„libovolná“
harmonická („sinusová“)
Sinusové (harmonické) postupné vlny
u
Všechny body kmitají se stejnou frekvencí a
amplitudou. Fáze se mění lineárně s polohou.
„libovolná“
harmonická („sinusová“)
Sinusové (harmonické) postupné vlny
u
u
- vlnový vektor
udává směr
šíření vlny
fázová rychlost
Proč fázová?
u
poloha myšleného bodu (ne částice prostředí!), jehož stav (=fáze) se nemění
rychlost bodu jehož fáze je konstantní
Proč fázová?
x
poloha myšlených bodů, jejichž fáze je konstantní (tyto body tvoří tzv. vlnoplochu)
rovnice roviny
=> vlnoplocha je rovina
rychlost postupu vlnoplochy
Pozn. různá vyjádření sinusové postupné vlny
komplexní vyjádření - Re si musíme domyslet
konvence v HRW
Modelový příklad:
Vlny na struně
Vlny na struně
přejdeme od „korálků na (nehmotné) struně“ ke struně se spojitě rozloženou hmotností
T
T - napětí ve struně
T
x
pohybová rovnice:
?
pohybová rovnice:
?
0 pro
pohybová rovnice:
vlnová rovnice
Jsou postupné vlny řešením této rovnice?
derivujeme
složenou funkci
Ano, pokud
Vlnová rovnice a postupné vlny (shrnutí)
(bezdisperzní) vlnová rovnice
Postupná vlna je řešením vlnové rovnice.
postupná vlna
dvakrát diferencovatelná funkce
Pro postupné vlny dále platí
rovnice postupných vln
Energie a výkon vlny
Aby vytvořil harmonickou
vlnu, musí konat práci,
tedy dodávat výkon vlně.
Energie se šíří prostředím s rychlostí šíření vlny (?) - upřesníme později.
Pro harm. oscilátor
Přenášený výkon = rychlost šíření energie × energie (na jednotku délky)
(důkaz později)
Princip superpozice
Důkaz:
je lineární
lineární kombinace řešení je také řešení:
tedy také řešení
(stačí dosadit)
řešení
řešení
Princip superpozice
Odraz na pevném a volném konci
Pevný konec
pro harmonickou vlnu: odražená vlna je
v protifázi s přicházející vlnou.
Volný konec
pro harmonickou vlnu: odražená vlna je
ve fázi s přicházející vlnou.
x
(podrobně později)
Interference vln
uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové
délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem
u
dráhový rozdíl
v HRW
to už známe, jedná se o skládání stejnosměrných harmonických kmitů
(případ kdy jsou stejné frekvence i amplitudy)
Záleží na fázovém rozdílu
Interference vln
uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové
délce, které jsou navzájem fázově posunuty a postupují stejným směrem
u
dráhový rozdíl
Interference: amplituda výsledné vlny se v
závislosti na fázovém rozdílu může měnit z
minimální hodnoty do maximální hodnoty
vnikne opět harmonická vlna o
stejné vlnové délce postupující
stejným směrem
Interference vln
u
u
(plně) konstruktivní interference
(plně) destruktivní interference
fázový rozdíl:
dráhový rozdíl:
- lib. celé číslo
Interference: amplituda výsledné vlny se v
závislosti na fázovém rozdílu může měnit z
minimální hodnoty do maximální hodnoty
vnikne opět harmonická vlna o
stejné vlnové délce postupující
stejným směrem
Interference vln
u
u
(plně) konstruktivní interference
(plně) destruktivní interference
fázový rozdíl:
dráhový rozdíl:
- lib. celé číslo
(pozn. konvence v HRW)
y
kx  t
Stojaté vlny
uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové
délce, které postupují navzájem opačným směrem
u
Není to postupná vlna!
pohyb každého bodu
prostředí je harmonický
amplituda kmitů se mění
harmonicky v prostoru
Stojaté vlny
uvažujme superpozici dvou harmonických vln o stejné amplitudě i vlnové
délce, které postupují navzájem opačným směrem
nepohybují
se
Není to postupná vlna!
pohyb každého bodu
prostředí je harmonický
dvojnásobná
amplituda
amplituda kmitů se mění
harmonicky v prostoru
Stojaté vlny
zvolme počátek osy x tak,
aby v něm byl uzel
uzel
kmitna
uzel
x
0
polohy uzlů:
polohy kmiten:
uzel
kmitna
- libovolné celé číslo
- libovolné celé číslo
Jak vytvoříme stojaté vlny?
Pomocí odrazu
Pevný konec - uzel
pro harmonickou vlnu: odražená vlna je
v protifázi s přicházející vlnou.
Volný konec - kmitna
pro harmonickou vlnu: odražená vlna je
ve fázi s přicházející vlnou.
x
Stojaté vlny konečné struny
polohy uzlů:
na obou koncích struny musí být uzel
Vlastní kmity (mody), rezonance
vlastní frekvence
vlastní funkce
V každém okamžiku lze popsat
tvar struny pomocí superpozice
modů.
vlastní funkce pro první 3
harmonické frekvence
Vlastní kmity (mody), rezonance (2D)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Drum_vibration_mode12.gif
Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor)
Aby vytvořil vlnu, musí
působit silou.
y
Podobně pro každé dvě
sousední částice struny.
T - napětí ve struně
Charakteristická impedance (struna jako nucený oscilátor)
Aby vytvořil vlnu, musí
působit silou.
y
Podobně pro každé dvě
sousední částice struny.
charakteristická impedance Z = příčná síla / rychlost částice
je vlastností struny a napětí, nezávisí na tvaru pulzu
Postupná vlna a přenos energie
Aby vytvořil vlnu, musí
konat práci, tedy
dodávat výkon vlně.
y
Podobně pro každé dvě
sousední částice struny.
T - napětí ve struně
Energie (pro strunu)
u
x
hustota kinetické energie
hustota potenciální energie = práce potřebná ke změně délky / délka
= napětí × změna délky / délka
změna délky / délka
hustota potenciální energie
Energie (obecně pomocí Z a v)
hustota kinetické energie
hustota potenciální energie
(platí pro libovolnou vlnu)
pro postupnou vlnu
Postupná vlna a přenos energie
Aby vytvořil vlnu, musí
konat práci, tedy
dodávat výkon vlně.
y
Podobně pro každé dvě
sousední částice struny.
harmonická vlna
Platí pro bezdisperzní postupné vlny, tj. splňují
Disperze a grupová rychlost
Připomeňme si korálky na struně...
T
T
T - napětí ve struně
Disperze
Disperzní závislost
(3 příklady)
předpokládané řešení
Bezdisperzní vlny - křivka (a)
Vlny s disperzí - křivky (b) nebo (c)
př.: ohebná struna, zvukové vlny
v plynu, em vlny ve vakuu
př.: „korálky na struně“, tuhá struna, vlny
na vodě, em vlny v látkovém prostředí
Pulz (vlnový balík)
Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln
v čase 0 je dáno inverzní
Fourierovou transformací funkce
(nyní ale proměnná k)
rozkládáme prostorovou závislost
nebo (snadná substituce v integrálu)
v poloze x = 0 to je inverzní
Fourierova transformace funkce
rozkládáme časovou závislost
bez disperze
disperze (slabá)
Šíření pulzu
Princip superpozice: obecný pulz vyjádříme jako superpozici harmonických vln
v čase 0 je dáno inverzní
Fourierovou transformací funkce
(nyní ale proměnná k)
rozkládáme prostorovou závislost
nebo (snadná substituce v integrálu)
v poloze x = 0 to je inverzní
Fourierova transformace funkce
rozkládáme časovou závislost
V disperzním systému se každá harmonická vlna šíří jinou fázovou rychlostí. Dojde
tedy k postupnému rozplývání pulzu při jeho postupu.
Šíření pulzu
vstupující pulz - známe
vystupující pulz
?
Disperzní prostředí délky x
(lineární systém)
(srv. Jak najít odezvu na libovolný signál?)
Šíření pulzu
vstupující pulz - známe
vystupující pulz
- malé
rychle se měnící člen, který
se pohybuje fázovou rychlostí
pomalu se měnící obálka, která se
pohybuje grupovou rychlostí
Disperze, grupová rychlost
Frequency dispersion in groups of gravity waves on the surface of deep water. The
red dot moves with the phase velocity, and the green dots propagate with the group
velocity. In this deep-water case, the phase velocity is twice the group velocity. The
red dot overtakes two green dots when moving from the left to the right of the figure.
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity
Obálka („amplituda“) a tedy i energie se šíří grupovou rychlostí
rychle se měnící člen, který
se pohybuje fázovou rychlostí
pomalu se měnící obálka, která se
pohybuje grupovou rychlostí
Disperze, grupová rychlost
Disperzní závislost
(3 příklady)
předpokládané řešení
Vlny na rozhraní
Vlny na rozhraní
u
x
rozhraní x = 0
obvykle stejné jako
Impedance nejsou stejné, vlna nemůže jenom projít
(srv. struna jako nucený oscilátor)
Co platí na rozhraní?
Hraniční podmínky
u
x
rozhraní x = 0
obvykle stejné jako
spojitost výchylky
spojitost příčné síly
integrujeme, integrační konstanta je nulová
Odraz a průchod rozhraním
u
x
rozhraní x = 0
obvykle stejné jako
obě podmínky platí pro
každé t
koeficient odrazu
koeficient průchodu
spojitost výchylky
spojitost příčné síly
Odraz a průchod rozhraním
u
x
rozhraní x = 0
obvykle stejné jako
obě podmínky platí pro
každé t
spojitost výchylky
spojitost příčné síly
koeficient odrazu
2 rovnice pro 2 neznámé se snadno
vyřeší a máme konečně výsledek:
koeficient průchodu
Odraz a průchod rozhraním
vždy
volný konec
pevný konec
pozn:
Zvukové vlny
Zvukové vlny v plynech
x
rovnovážný
tlak
průřez trubice
Zvukové vlny v plynech
x
rovnovážný
tlak
průřez trubice
výchylka tenké vrstvy plynu
x
Akustický tlak a posunutí
x
„výchylka“ tlaku
(akustický tlak)
- souvisí se změnou objemu
modul objemové pružnosti - nové
HRW vztahy (12.25) a (17.2)
Pohybová rovnice
x
hustota plynu při
rovnovážném tlaku
Zvukové vlny v plynech
x
Shrnutí dosavadních výsledků:
vztah mezi akustickým tlakem a výchylkou tenké vrstvy plynu
vlnová rovnice (v 1D, už známe)
rychlost zvukové vlny
(Skalární) vlnová rovnice a trojrozměrné vlny
1D
3D
Důležitá řešení:
- rovinná vlna
- kulová vlna
Trojrozměrné vlny: rovinná vlna
y
jednotkový vektor kolmý
na vlnoplochu
x´
x
rovnice roviny (vlnoplochy)
víme že
totéž přepsáno do tvaru, který
nezávisí na volbě SS:
(postupná rovinná vlna šířící se
ve směru/proti směru vektoru )
pro harmonickou vlnu
Trojrozměrné vlny: kulová vlna
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Spherical_wave2.gif
(rozbíhavá/sbíhavá kulová vlna)
pro harmonickou vlnu
pokud je počátek SS v Z
Rychlost zvukové vlny
x
adiabatický děj (obecně)
celkový tlak
v našem označení a pro malé změny
Harmonická zvuková vlna: výchylka a tlak
x
vztah mezi akustickým tlakem a výchylkou tenké vrstvy plynu
harmonická vlna
Harmonická zvuková vlna: výchylka a tlak
Harmonická zvuková vlna: výkon a intenzita
x
charakteristická impedance
Intenzita = střední hodnota energie, která
projde za jednotku času jednotkovou plochou
kolmou ke směru šíření.
hladina intenzity zvuku
Kulová vlna: změna intenzity se vzdáleností
předp. harmonickou vlnu
pokud se zachovává
mechanická energie
porovnáme s
=> amplituda musí klesat takto
Stojaté vlny ještě jednou
stejně jako na struně
Kde má tlak kmitnu má výchylka uzel a naopak.
Stojaté vlny ještě jednou
Stojaté vlny ještě jednou
oba konce stejné
různé konce
Zdroje hudebního zvuku
Zdroje hudebního zvuku
Interference (nyní 2 bodové zdroje ve 3D)
to už známe, jedná se o skládání harmonických kmitů (případ kdy jsou
stejné frekvence)
Záleží na fázovém rozdílu
Interference (nyní 2 bodové zdroje ve 3D)
dráhový rozdíl:
konstruktivní interference
destruktivní interference
fázový rozdíl:
dráhový rozdíl:
- lib. celé číslo
Záleží na fázovém rozdílu
Interference
Dvojštěrbinový experiment (Youngův pokus)
předpokládáme
skládání harmonických kmitů (stejné frekvence i amplitudy)
Vlny a částice
Dopplerův jev
Dopplerův jev
Dopplerův jev
pro světlo neplatí
Nadzvukové rychlosti, rázové vlny