Transcript رياضيات منفصلة

‫املادة العلمية للوسيط التعليمي‬
‫مقرر رياضيات منفصلة (‪)1280‬‬
‫املجموعات والعمليات املعرفة عليها‬
‫الوحدة الثالثة‬
‫إعداد‪ :‬د‪ .‬حازم إسماعيل الشيخ أحمد‬
‫منطقة خان يونس التعليمية‬
‫‪2010‬م‬
‫األهداف السلوكية‪:‬‬
‫‪ ‬ان تكون قادرا على وصف املجموعة‪.‬‬
‫‪ ‬ان تحدد العالقة بين العنصر و املجموعة‪.‬‬
‫‪ ‬ان تكتب عناصر املجموعة بالطرق الرئيسية ‪.‬‬
‫‪ ‬ان تصنف انواع املجموعات تبعا لعدد عناصرها‪.‬‬
‫‪ ‬ان تعرف تساوي مجموعتين‪.‬‬
‫‪ ‬ان تعرف مجموعة القوة ملجموعة محدد‪.‬‬
‫‪ ‬ان تعدد العمليات املطبقة على املجموعات‪.‬‬
‫‪ .1‬املجموعات‬
‫‪ 1.1‬مقدمة‪:‬‬
‫‪ ‬كثي رما م ررا نتع ررر لس ررت دام لم ررة " املجموع ررة " ف ري‬
‫مواقر ررف يومير ررة عر رردة‪ ,‬فعلر ررى ااار ررات التلفر رراز نسر ررم‬
‫بمجموع ررة ال رردوا عرمي ررة و الس ررالمية و ف رري ا امع ررة‬
‫نقر ر ررأ عر ر ر مجموع ر ررة املق ر ررررات التاسيس ر ررية لل ر ر رمام‬
‫ال اديمي ررة و ف رري املكتب ررات العام ررة نبحر ر عر ر كتر راب‬
‫الرياضر ر ر ر رريات املنفص ر ر ر ر ررلة ض ر ر ر ر ررم مجموع ر ر ر ر ررة كت ر ر ر ر ررب‬
‫الرياضيات‬
‫‪‬‬
‫ان ه ررصا املص ررط ا عل ررى س ررعة ان ش ررار و اس ررت دام‬
‫يلع ر ررب دورا اساس ر رريا و مضم ر ررا ف ر رري علر ر ر الرياض ر رريات ‪,‬‬
‫فمعظر ر البرر ر الرياض ررية و النم ررا العلمي ررة تعتم ررد‬
‫على املجموعة لبنة اساسية في تكوينها‪.‬‬
‫‪ 1.2‬اساسيات في نظرية املجموعات‬
‫‪‬‬
‫س ر رروف نب ر رردأ ه ر ررص امل ر ررادة العلمي ر ررة ع ر ررر ع ر ررام‬
‫للمف رراهي و املص ررط يات الساس ررية املس ررت دمة‬
‫في نظرية املجموعات‪.‬‬
‫‪‬‬
‫املجموعر ررة ‪ :‬تعر ررد املجموعر ررة مفضومر ررا رئيسر رريا فر رري‬
‫نظري ر ررة املجموع ر ررات املوس ر ررومة باس ر ررمضا حي ر ر ل‬
‫يوجررد لضررا تعريررف محرردد ‪ ,‬كمررا أنر لرريس لعنص رر‬
‫املجموعررة تعريررف فاملجموعررة ورري مفضرروم ريا ر ي‬
‫ينتمر ر ر ر ر ر ر رري إ ر ر ر ر ر ر ر ررى الالمعرفر ر ر ر ر ر ر ررات ( الغير ر ر ر ر ر ر ررم قابر ر ر ر ر ر ر ررل‬
‫للتعريررف (كمررا هررو مفضرروم النقطررة و املسررتقي‬
‫فر ر ر ر رري الضندسر ر ر ر ررة‪ .‬لك ر ر ر ر ر يمك ر ر ر ر ر تقر ر ر ر رردي وصر ر ر ر ررف‬
‫خصائص لك املفضوم‪.‬‬
‫‪ 1.2.1‬وصف املجموعة‪:‬‬
‫املجموعة ‪:‬وي تجم م الاياء املتمايزة و املحددة‪.‬‬
‫مثاا ‪:1‬‬
‫‪ ‬مجموعة الطالب في القاعة الو ى‬
‫‪ ‬مجموعة الحرف اله ائية العرمية‪.‬‬
‫‪ ‬املجموعة‪ a,b ,c‬تشتمل على تجم الاياء‬
‫‪a, b , c‬‬
‫‪‬‬
‫مثر ر ررل هر ر ررص الار ر ررياء ال ر ر رري تحتو هر ر ررا املجموعر ر ررات‬
‫سوف تسم بالعناصر او باعضاء املجموعة ‪ ,‬في‬
‫غالررب الحيرران تعطررم مسررميات معينررة ملثررل تلررك‬
‫املجموع ررات او ق ررد اع ررم عنه ررا ب ررا يروف الالتيني ررة‬
‫الكبيرمة … ‪ .A, B, C,‬وفري املقابرل يرمرز لعناصرر‬
‫املجموعرة برالرموز الالتينيرة الصرغيمة ‪A, B,‬‬
‫… ‪. C,‬‬
‫مثاا ‪: 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫املجموعر ر ر ر ر ر‪‬رة‪ S  1, 2,3‬تعرر ر ر ر ر رري ان املجموعر ر ر ر ر ررة‬
‫تتكون م تجم م العناصر ‪.1 , 2 , 3‬‬
‫مجموعررة ايررام السرربوع تتكررون م ر سرربعة عناص رر‬
‫حي ل عنصر هو يوم م ايام السبوع‪.‬‬
‫مجموعة مقاعد القاعات الدراسية‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مجموعة طالب جامعة الزهر غزة‪.‬‬
‫مجموعة حروف الكلمة ‪.STATISTICS‬‬
‫مجموعة العداد ال ي مربعاتها تساوي ‪. 2‬‬
‫‪ 1.3‬العالقة بين العنصر و املجموعة‬
‫‪‬نسرت دم التعبيرم ‪ a  S‬للدللرة علرى ان العنصرر‪a‬‬
‫هر ررو احر ررد عناصر ررر املجموع ررة‪ . S‬و تقر ررا ‪a‬‬
‫للمجموعة ‪S‬‬
‫تنتمر رري‬
‫‪ .‬في املقابل نست دم التعبيم ‪a  S‬‬
‫‪a‬‬
‫للدللررة علررى ان العنصررر‬
‫املجموعة ‪. S‬‬
‫و تقرا ‪S‬ل تنتمي للمجموعة‬
‫لرريس م ر عناصررر‬
‫‪a‬‬
‫مالحظات‪:‬‬
‫• ل يجوز التكرار في عناصر املجموعات حي‬
‫‪a, a,b ,c ,c  a,b ,c‬‬
‫• ل نهت بتمتيب عناصر املجموعات حي‬
‫‪a,b ,c  b , a,c‬‬
‫‪ 1.4‬طرق كتابة عناصر املجموعات‬
‫‪ ‬س ر رررد جمي ر ر عناص ر ررر املجموع ر ررة او ج ر ررزء منه ر ررا م ر ر‬
‫اس بداا العناصر املحصوفة بالنقاط الثالثة ‪...‬‬
‫‪A  1,2,3,4,5,6,7,8,9‬‬
‫‪B  2,4,6,...‬‬
‫‪ ‬الوصف اللفظي لعناصر املجموعة‬
‫ مجموعة ايام السبوع‬‫ مجموعة العداد الزوجية ال ي تقل ع ‪10‬‬‫‪ -‬مجموعة العداد الطبيعية ال ي تقل ع العدد ‪8‬‬
‫‪‬‬
‫ص ررياغة املجموع ررة بالعتم رراد عل ررى الص ررفة املمير رزة‬
‫لعناصر املجموعة‪.‬‬
‫} ‪x‬عردد زويري موجرب يقرل عر العردد ‪A = { x:‬‬
‫‪.8‬‬
‫} ‪.B = { x : x 2 – 1 = 0‬‬
‫‪‬‬
‫تعريف ‪:1.1‬‬
‫ املجموعررة ا خاليررة‪ :‬ورري تلررك املجموعررة ال رري ت لرو مر‬‫العناصر‪ ,‬و يرمز لضا بالرموز ‪. or   :‬‬
‫ املجموع ررة املن هي ررة‪ :‬و رري تل ررك املجموع ررة ال رري تحت رروي‬‫على عدد منت م العناصر‪.‬‬
‫ املجموعر ر ررة غير ر ررم املن هير ر ررة‪ :‬ور ر رري تلر ر ررك املجموعر ر ررة ال ر ر ري‬‫تحتوي على عدد غيم منت م العناصر‪.‬‬
‫مثاا ‪:3‬‬
‫مجموعة األاضر ال ي تزيد اعداد ايامضا ع ‪ 35‬يومرا‪,‬‬
‫تعت ر ر ررم املجموعر ر ررة السر ر ررابقة مجموعر ر ررة خالير ر ررة لن ر ر ر ال‬
‫يوجد أي اضر بهصا العدد م اليام‪.‬‬
‫‪ , A  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9‬تعت ررم املجموع ررة ‪A‬‬‫من هيررة لنهررا تحترروي علررى ‪ 9‬عناصررر و هررو عرردد منت ر‬
‫م العناصر‪.‬‬
‫‪ , B  1, 2,3,...‬املجموعر ر ر ررة ‪ B‬ور ر ر رري مث ر ر ر رراا‬
‫ملجموعررة غيررم من هيررة لنهررا تمتررد عناصرررها ا رى مررال‬
‫نهاي ‪.‬‬
‫• ي ب ررادر إ ررى ال ررصه ف رري ع ر ا ي ررالت الس ر اا ع ر‬
‫إمكاني ر ررة أن تحت ر رروي املجموع ر ررات عل ر ررى مجموع ر ررات‬
‫اخرى كعناصر (انظر ا ى املثاا ‪ 4‬التا ي)‪.‬‬
‫مثاا ‪:4‬‬
‫ املجموعة ‪a,b ,c , d‬‬‫فقط‪, b ,‬‬
‫عنصري ‪c ‬‬
‫هما ‪d a:‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫تحتوي على‬
‫و ‪.‬‬
‫تحتوي على‬
‫املجموعة‪a,b ,c, a,b ,c‬‬
‫‪b a‬و ‪ c‬و ‪.‬‬
‫ووي‪ a,:b‬و‬
‫اربعة عناصر‪,c ‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫املجموعة‪ a, a , a :‬تحت ر ر رروي عل ر ر ررى ثالث ر ر ررة‬
‫عناصر و وي ‪a :‬و‪ a ‬و ‪.a‬‬
‫املجموعة‪  :‬تحترروي علررى عنصررر واحررد فقررط‬
‫و ه ر ر‪‬رو ‪‬‬
‫املجموع ر ررة ا خالي ر ررة ‪ ,‬و يمك ر ر كتاب ه ر ررا‬
‫على الصور‪‬ة‪‬‬
‫ املجموعة ‪   ,  :‬تحتر ر ر رروي علر ر ر ررى عنصر ر ر ررري‬‫والخر ر ررر‬
‫فق ر ررط اح ر ررداهما املجموع ر ررة‪‬ا ‪‬خالير ر ررة‬
‫املجموعة ‪ .‬م ر ر ر مالحظر ر ررة ان ر ر ر يمك ر ر ر كتابر ر ررة هر ر ررص‬
‫‪ ‬‬
‫ر‬
‫‪.‬‬
‫ة‬
‫‪‬‬
‫املجموعة على‪,‬‬
‫الصو ‪‬‬
‫‪ ‬توضيح ‪:‬‬
‫يمكر ر ر ر النظ ر ر ررر ا ر ر ررى املجموع‪‬ر ر ر‪‬رة‪a,a‬‬
‫عل ر ر ررى انه ر ر ررا‬
‫ردهما العنصر ر ررر‬
‫صر ر ررندوق يحتر ر رروي علر ر ررى عنصر ر ررري احر ر ر ‪a‬‬
‫و العنصر الخر هو صرندوق ثراني يحتروي علرى‪a‬العنصرر‬
‫‪.‬‬
‫تدريب ‪:1‬‬
‫ا ا انر ‪,S2 = {{ A,B}} ,S1 = { A,B } :‬‬
‫}}}‪S3 = {{{ A,B‬‬
‫بين‪:‬‬
‫‪ .1‬عالقة العنصر ‪ A‬باملجموعات الثالثة‬
‫‪ .2‬عالقة املجموعات الثالث عضضا ببع‬
‫‪ : 1.5‬تساوي مجموعتين‬
‫‪ ‬ت سرراوى املجمرروعتين ا ا و فقررط ا ا احتويتررا علررى‬
‫نفس العناصر‪.‬‬
‫اع م ع لك بالصورة التالية ‪:‬‬
‫‪A  B  x : x  A  x  B‬‬
‫مثاا ‪:5‬‬
‫املجموعتان التاليتان م ساويتان‪:‬‬
‫‪ = P‬مجموعرة العرداد الزوجيرة املوجبرة ال ري‬
‫تقل ع او تساوي العدد ‪.10‬‬
‫‪Q  x : x  y  z ; y 1,3,5; z  1,3,5‬‬
‫املجموعتان م ساويتان لن عناصر ل منهما وي‬
‫‪. 2 , 4 , 6 , 8 , 10‬‬
‫‪ 1.6‬املجموعات ا زئية‪:‬‬
‫‪‬‬
‫املجموعرة ‪ A‬مجموعررة جزئيرة مر املجموعررة ‪B‬‬
‫ا ا و فقررط ا ا ررل عنصررر مر املجموعررة ‪ A‬هررو‬
‫ايضا عنصر م عناصر املجموعة ‪.B‬‬
‫يمك تمثيل هص العالقة على الصورة ‪:‬‬
‫‪A B‬‬
‫مثاا ‪:6‬‬
‫املجموعة ‪ a,b‬وي مجموعة جزئية مر املجموعرة‬
‫‪ a, x ,b ,c , g ‬و لكنهررا ليسر مجموعررة جزئيررة مر‬
‫املجموعة ‪.a, c , d , g ‬‬
‫‪B  a,b ,c , a,b ,c ‬‬
‫ا ا ان ‪,A  a,b ,c‬‬
‫فان ‪ A  B :‬و كصلك ‪. A  B‬‬
‫مالحظة‪:‬‬
‫مر التعريرف السرابال يالحر ان ‪ : P‬لي مجموعر‬
‫فان ‪. P  P :‬‬
‫مر ر ر التعري ر ررف الس ر ررابال للمجموع ر ررات ا زئي ر ررة يمكر ر ر‬
‫اع ر ر ررادة ص ر ر ررياغة تعري ر ر ررف تس ر ر رراوي املجموع ر ر ررات عل ر ر ررى‬
‫الصورة التالية‪ :‬ت ساوى‬
‫اا و‬
‫املجموعتين‪P‬‬
‫‪,Q‬‬
‫‪.‬‬
‫فقط ا ا‪ P‬ان ‪P  Q : Q‬‬
‫‪ 1.7‬املجموعات ا زئية الفعلية‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫يقاا ان املجموعة ‪ A‬مجموعة جزئية فعلية مر‬
‫‪ B‬ا ا و فق ررط ا ا ررل عنص ررر مر ر‬
‫املجموع ررة‬
‫‪ A‬ه ررو ايض ررا عنص ررر مر ر عناص ررر‬
‫املجموع ررة‬
‫املجموعة ‪ , B‬و ان هناك عنصر واحرد علرى القرل‬
‫م ر عناص ررر املجموع ررة ‪ B‬ل ينتم رري ا ررى املجموع ررة‬
‫‪.A‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪.‬‬
‫سوف تمثل هص العالقة على الصورة‪:‬‬
‫مثاا ‪:7‬‬
‫إ ا انر ‪X} :‬عردد زويري ‪ A = { X :‬و }‪X‬عردد‬
‫صييح ‪ B = { X :‬فان ‪:‬‬
‫املجموعررة ‪ A‬مجموعررة جزئي ررة فعليررة م ر املجموع ررة‬
‫‪B‬‬
‫و لررك لن ررل عرردد زويرري هررو عرردد صررييح‪ ,‬والعرردد ‪5‬‬
‫ينتمي للمجموعة ‪ B‬و ل ينتمي للمجموعة ‪.A‬‬
‫‪ 1.8‬مجموعات خاصة‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫كثي ر رما م ر ررا نس ر ررت دم ع ر ر املجموع ر ررات املعروف ر ررة‬
‫وا خاصة في الرياضيات‪ ,‬سوف نصكر منها‪:‬‬
‫مجموعة العداد الطبيعية ‪ N‬حي ‪:‬‬
‫‪N  1, 2, 3,...‬‬
‫مجموعة األعداد الصييحة ‪ Z‬حي ‪:‬‬
‫‪Z  ..., 2, 1,0,1,2,3,...‬‬
‫‪ 1.8‬مجموعات خاصة‪:‬‬
‫‪‬‬
‫مجموعة األعداد النسبية ‪ Q‬حي ‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q  x : x  ; a , b  Z ; b  0 ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬مجموعة األعداد غيم النسبية ‪: Q‬‬
‫و ورري مجموعررة األعررداد ال رري ل يمك ر صررياغ ها عل رى‬
‫صورة األعداد النسبية‪.‬‬
‫‪x  2, 3,0.35‬‬
‫مثاا ‪:‬‬
‫مجموعة األعداد ا يقيقية ‪.R‬‬
‫مجموعررة األعررداد ا يقيقيررة تسرراوي مجموعررة األعررداد‬
‫النسبية و غيم النسبية‪.‬‬
‫مجموعة األعداد ا يقيقية املوجبة ‪ R+‬حي ‪:‬‬
‫‪R  x  R : x  0‬‬
‫‪‬‬
: ‫مالحظة‬

N  Z Q  R
: 8 ‫مثاا‬
:‫اكتب عناصر ل م املجموعات التالية‬

A  x  N : x  5
B  x  Z : x 2  25
C  x Q :10x 2  3x  1  0




D  x  R : x 3  1  0
E  x  R  : 4x 2  4x  1  0
‫‪‬‬
‫ا يل‪:‬‬
‫‪A  1, 2, 3, 4‬‬
‫‪B  x  Z : x 2  25  x  Z : 5  x  5  5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4,5‬‬
‫‪ 1 1‬‬
‫‪C  x Q :  5x  1 2x  1  0   , ‬‬
‫‪5 2 ‬‬
‫‪D  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  1‬‬
‫حي ر ر ر قمنر ر ررا بحر ر ررل املعادلر ر ررة التمبيعير ر ررة باسر ر ررت دام‬
‫القانون العام و م ث انتقاء ا صر املوجب منها‪.‬‬
‫• تدريب ‪3‬‬
‫إ ا ان ر ‪B  1,2,3, A  1, 2,3‬ف ررني م ر العب ررارات‬
‫التالية صييح ‪.‬‬
‫‪5  2  A‬‬
‫‪4  2  B‬‬
‫‪3 B  A‬‬
‫‪2A  B‬‬
‫‪1 A  B‬‬
‫‪‬‬
‫مثاا ‪:9‬‬
‫‪A  1, 2,3‬‬
‫إ ا ان‬
‫‪ .1‬اوجد ل املجموعات ا زئية م املجموعة ‪.A‬‬
‫‪ .2‬اوجر ر ر ررد ر ر ر ررل املجموعر ر ر ررات ا زئير ر ر ررة الفعلير ر ر ررة م ر ر ر ر‬
‫املجموعة ‪.A‬‬
‫ا يل ‪:‬‬
‫املجموعات ا زئية م املجموعة ‪:A‬‬
‫‪,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3‬‬
‫املجموعات ا زئية الفعلية م املجموعة ‪:A‬‬
‫‪1,2,3,1, 2,1,3, 2,3‬‬
‫مالحظة ‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫تسررم املجموعررة ال رري تحترروي علررى عنصررر واحررد‬
‫فقط باملجموعة األحادية‪.‬‬
‫املثاا السابال يحتوي على ‪ 3‬مجموعات أحاديرة‬
‫و وي ‪. 1 ,2,3‬‬
‫تعريف ‪: 1.2‬‬
‫مجموعة القوة ملجموعة ما‬
‫مجموعر ر ررة القر ر رروة للمجموعر ر ررة ‪ X‬ور ر رري مجموعر ر ررة ر ر ررل‬
‫املجموعات ا زئية م املجموعة ‪. X‬‬
‫يرمررز ملجموعررة القرروة ا خاصررة باملجموعررة‬
‫الصورة ‪. P)X ) :‬‬
‫‪ X‬علررى‬
‫‪‬مالحظة ‪:‬‬
‫يمك التعبيم ع تلك املجموعة بالصورة التالية ‪:‬‬
‫‪P  X   A : A  X ‬‬
‫مثاا ‪:10‬‬
‫‪ ‬اوجد مجموعة القوة للمجموعة‪A  a,b ,c ‬‬
‫ا يل ‪:‬‬
‫‪P  X   , a, b, c, a,b, a,c, b ,c, a,b ,c‬‬
‫مالحظة ‪:‬‬
‫إ ا ر رران ع ر رردد عناص ر ررر املجموع ر ررة ‪ A‬اس ر رراوي ‪ N‬م ر ر‬
‫العناص ر ر ررر ف ر ر رران ع ر ر رردد املجموع ر ر ررات ا زئي ر ر ررة املمك ر ر ر‬
‫ا يصوا عليها اساوي ‪. 2N‬‬
‫مثاا ‪: 11‬‬
‫اثب صية العبارة التالية ‪:‬‬
‫‪  P Y ‬‬
‫‪X Y  P  X‬‬
: ‫ا يل‬
‫ اثب أن‬:‫أول‬
X  P Y   X Y
X Y  P  X   P Y
let

A P  X   A  X
X Y  A Y  A  P Y
X Y  P  X   P Y


.‫و بالتا ي يتحقال املطلوب‬
‫مثاا ‪: 12‬‬
‫اثب ان ‪A    A  ‬‬
‫ا يل‪A   :‬‬
‫ا ن لي عنصر ‪ X‬تكون العبارة‪x  A  x ‬‬
‫صييحة منطقيا‪.‬‬
‫و حي ان العبارة ‪ x  A ‬عبارة خاطئة‬
‫‪ x ‬تك ر ررون عب ر ررارة خاطئ ر ررة منطقي ر ررا و ل ر ررك‬
‫لكي نحاف على صية ا ملة الشرطية السابقة ‪.‬‬
‫‪ A  ‬عبارة صييحة و بالتا ي يكو ان‬
‫‪x , x  A‬‬
3 ‫تدريب‬
:‫حدد صية او عدم صية العبارات التالية‬
1  x x  , x , y 
6    
12    
2  x  x  , x , y 
7    
13    
16  a, b   a, b , a, b 
3  1, x ,2  1,2, x 
4  a, b   b , a
8    9   ,    ,  ,  ,
14  a, b   a, b , c , a,b ,c 
17  a, b  a, b , a, b 
10    
5  x  x 
11   
15  a,b   a,b ,c , a,b ,c 
18  a,   a, a, 
19  a,   a, a, 
‫‪ - 2‬ج م املجموعات‬
‫‪‬‬
‫ج م املجموعات‬
‫عر ررد الن هر رراء م ر ر التعريفر ررات الساسر ررية املتعلقر ررة‬
‫باملجموع ر ررة‪ ,‬نص ر ررل ا ر ررى موض ر رروع ج ر ررم املجموع ر ررات‬
‫لن ر ر رردرك م ر ر ر خالل ر ر ر كيفي ر ر ررة تعري ر ر ررف العملي ر ر ررات‬
‫الساس ررية عل ررى املجموع ررات التح رراد و التق رراط و‬
‫فرق املجموعات وصول ا ى مكملة املجموعة‪.‬‬
‫‪ 2.1‬اتحاد مجموعتين‬
‫اتحرراد مجمرروعتين ‪ A , B‬ورري املجموعررة ال رري‬
‫تحترروي علررى جمي ر العناصررر ال رري تنتمرري ا ررى املجموعررة‬
‫‪ A‬او املجموعة ‪ ( B‬او ليهما معا )‪.‬‬
‫يرمز لالتحاد بين املجموعتين ‪ A , B‬على الصورة‪.‬‬
‫‪A B‬‬
‫يمثل التحاد في ااكاا ف على الصورة التالية‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫كما يمكن التعبير عر اتحراد املجمروعتين‬
‫باس ررت دام ادوات ال رررمط املنطقي ررة عل ررى الص ر اورة‬
‫التالية‪:‬‬
‫مثاا ‪:13‬‬
‫‪A  B  x : x  A  x  B ‬‬
‫‪A, B‬‬
‫‪a,b c ,d   a,b ,c ,d ‬‬
‫‪a,b a,c  a,b ,c‬‬
‫‪a,b   a,b‬‬
‫‪a,b a,b  a,b ,a,b‬‬
‫‪ 2.2‬تقاط مجموعتين‬
‫تقراط املجمروعتين ‪ A , B‬وري املجموعرة ال ري تحترويا‬
‫على جمير العناصرر املوجرودة فري لترا املجمروعتين ‪A‬‬
‫و ‪ B‬معا ‪.‬‬
‫يرمز للتقاط بين املجموعتين ‪ A,B‬على الصورة ‪:‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪‬‬
‫يمثل التقاط في ااكاا ف على الصورة التالية‪:‬‬
‫كما يمك التعبيم ع التقاط للمجمروعتين ‪A , B‬‬
‫باسر ر ررت دام ادوات الر ر رررمط املنطقير ر ررة علر ر ررى الصر ر ررورة‬
‫التالية‪:‬‬
‫‪A  B  x : x  A  x  B ‬‬
‫‪a,b a,c  a‬‬
‫‪a,b d ,e  ‬‬
‫‪a,b   ‬‬
‫مثاا ‪:14‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مالحظة ‪:‬‬
‫ا ا ان نات تقاط مجمروعتين اسراوي املجموعرة‬
‫ا خالير ررة ‪ , ‬سر ررمي املجمر رروعتين بر رراملجموعتين‬
‫املنفصلتين‪.‬‬
‫‪a,b d ,e  ‬‬
‫‪P Q‬‬
‫ا ا ميررزت جمي ر عناصررر املجموعررة ‪ P‬بصررفة معينررة و‬
‫ميررزت جمي ر عناصررر املجموعررة ‪ Q‬بصررفة اخرررى فرران‬
‫أي عنصررر مر عناصررر املجموعررة ‪ P U Q‬سرروف‬
‫يمتلك احدى الصفتين على القل‪.‬‬
‫ك ررصلك تحت رروي مجموع ررة التق رراط عل ررى ررل العناص ر ارر‬
‫ال ي تمتلك الصفتين معا‪.‬‬
‫مثاا ‪: 15‬‬
‫مجموعة الدوا السالمية = ‪A‬‬
‫مجموعررة الرردوا العرميررة =‪B‬‬
‫مجموعة الدوا الواقعة على ا خلي العربي = ‪C‬‬
‫اوجد ‪:‬‬
‫‪B C‬‬
‫‪B C ,‬‬
‫‪A B,‬‬
‫ا يل‪:‬‬
‫لن ‪. A  B  A‬‬
‫‪B C B  A‬‬
‫= } الدوا العرمية ‪ ,‬ايران {‬
‫= }السعودية ‪ ,‬قطر ‪ ,‬البحري ‪ ,‬المارات ‪ ,‬عمان {‬
‫‪ 2.3‬خص ر ر ر ررائص عملي ر ر ر رري التح ر ر ر رراد و التق ر ر ر رراط ف ر ر ر رري‬
‫املجموعات‬
‫‪B C‬‬
‫‪ A , B ,C‬مجموعر ررات جزئير ررة م ر ر‬
‫ا ا ان ر ر ر ررل م ر ر‬
‫املجموعة ‪ X‬فان‪:‬‬
‫• ‪ A  B  B  A‬خاصية البداا في التحاد‬
‫• ‪ A  B  B  A‬خاصية البداا في التقاط‬
‫• ‪ A   B C    A  B  C‬خاصررية التجمي ر فرري‬
‫التحاد‪.‬‬
‫‪A   B C    A •B  C‬‬
‫خاصية التجمي في‬
‫‪A   B C    A  B    A C ‬‬
‫التقاط‬
‫خاصر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ر ررية‬
‫•‬
‫التحاد‪A   B C  .‬‬
‫توزي‪A C ‬‬
‫على‪ A  B‬‬
‫التقاط‪  ‬‬
‫•‬
‫خاصية توزي التحاد على التقاط ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫تدريب ‪4‬‬
‫اثب خاصية التجمي في التحاد‬
‫‪A   B C    A  B  C‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مثاا ‪:16‬‬
‫اثب خاصية توزي التقاط على التحاد‬
‫‪A   B C    A  B    A C ‬‬
‫ا يل‪:‬‬
‫• باست دام تعريف التقاط‬
‫‪x  A   B C   x  A  x   B C ‬‬
‫•باست دام تعريف التحاد‬
‫‪ x  A   x  B  x C ‬‬
‫•توزي الرابط املنطقي‬
‫‪ ‬على الرابط ‪‬‬
‫‪  x  A  x  B    x  A  x C ‬‬
: ‫ ي ب‬...‫ا يل‬
‫•تعريف التقاط‬
 x  A  B   x   A C 
‫•تعريف التحاد‬
 x   A  B    A C 
A   B C    A  B    A C 
:17 ‫مثاا‬
.X ‫ م املجموعة‬A , B ‫لي مجموعتين‬
: ‫اثب ان‬
A   A ,
A X  A,
A A  A,
A A  A
: ‫ا يل‬
x  A    x  A  x 
A   A

‫ عبارة خاطئة‬x  ‫لك‬
:‫ا يل‬
A X  A
x A X  x A  x X
A A  A
 x A,
sin ce A  X
:‫ا يل‬
A  X  A
x A A  x A  x A  x A
A  A  A
‫‪‬تا مثاا ‪17‬‬
‫‪A A  A‬‬
‫‪x A A  x A  x A  x A‬‬
‫‪A  A  A‬‬
‫‪2.4‬فرق مجموعتين ‪A  B‬‬
‫‪ ‬فرررق مجمرروعتين ‪ A , B‬وورري املجموعررة ال رري‬
‫تحتوي عناصر املجموعة ‪A‬ال ي تكون غيم موجودة‬
‫في املجموعة ‪.B‬‬
‫يرمز للفرق بين مجموعتين ‪ A , B‬على الصورة ‪.‬‬
‫يمثرل فررق املجمروعتين ‪ A‬بردون عناصرر ‪( A – B , B‬‬
‫) في ااكاا ف على الصورة التالية‪:‬‬
‫كما يمثل فرق املجموعتين ‪ B‬بدون عناصر ‪, A‬‬
‫) ‪ ( B – A‬في ااكاا ف على الصورة التالية‪:‬‬
‫‪‬كمرا يمكر التعبيرم عر الفررق برين املجمروعتين ‪A‬‬
‫‪ , B‬باس ررت دام ادوات ال رررمط املنطقي ررة عل ررى‬
‫الصورة التالية‪:‬‬
‫‪A  B  x  A : x  B ‬‬
‫‪a,b ,c  a  ......‬‬
‫‪a,b ,c a,d   ......‬‬
‫‪a,b ,c d ,e  ......‬‬
‫‪70‬‬
: 18 ‫مثاا‬
‫اكمل الفراغ بما ي ناسب م العملية املطبقة‬
a,b ,c  a  b ,c
a,b ,c  a,d   b ,c
a,b ,c  d ,e  a,b ,c -
5 ‫• تدريب‬
A  a,b ,c , d  , B  c , d ,e , f
 ‫ا ا ان‬
A  B , A   A  B  ‫فاوجد ل م‬
‫‪ 2.5‬مكملة املجموعة‬
‫‪ ‬ا ا ان ر ر ر ر املجموعر ر ر ررة ‪ A‬مجموعر ر ر ررة جزئير ر ر ررة م ر ر ر ر‬
‫املجموعررة ‪ B‬فرران املجموعررة ‪ B – A‬تسررم‬
‫مكملة املجموعة ‪ A‬بالنسبة للمجموعة ‪ B‬حي‬
‫بالرمز‪, A  x  B‬‬
‫لضا‪: x ‬‬
‫يرمز ‪A‬‬
‫‪ A‬‬
‫أي ان يمك ر تمثي ررل مكمل ررة املجموع ررة ‪ A‬بالنس رربة‬
‫للمجموعة ‪ B‬بااكاا ف على الصورة التالية‪:‬‬
‫• مثاا ‪: 19‬‬
‫ا ا انر املجموعررات ‪ A, B‬مجموعررات جزئيررة مر‬
‫املجموعة ‪ U‬فاثب ان ‪:‬‬
:‫• ا يل‬
x A B  x A  x B
 x  A  x U  B
 x  A   x U  x  B 
  x  A  x U   x  B
 x   A U   x  B
 x A  x B
sin ce
 x A  B
A U  A
‫‪‬مثاا ‪:20‬‬
‫‪‬عل ررى اعتب ررار ان املجموع ررة ‪ U‬و رري املجموع ررة ال رري‬
‫تحتوي كال م املجموعتين ‪ .A , B‬اثب ان ‪:‬‬
‫‪5  A  B iff B  A‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 A  A , 2    U , 3  A  A  , 4  A  A  U ,‬‬
:‫ا يل‬
 
1 x  A  x  A  x  A
 
 A A
2  x U  x U  U U    x 
  U
3 A A  
A  A    x : x  A  A  x  A  x  A
A A 
:‫ان‬
‫حي نفر‬
‫حل هصا ا زء بالتناق‬
A A 
A  A    x : x  A  A  x  A  x  A
‫الن يج ررة الس ررابقة خاطئ ررة منطقي ررا و بالت ررا ي يك ررون‬
‫الفر خاطئ و نفي هو الصييح‬
A  A  
4  A  A U
A  A  U
x  A  A  x  A  x  A  x  A  x U  A
 x U
sin ce A  U
5  A  B iff B  A
A  B  x  A  x  B 
 x  B  x  A 
 x B  x A
B A
contrapositive

‫‪ 2.6‬قروانين دي مورجران‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ترتبط هص القوانين بج م املجموعات و تنص على ‪:‬‬
‫لي مجموعتين ‪A , B‬‬
‫‪A B  A B‬‬
‫‪A B  A B‬‬
‫‪81‬‬
: ‫إلثبات قوانين دي مورجان‬
:‫اول‬
x A B  x A B  x A  x B  x A  x B
 x A B
:‫ثانيا‬
A  B  A  B
x A B  x A B  x A  x B  x A  x B
 x A B
A  B  A  B
‫مثاا ‪: 21‬‬
‫‪A  1, 2,5 , B  2, 7 ,C  5, 6,9‬‬
‫لتك‬
‫و ان ر ر ر ر ر ر ‪U  1,2,3,4,5,6,7,8,9‬‬
‫و ر ر ر ر ر رري املجموع ر ر ر ر ر ررة‬
‫الشاملة للمجموعات الثالث السابقة فاوجد‪:‬‬
‫‪U  1,2,3,4,5,6,7,8,9‬‬
‫‪5. C  A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4.‬‬
‫‪ A  B  C‬‬
‫‪9.‬‬
‫‪3. A  B‬‬
‫‪A B‬‬
‫‪8. A  A‬‬
‫‪7. A  A‬‬
‫‪2.‬‬
‫‪1. A  B‬‬
‫‪ A  B  C‬‬
‫‪6.‬‬
: ‫ا يل‬

1. A  B  1,2,5  2,7  1,2,5,7
2. A  B  1,2,5  2,7  2
3. A  B  1,2,5  2,7  1,5
5. C  A  5,6,9  1,2,5  6,9
4. A  U  A  3,4,6,7,8,9
6.  A  B   C  1,5  5,6,9  1,5,6,9
7. A  A  1,2,5  3,4,6,7,8,9  
9.

 A  B  C  2  5,6,9  2,5,6,9
8. A  B  1,2,5  3,4,6,7,8,9  U