Transcript Sudut-sudut Pada Lingkaran

SUDUT –SUDUT PADA LINGKARAN
Materi :
• Sudut pusat dan sudut keliling
• Sudut antara dua tali busur
• Sudut antara dua tali busur yang
berpotongan di luar lingkaran
• Garis singgung lingkaran
A
Busur
Sudut
O● α
pusat
C
β Sudut keliling
Titik O merupakan titik pusat lingkaran,
AOB adalah sudut pusat lingkaran, dan
ACB merupakan sudut keliling lingkaran.
AOB dan ACB menghadap ke satu
busur yang sama yaitu Busur AB.
ΔAOC merupakan segitiga sama kaki,
B maka :
OCA = CAO
Jadi, AOC = 180o - 2 ACO
Δ BOC merupakan segitiga sama kaki,
maka :
BCO = OBC
Jadi,  BOC = 180o - 2 OBC
Perhatikan Sudut Pusat AOB
AOB = 360o – (AOC + BOC)
= 360o – (180o – 2 ACO+ 180o – 2 OBC)
= 360o – (360o – 2 ACO+ 180o – 2 OBC)
= 2(ACO+ OBC)
= 2 ACB
Kesimpulan, Bahwa jika sudut pusat lingkaran dan sudut keliling
lingkaran menghadap ke Busur yang sama, maka besar Sudut
Pusat Lingkaran adalah 2 kali besar sudut keliling Lingkaran
Sudut antara dua tali busur
1. Sudut antara dua tali busur yang berpotongan dalam lingkaran.
Besar sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di
dalam lingkaran sama dengan jumlah sudut keliling yang
menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.
D


A

C
E
B
AED =  BDC +  ACD
 =  + 
atau :
Besar sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan
dalam lingkaran , sama dengan ½ jumlah sudut pusat yang
menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.
C
B
 E
A

AEC = ½ ( AOC +  BOD)
 = ½( + )
• 
O
D
2. Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka :
Besar sudut yang terjadi sama dengan jselisih sudut pusat yang
menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.
C
•
A


D

B
AED =  ADC -  BAD
 =  - 
E
atau :
Jika dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, maka :
Besar sudut yang terjadi sama dengan ½ selisih sudut pusat yang
menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.
C
D
 •
O

A

B
AED = ½ ( AOC +  BOD )
 = ½( + )
E
GARIS SINGGUNG LINGKARAN
A
O•
B
AB = garis singgung
OB = jari-jari
Contoh 1
Pada gambar,
diketahui besar
ABC = 200 dan
BCD = 250 .
Hitunglah besar :
a. AEC
b. AED
B
C
E
A
D
Pembahasan :
ABC = 200
BCD = 250
a. AEC = ABC + BCD
= 200 + 250
= 450
b. AED = 1800 - AEC
= 1800 - 450
= 1350
Contoh 2
Pada gambar
disamping, besar
POR = 600 dan
QOS = 400 .
Hitunglah besar
PTR
R
Q
T
P
•
O
S
Pembahasan :
POR = 600
QOS = 400
a. PTR = ½ ( POR + QOS)
= ½ (600 + 400 )
= ½ x 1000
= 500
Jadi, besar PTR = 500
Contoh 3
Pada gambar disamping, besar ABC =
650 dan BCD = 300 . Hitunglah besar
AEC
C
D
O•
E
A
B
Pembahasan :
ABC = 650
BCD = 300
AEC
= ABC - BCD
= 650 - 350
= 250
Jadi, besar AEC = 250
Contoh 4
Pada gambar disamping, besar POR
= 1100 dan QOS = 400 . Hitunglah
besar PTR .
R
S
O•
T
P
Q
Pembahasan :
POR = 1100
QOS = 400
PTR
= ½ (POR - QOS)
= ½ ( 1100 - 400 )
= 350
Jadi, besar PTR = 350
Contoh 5
Pada gambar di bawah, garis AB merupakan
garis singgung. Panjang OA = 10 cm dan jari-jari
OB = 6 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB.
•
O
A
B
Pembahasan :
Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B
AB2 = OA2 - OB2
= 102 - 62
= 100 - 36
= 64
AB = √ 64 = 8 cm.
Jadi, panjang garis singgung AB = 8 cm.
SOAL 1
Pada gambar,
diketahui besar
KLM = 200 dan
LMN = 350 .
Hitunglah besar :
a. KTM
b. KTN
L
M
T
K
N
Pembahasan :
KLM = 200
LMN = 350
a. KTM = KLM + LMN
= 200 + 350
= 550
b. KTN = 1800 - KTM
= 1800 - 550
= 1250
SOAL 2
Pada gambar di
samping, besar
POR = 500 dan
QOS = 600 .
Hitunglah besar
PTR
R
Q
T
P
•
O
S
Pembahasan :
POR = 500
QOS = 600
a. PTR = ½ ( POR + QOS)
= ½ (500 + 600 )
= ½ x 1100
= 550
Jadi, besar PTR = 550
SOAL 3
Pada gambar di bawah ini, besar ABC
= 550 dan BCD = 250 Hitunglah besar
AEC
C
D
O•
E
A
B
Pembahasan :
ABC = 550
BCD = 250
AEC
= ABC - BCD
= 550 - 250
= 300
Jadi, besar AEC = 300
SOAL 4
Pada gambar di bawah ini, besar
POR = 1000 dan QOS = 300 .
Hitunglah besar PTR .
R
S
O•
T
P
Q
Pembahasan :
POR = 1000
QOS = 300
PTR
= ½ (POR - QOS)
= ½ ( 1000 - 300 )
= 350
Jadi, besar PTR = 350
SOAL 5
Pada gambar di bawah, garis AB merupakan
garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari-jari
OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB.
O•
A
B
Pembahasan :
Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B
AB2 = OA2 - OB2
= 132 - 52
= 169 - 25
= 144
AB = √ 144 = 12 cm.
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.
SOAL 6
Pada gambar di bawah ini, PA dan PB
merupakan garis singgung. Panjang jari-jari
OA = 5 cm dan OP = 13 cm. Hitunglah panjang
garis singgung PA dan panjang tali busur AB.
A
O•
P
B
Pembahasan :
OA = 5 cm dan OP = 13 cm.
∆ AOP siku-siku di titik A
PA2 = OP2 - OA2
= 132 - 52
= 169 – 25
= 144
PA = √ 144 = 12
Jadi, panjang garis singgung PA= 12 cm.
Luas layang-layang OAPB
L. OAPB
= ½ x OP x AB
2( ½ x 12 x 5) = ½ x 13 x AB
120 = 13 AB
AB = 120 : 13
= 9,23
Jadi, panjang tali busur AB = 9,23 cm.
SOAL 7
O•
Pada gambar di
samping, garis PR dan
QR merupakan garis
singgung. Panjang OR =
17 cm dan jari-jari OP =
8 cm. Hitunglah
panjang garis singgung
PR.
R
P
Pembahasan :
OP = 8 cm dan OR = 17 cm.
∆ POR siku-siku di titik P
PR2 = OR2 - OP2
= 172 - 82
= 289 – 64
= 225
PA = √ 225 = 15
Jadi, panjang garis singgung PR= 15 cm.