Transcript Matrix1
Matrix • ความรู ้เบือ ้ งต ้นเกีย ่ วกับเมตริกซ ์ • การดาเนินการกับเมตริกซ ์ • ทรานสโพสเมตริกซ ์ (Transpose of Matrix) • ดีเทอร์มแ ิ นนท์ (Determinant) • อินเวอร์สเมตริกซ ์ (Inverse Matrix) ้ ้วยเมตริกซ ์ • การแก ้สมการเชงิ เสนด Matrix • เมตริกซ ์ คือชุดข ้อมูลทีจ่ ัดเก็บตามแนว แถว (Row) และแนวหลัก (Column) ่ ตัวอย่างเชน • มิต ิ (Dimension) ของเมตริกซ ์ คือจานวนแถว ่ 2x3, 1x3 และหลักทัง้ หมดของเมตริกซ ์ เชน ์ ม • เมตริกซจ์ ัตรุ ัส (Square Matrix) เมตริกซท ี่ ี มิตจิ านวนแถวเท่ากับจานวนหลัก n x n การดาเนินการกับเมตริกซ ์ ์ ้วยค่าคงที่ • การคูณเมตริกซด • การบวกและการลบของเมตริกซ ์ การดาเนินการกับเมตริกซ ์ (ต่อ) • การคูณเมตริกซ ์ การทรานสโพสของเมตริกซ ์ (Transpose of Matrix) • ทรานสโพสของเมตริกซ ์ A เขียนแทนด ้วย At เป็ นนาค่าในแนวแถวไปอยูท ่ ค ี่ อลัมน์ ่ ตัวอย่าง เชน ์ มมาตร คือเมตริกซท ์ ี่ At = A • เมตริกซส ่ เชน ดีเทอร์มแ ิ นนท์ (Determinant) ั ลักษณ์ทใี่ ชแทนดี ้ • สญ เทอร์มแ ิ นนท์ของ เมตริกซ ์ A คือ det(A) หรือ | A | 1. ต ้องเป็ นจัตรุ ัสเมตริกซเ์ ท่านัน ้ จึงหา det(A) ได ้ 2. ถ ้าเมตริกซ ์ A มี det(A) = 0 เรียกว่าเมตริกซเ์ อกฐาน (Singular Matrix) 3. ถ ้าเมตริกซ ์ A มี det(A) 0 เรียกว่าเมตริกซไ์ ม่เอกฐาน (Non-singular Matrix) ์ ต เมตริกซม ิ ิ1 x 1 ถ ้า A = [a] , a เป็ นจานวนจริง แล ้ว det(A) = a ์ ต เมตริกซม ิ ิ2 x 2 ถ ้า A = โดย a, b, c และ d เป็ นจานวนจริง แล ้ว det(A) = ad – bc ดีเทอร์มแ ิ นนท์ (ต่อ) ์ ต ่ 3x3 • เมตริกซม ิ ิ n x n เชน 1. วิธก ี ารเติมหลัก ต ัวอย่าง A = เติม 2 หลักแรกดังนี้ : det(A) = 1(5)(9) + 2(6)(7) + 3(4)(8) - 7(5)(3) - 8(6)(1) - 9(4)(2) det(A) = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 0 ดีเทอร์มแ ิ นนท์ (ต่อ) 2. วิธโี คแฟคเตอร์ ิ ทีแ -ไมเนอร์ (Minor) ค่าของสมาชก ่ ถว i หลัก j ซงึ่ เท่ากับดี ์ เี่ กิดจากการตัดแถว i และหลัก j เทอร์มแ ิ นนท์ของเมตริกซท - โคแฟกเตอร์ (Cofactor) เครือ ่ งหมาย +/-ว่าของไมเนอร์ หาจาก (-1)i+j ต ัวอย่าง A = ดีเทอร์มแ ิ นนท์ (ต่อ) การหาค่า det(A) ได ้ดังนี้ det(A) = c11a11 + c12a12 + c13a13 det(A) = (–3)1 + (6)2 + (–3)3 = –3 + 12 – 9 = 0 หรือ det(A) = c21a21 + c22a22 + c23a23 = (6)4 + (–12)5 + (6)6 = 24 – 60 + 36 = 0 หรือ det(A) = c31a31 + c32a32 + c33a33 = (–3)7 + (6)8 + (–3)9 = –21 + 48 – 27 = 0 ้ det(A) นั น ้ ไม่วา่ จะใชโคแฟคเตอร์ จากแถวใดหรือหลักใด จะได ้ค่าเท่ากัน อินเวอร์สของเมตริกซ ์ (Inverse Matrix) • ตัวผกผันการคูณของเมตริกซ ์ A คือ A-1 A A-1 = I = A-1A , I เมตริกซเ์ อกลักษณ์ (Identity Matrix) ์ ต - อินเวอร์สของเมตริกซม ิ ิ1x1 A = [3] จะได ้ A-1 = ์ ต - อินเวอร์สของเมตริกซม ิ ิ2 x 2 A= แล ้ว A-1 = อินเวอร์สของเมตริกซ ์ (ต่อ) ์ ต - อินเวอร์สของเมตริกซม ิ ิ n x n (n 3) ้ หาอินเวอร์สโดยใชแอดจอนท์ เมตริกซ ์ (Adj : Adjoint Matrix) กาหนดให้ cij เป็ นโคแฟกเตอร์ท ี่ i และ j จะได ้ Adj (A) = อินเวอร์สของเมตริกซ ์ A-1 = [cij]tn x n อินเวอร์สของเมตริกซ ์ (ต่อ) กาหนดให ้A = หาโคแฟกเตอร์ทก ุ ค่า หา det (A) = 1 (2) + 2 (2) + 3 (– 3) = 2 + 4 – 9 = – 3 ์ องโคแฟกเตอร์ = เมตริกซข อินเวอร์สของเมตริกซ ์ (ต่อ) แอดจอยท์เมตริกซ ์ = ดังนัน ้ A-1 = ** การหาอินเวอร์สเมตริกซ ์ ยังมีอก ี หลายวิธส ี ามารถ ึ ษาเพิม ศก ่ เติมได ้จาก seashore.buu.ac.th/~phong ้ ด้วยเมตริกซ ์ การแก้สมการเชงิ เสน จากระบบสมการ 2x – y + z = 3 x+y+z=6 3x + 2y – 2z = 1 เขียนเป็ นระบบเมตริกซไ์ ด ้ดังนี้ : ์ ม ั ประสท ิ ธิ์ : A = เมตริกซส ์ องตัวแปร : X = เมตริกซข ์ องค่าคงที่ : B = เมตริกซข ้ ด้วยเมตริกซ(์ ต่อ) การแก้สมการเชงิ เสน จากระบบสมการของเมตริกซ ์ AX = B หาอิน เวอร์ส A-1 แล ้วนามาคูณตลอดจะได ้ A-1(AX) = A-1B นั่นคือ (A-1A)X = A-1B IX = A-1B หรือ X = A-1B ซงึ่ ก็คอ ื คาตอบ ้ ด้วยเมตริกซ(์ ต่อ) การแก้สมการเชงิ เสน ์ งั การบ้าน กาหนดให ้A เป็ นเมตริกซด ตัวอย่างข ้างต ้น และสามารถหา A-1 = จงหาค่าของ x, y, z [email protected]