Transcript Balans proceduralnog i konceptualnog znanja iz matematike

BALANS PROCEDURALNOG I
KONCEPTUALNOG ZNANJA IZ
MATEMATIKE
Dr. sc. Irena Mišurac Zorica
Filozofski fakultet u Splitu
[email protected]
Je li matematika za svakoga?
• NIJE? Ne moraju svi biti matematički pismeni; matematika je težak
predmet i ne može je svatko svladati; i bez matematike se može
uspješno živjeti; postoje područja u kojima matematika nije nužna.
Toliko sati muke, frustracije, učenja, instrukcija, nespavanja,
strahovanja za nešto što im možda uopće ne treba niti im je važno?
MATEMATIKA VAN IZ ŠKOLE!!!
• JEST? Matematika je sveprisutna u našim privatnim i profesionalnim
životima; nema osobe kojoj matematička znanja i kompetencije ne bi
bili potrebni; matematiku može svatko razumjeti i naučiti, ona može
biti jasna i lagana...
Na nama učiteljima je važan zadatak da svima omogućimo kvalitetno
matematičko obrazovanje u kojem će svi moći ostvariti uspjeh i
naučiti matematiku na upotrebljiv način kako bi njene spoznaje mogli
u životu i iskoristiti.
MATEMATIKA U ŠKOLI
• obavezna za SVE učenike
• CIJELO školovanje
• velika satnica (1120 sati u osnovnoj, oko 420 u
srednjoj školi)
• matematika i jezik prepoznati kao područja
neophodna SVAKOME - OBAVEZAN predmet na
državnoj maturi
• područja u kojima svaki pojedinac MORA biti
kompetentan i uspješan kako bi se mogao
uključiti u suvremeno društvo i tržište rada
KAKVA MATEMATIKA?
ŠKOLSKA MATEMATIKA
MATEMATIKA KAO ZNANOST
 susrećemo je svakodnevno
 susrećemo je na studiju
 usko povezana s realnošću
 nije povezana s realnošću
 upotrebljiva
 ne zanima je uporaba
 potrebna svakome
 njome se bave matematičari
 svatko je može uspješno
 nije za svakoga
svladati i primjenjivati
 matematika služi nama
 Induktivni pristup
 mi služimo matematici
 deduktivni pristup
CILJ UČENJA MATEMATIKE
• Ciljevi obrazovanja određuju i načine poučavanja.
• Količina znanja i primjena u školskim zadacima zamjenjuju se
težnjom prema uspješnom implementiranju matematike.
• Ne samo da znaju, nego da razumiju i umiju primijeniti.
• Matematička pismenost je sposobnost pojedinca da prepozna i
razumije ulogu koju matematika ima u svijetu, da donosi dobro
utemeljene odluke i da primjenjuje matematiku na načine koji
odgovaraju potrebama života tog pojedinca kao konstruktivnog,
zainteresiranog i promišljajućeg građanina (PISA).
• Uključuje matematička znanja i kompetencije (konkretna
umijeća ili procese primjene znanja).
• SVE učenike matematički opismeniti.
PROCEDURALNO ZNANJE MATEMATIKE
• Proceduralno znanje je sposobnost slijeđenja niza sekvencijalnih
koraka u rješavanju matematičkog zadatka; odnosi se na
poznavanje matematičkog postupka ili pravilnog izvođenja
algoritma.
• Razvija se kroz rješavanje velikog broja sličnih zadataka po
modelu koji je koristio učitelj u školi.
• Pretpostavlja se da će učenik, ako riješi dovoljno zadataka, biti u
stanju naučenu proceduru provesti u bilo kojoj situaciji u kojoj bi
mu ona mogla zatrebati.
• Praksa je pokazala da učenici mogu proceduru zapamtiti, a da
pritom uopće ne znaju zašto to rade upravo na takav način.
KONCEPTUALNO ZNANJE
• Viša razinu znanja u kojoj, osim što znaju provesti određenu
proceduru i riješiti određeni tip zadataka, učenici razumiju i zašto
se to tako radi, kako se još može raditi, zašto je to tako najbolje
raditi, na koji je način taj postupak povezan s drugim dijelovima
matematike i gdje to (u životu) mogu primijeniti,
• Povezana mreža informacija u kojoj su povezujuće relacije
jednako važne kao i dijelovi zasebnih informacija koje su
povezane.
• Da bi se razvilo, s učenicima je nužno raspravljati, povezivati
matematičke sadržaje s njihovim iskustvom izvan škole, ukazivati
na primjenu matematike u životu, dopustiti učenicima da
smišljaju svoje jedinstvene strategije dolaženja do rješenja,
poticati logičko mišljenje i zaključivanje, prikazivati različite
načine reprezentacije matematičkih sadržaja.
TRADICIONALNA NASTAVA MATEMATIKE
 učitelj poučava i demonstrira, učenik sluša i gleda te ponavlja
 naglasak na sadržajima učenja
 proceduralna umijeća razvijena vježbanjem postupaka
 brojni zadaci slabo povezani sa životnim kontekstom
 učenik memorira naučeno (deklarativno) i automatizira demonstrirane
procedure u stalnom vježbanju i ponavljanju (proceduralno)
 deduktivni pristup
 rezultat i brzina su glavna mjerila uspješnosti
 dominantna uloga učitelja, frontalni rad, stroga priprema, ovisnost o
programu i udžbeniku, malo improvizacija
 matematika se doživljava kao skup tema, formula, definicija i pravila
koje treba upamtiti i primjenjivat u matematičkim zadacima
 sveprisutna u našim školama i usklađena s načinom ispitivanja
SUVREMENA NASTAVA MATEMATIKE
 konstruktivizam: znanje se ne prenosi, nego se izgrađuje kroz
učenikovu interakciju s okolinom
 učenici matematiku istražuju, otkrivaju, osmišljavaju, povezuju,
primjenjuju
 razvijanje konceptualnog znanja i razumijevanja (ne samo
razumjeti i znati kako, nego znati i zašto tako, može li i drukčije,
zašto je to važno, gdje se primjenjuje, kako je povezano s drugim
dijelovima matematike…)
 induktivni pristup
 krajnji cilj: uspješna primjena matematike u životnim problemima
 učitelj je podrška, asistent i moderator; snalaženje i improviziranje
 timski rad, istraživačka problemska nastava, manji broj realističnih
problema, raznolike strategije, diskusija, metakognicija
MATEMATIČKE KOMPETENCIJE?
1. USPJEŠNO RJEŠAVANJE PROBLEMA
2. RAZMIŠLJANJE, ZAKLJUČIVANJE I DOKAZIVANJE
3. KOMUNIKACIJA (PISANA I VERBALNA)
4. REPREZENTACIJA
5. (MEĐU)POVEZIVANJE MATEMATIČKIH
SPOZNAJA I POVEZIVANJE SA ŽIVOTOM
STANJE U NAŠIM ŠKOLAMA
• Matematika se uči rascjepkana u nastavne teme koje se slabo
povezuju, a još se manje povezuju s primjenom u životu.
• Nakon što se u obradi novog sadržaja daju definicije i pravila za rad,
uvježbavaju se brojni zadaci u kojima se taj sadržaj primjenjuje.
• Obično se radi po modelu koji je demonstriran na satu jer se
podrazumijeva da je taj način rada najbolji i najjednostavniji.
• Mnogim je učenicima (i učiteljima!) pojam učenja matematike
sinonim za rješavanje zadataka bez jasne vizije o svrsi tih zadataka.
• Mnogo više se razvijaju proceduralna nego konceptualna znanja.
• Ovakav način poučavanja i učenja razvija deklarativna i proceduralna
umijeća koja učenici znaju primijeniti na ograničenom uzorku
standardiziranih zadataka, ali ih ne mogu uklopiti u širi kontekst.
• U situacijama sumativnog ispitivanja (matura, PISA, prijemni,
inicijalni) nastaju problemi jer učenici ne uspijevaju povezati brojne
činjenice, procedure, formule koje su se nagomilale.
PRIMJER:
POSTOCI
7. razred
POKUŠAJTE PROMISLITI…
• cilj učenja ove nastavne teme
• primjere korištenja postotaka u
svakodnevnom životu
BEZ NASLOVA… DOĆI ĆEMO DO NJEGA
• PRIPREMA: pronaći primjere u kojima se
pojavljuju postoci (novine, TV, trgovina, banka) i
donijeti ih u školu
• MOTIVACIJA… primjeri iz života
• kruh poskupljuje 10%
• na birališta izašlo 53% glasača
• broj maslina u županiji porastao 35%
• kamata na kredit 6%
• razgovor o primjerima koje su našli
• Što mislite, kada je zgodno koristiti postotke?
PRIMJER
• Našu školu pohađa 740 učenika. Proveli smo
anketu s pitanjem bave li se nekim sportom i
dobili smo sljedeće podatke. Njih 518 bavi se
nekim sportom, od toga njih 222 nogometom, 74
borilačkim sportovima, 37 gimnastikom, a 111
plesom.
• Susjednu školu pohađa 540 učenika. I oni su
proveli istu anketu i doznali da se 432 učenika
bavi sportom. Njih 216 trenira nogomet, njih 27
borilačke sportove, 27 gimnastiku i 54 ples.
• ŠTO NAM GOVORE OVI PODACI?
CJELINA
DIO KOJI SE BAVI
SPORTOM
NOGOMET
BORILAČKI
GIMNASTIKA
PLES
740
518
222
74
37
111
540
432
216
27
27
54
• U kojoj školi je bolji odziv učenika sportskim
aktivnostima? Zašto?
• U nogometu?
• U ostalim sportovima iz ankete?
• Da bismo brojeve iz priče mogli uspoređivati,
svodimo ih na postotke!
• Cjelina je uvijek 100, a postotak je određeni dio
te cjeline (zašto baš 100?)
CJELINA
DIO KOJI SE
BAVI SPORTOM
CJELINA
DIO KOJI SE
BAVI SPORTOM
740
518
540
432
100
?
100
?
740:518=100:postotak ⇒postotak (p) =70%
540:432=100:postotak⇒postotak (p) = 80%
• KADA JE ZGODNIJE GOVORITI BROJEVIMA, A
KADA U POSTOCIMA?
NASLOV: POSTOCI
• POSTOTAK je dio neke cjeline. Odlučili smo da ta
cjelina bude 100 (s njim nam je jednostavno
računati ☺). Postotak nam omogućava
usporedbe određenih podataka. Označavamo ga
kao p
• Računamo ga iz omjera
cjelina : dio = 100 : p
Ili… ako ti je lakše
dio : cjelina = p : 100
• Vratimo se na priču i izrazimo podatke u
postocima.
CJELINA
DIO KOJI SE
BAVI SPORTOM
NOGOMET
BORILAČKI
GIMNASTIKA
PLES
740
518
70%
222
30%
74
10%
37
5%
111
15%
540
432
80%
216
40%
27
5%
27
5%
54
10%
• Sada podatke možemo uspoređivati! Više se
djece bavi sportom u drugoj školi. Njih čak
80%... Zašto je to dobro? (korelacija)
• Našu školu pohađa 60% učenica i 40% učenika.
Koliko je to dječaka, a koliko djevojčica?
Djevojčice : 740 = 60 : 100 ⇒ 444 djevojčice
NAUČIMO SE SLUŽITI POSTOCIMA (procedura)
• Izračunajmo 10% od zadanog broja:
10% od 100 jest 10
10% od 40 jest 4
10% od 68 jest 6,8
10% od 524 jest 52,4
10% od 17,3 jest 1,73
10% od _____ jest _______ (učenici sami odabiru primjere)
To je barem lako, broju pomakneš decimalni zarez za jedno mjesto ulijevo!
• Izračunajmo 1% od zadanog broja:
1% od 100 jest 1
1% od 40 jest 0,4
1% od 250 jest 2,5
…
1% od _____ jest _______ (učenici sami odabiru primjere)
To je barem lako, broju pomakneš decimalni zarez za dva mjesto ulijevo!
ŠTO SMO NAUČILI, ŠTO SMO RAZVILI KOD UČENIKA?
• Prvo smo vidjeli da se postoci koriste u svakodnevnom životu
(komunikacija, povezivanje).
• Kroz problemski pristup smo vidjeli gdje ih mi trebamo i što
nam oni govore (povezivanje; komunikacija; rješavanje
problema).
• Naučili smo kako izračunati postotak i zašto baš tako
(procedura; zaključivanje).
• Naučili smo iz postotka dobiti glavni broj (procedura;
zaključivanje).
• Naučili smo matematičke termine i oznake (reprezentacija).
• Naučili smo “napamet” računati 10% i 1% (možda i 50%, 20%)
(procedura; povezivanje) .
I NA KRAJU…
• Postoji snažna veza između učiteljevih aktivnosti, kompetencija koje
se razvijaju i izlaznih rezultata učenika.
• Izuzetno je važno u svakom trenutku razmišljati o tome koje ciljeve
želimo postići i koje kompetencije učenika želimo razviti.
• Mijenjati sebe u skladu s izmijenjenim ciljevima obrazovanja.
• Konceptualno znanje ne može se razviti samo rješavanjem zadataka.
• Učenici koji memoriraju činjenice i procedure bez konceptualnog
razumijevanja često nisu sigurni kada i kako upotrijebiti ono što
znaju i njihovo znanje je vrlo krhko.
• Mnogo i često s učenicima razgovarati, raspravljati, argumentirati i
dokazivati te im pomoći da pronađu smisao u matematici kao
upotrebljivoj, praktičnoj i smislenoj znanosti.
• Svim učenicima ponuditi najbolje matematičko obrazovanje te ih
učiniti konkurentnima na globalnom tržištu 21. stoljeća.
Hvala na pažnji