Transcript 6. Как решали квадратные уравнения в древности

ТВОРЧЕСКАЯ РАБОТА ПО
ТЕМЕ «НЕСТАНДАРТНЫЕ
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Выполнил: ученик 8 класса Б
МБОУ «Лицей №1»
г. Тулы
Сеничев Роман
Учитель: Е. А. Смирнова
КАК РЕШАЛИ КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ В ДРЕВНОСТИ
ОНИ БЫЛИ ПЕРВЫМИ
 Впервые
квадратные уравнения смогли
решить древние египтяне.
 В одном из папирусов содержится
задача: «Найти стороны поля, имеющего
форму прямоугольника, если его
3
4
площадь 12, а длины равны ширине».
РЕШЕНИЕ ДРЕВНЕЕГИПЕТСКОЙ ЗАДАЧИ

Пусть длина поля равна x, тогда его ширина 3
3 2
𝑥, а площадь - 𝑥 . И получаем квадратное
4
уравнение
3 2
𝑥
4
4
= 12. В папирусе описано его
3
.
4
решение. Надо разделить 12 на Получим,
что 𝑥 2 = 16. «Длина поля равна 4», говорится в папирусе.
ЗАМЕЧАНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
2
решая уравнение 𝑥 = 16,
указывают в ответе два числа: 4 и -4.
Однако в данной задаче правильным
ответом будет являться только 𝑥 = 4, т. к.
длина поля – положительная величина.
 Сегодня,
СПОСОБ АЛ - ХОРЕЗМИ

Иной способ решения квадратных уравнений
описал ал – Хорезми. Он основан на методе
выделения полного квадрата. Например, в
случае уравнения 𝑥 2 + 10𝑥 = 39 надо найти
число, прибавив которое к левой части,
получим полный квадрат. Это число 25.
𝑥
2
+ 10𝑥 + 25 = 39 + 25,
2
 𝑥+5
= 64,
 𝑥 + 5 = 8,
 𝑥 = 3.
 Ал – Хорезми работал с положительными
числами, поэтому указал только один
корень. Второй корень найдем из
уравнения 𝑥 + 5 = −8. Он равен −13.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ 𝒙𝟐 +𝟏𝟎𝒙 = 𝟑𝟗
2
 Строим квадрат площадью 𝑥 . На его
сторонах достраиваем четыре равных
прямоугольника общей площадью 10𝑥.
5
Площадь каждого прямоугольника равна 𝑥,
2
5
.
2
а стороны - 𝑥 и Теперь дополняем
полученную фигуру до квадрата четырьмя
равными квадратами. Площадь каждого из
них будет равна
4⋅
5 2
2
= 25.
5 2
,
2
а площадь всех четырех
𝟓
𝟐
𝟐
𝟓
𝒙
𝟐
𝟓
𝟐
𝟐
𝟓
𝒙
𝟐
𝟓
𝟐
𝒙𝟐
𝟓
𝒙
𝟐
𝟓
𝒙
𝟐
𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
 Итак,
площадь составленного из
девяти фигур квадрата равна
2
𝑥 + 5 = 39 + 25.
 Сторона этого квадрата 𝑥 + 5 = 8,
откуда 𝑥 = 3.
 И еще есть второй корень 𝑥 = −13.
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
СПОСОБ I
𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0
а = 1, 𝑏 = 4, 𝐶 = −5.
𝐷1 = 𝑘 2 − 𝑎𝑐,
𝐷1 = 22 + 1 ⋅ 5 = 9,
𝐷1 > 0; уравнение имеет два различных
действительных корня.
−𝑘± 𝐷1
𝑥=
,
𝑎
−2± 9
𝑥=
,
1
𝑥1 = −5; 𝑥2 = 1.
Ответ: 𝑥1 = −5; 𝑥2 = 1.
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
СПОСОБ II

Строим квадрат площадью 𝑥 2 . На его
сторонах достраиваем четыре равных
прямоугольника общей площадью 4𝑥.
Площадь каждого прямоугольника равна 𝑥, а
стороны - 𝑥 и 1 . Теперь дополняем
полученную фигуру до квадрата четырьмя
равными квадратами. Площадь каждого из
них будет равна 12 , а площадь всех четырех
4 ⋅ 12 = 4.
𝟏𝟐
𝒙
𝟏𝟐
𝒙
𝒙𝟐
𝒙
𝒙
𝟏𝟐
𝟏𝟐
 Итак,
площадь составленного из
девяти фигур квадрата равна
2
𝑥 + 2 = 9.
 Сторона этого квадрата 𝑥 + 2 = 3,
откуда 𝑥 = 1.
 Еще есть второй корень 𝑥 = −5.
ЗАДАЧА НА ДОМ
ДРЕВНЕИНДИЙСКИЙ ВАРИАНТ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

Решите с помощью квадратного уравнения
древнеиндийскую задачу о стае обезьян.
Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая.
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в стае?
СОВРЕМЕННЫЙ ВАРИАНТ УСЛОВИЯ
ЗАДАЧИ
 Стая обезьян забавляется. Восьмая
часть их в квадрате резвится в лесу.
Остальные двенадцать кричат на
вершине холма. Скажи мне, сколько
всего обезьян?
РЕШЕНИЕ
2
1
𝑥
8
Пусть 𝑥 всего обезьян в стае. Тогда
их
было на поляне. Известно, что еще 12
обезьян было на лианах. 𝑥 > 0 – по смыслу
задачи.
 Составим и решим уравнение.

2
1
𝑥 + 12 = 𝑥,
8
1 2
𝑥 − 𝑥 + 12 = 0,
64
2
𝑥 − 64𝑥 + 768 = 0,
а = 1, 𝑏 = −64, 𝐶 = 768.
𝐷1 = 𝑘 2 − 𝑎𝑐,
𝐷1 = −32 2 − 1 ⋅ 768 = 256,
𝐷1 > 0; уравнение имеет два различных действительных
корня.
𝑥=
−𝑘±
𝑎
𝑥=
32± 256
,
1
𝐷1
,
𝑥1 = 16; 𝑥2 = 48.
16 > 0 – верно; 48 > 0 – верно.
Ответ: 16 обезьян; 48 обезьян.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ