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材料之應力與應變分析
1.楊氏彈性模量(Young’s Modulus)
2.扭擺(Torsion Pendulum)
楊氏系數_目的 (Object)
 利用虎克定律的關係，及在彈性限度內，應力與應
變的關係維持一固定值。
 拉長或壓縮一個線狀或棒狀彈性物體，應力與應變
比值應滿足一常數，即 楊氏模量（Young’s Modulus）
 利用光槓桿(optical level)來測量金屬線的楊氏模量
 學習光槓桿的原理與操作
彈性體與楊氏彈性模量
彈性體受外力作用時會變形，若外力移去，在彈
性限度內可完全回復原狀，由虎克定律得，
•
應力單位面積所受的力 
應變單位長度所改變的長度

 模量
• 拉長及壓縮一線狀彈性體時，此常數稱為楊氏模
量(Y) ，隨材料的不同而異。則
Y 
F
l
A    1
l0
楊氏儀與光槓桿
• 彈性體受拉張力產生的伸長量很小，所以
利用楊氏儀（圖一）＞附測量微位移的光
槓桿（圖二），可精確測量伸長量。
楊氏儀與光槓桿
• 光槓桿原理：從望遠鏡附設米尺的A點發出之光線
AO，垂直投射於平面鏡而由原路反射。若平面鏡轉
θ角(平面鏡切圓柱面，會隨圓柱轉相同角
度) ，則由米尺的B點發出之光線BO，反射後沿OA
進入望遠鏡(ON是法線)，則∠BON＝∠NOA＝θ。
• →平面鏡轉θ角，反射線轉2θ角。
楊氏模量的計算
• 由楊氏儀測金屬線伸長量：(1)望遠鏡裝於米尺A點附
近，由望遠鏡讀出的間隔變化(金屬線伸長帶動光槓桿
的轉動)D與米尺至平面鏡之距離R，可求2θ，即
•
  12 tan1 DR
• (2)金屬線繞在半徑為r(cm)的銅圓柱，故伸長量
•
•
l  r  
（θ用弧度，1弧度 
3600
2
）
• 求楊氏模量：(1)量金屬線的長度l0與截面積A(2)作用
力F→砝碼掛重(3)伸長量 l
扭擺_1.目的（object）
 剛體物體均具有某種程度的彈性，可由拉、推、扭
或壓縮物體，使其體積作少許改變。
 切應力（shear stress）是負重轉動中的軸承彎曲變形，
或彎曲造成骨折等問題的重要因素。
 利用扭擺（torsion pendulum）測擺動週期（period），
並計算金屬棒之切變係數（shear modulus）。
扭擺_2.理論（theory）
 切變係數S之定義為切應力（shear stress）與切應變
（shear strain）之比，如圖1所示。
shear stress F / A
S

shear strain x / h
圖 1 切變係數說明
F:應力(stress)
A:作用面積(Area)
x:剪切位移(shear
displacement)
h:樣本高度(height)
扭擺_棒狀剛體之扭力形變位移
 設一棒之部份環形沿環之截面受dFi之力作用而扭轉了
一角度θ（弧度），其所對應的相對位移為x，如圖2所
示。
x＝rθ
dA＝2πr．dr
r:棒之部分環形之內徑。 圖 2 棒之恢復力矩說明
扭擺_棒狀剛體之恢復力矩
 根據定義
d Fi
F / A 2 r  d r
h d Fi ，
S


2
x/h
r / h
2 r d r  
S 2 r d r
d Fi 
h
2
 此力所生的恢復力矩(dLi)為
S2r d r
d Li  rd Fi 
h
3
扭擺_棒狀剛體之切變係數
 作用於整個棒上的總恢復力矩L為
L

d Li 

r
0
S 2 r d r S r

h
2h
3
 今將高度h改為棒之全長l，則總力矩變為
L
S r
4
2l
 於是切變係數S為
2l L
S
4
 r
4
扭擺_棒狀剛體之切變係數
 長為l，半徑r之實心金屬棒的切變係數為
2l L
S
4
 r
扭擺_3.方法（method）
 對一做角度簡諧運動（simple harmonic motion）的物體，
若其轉動慣量為I，力矩常數（torque constant）為 K'，則
其擺動週期為
I
……………………..………….……………(2)
K'
T  2
 K'乃力矩L與扭轉角（angle of torsion）（角位移）θ之比
L ……………………………………………….(3)
K'

扭擺_角度簡諧運動物體之切變係數
2l L
S
 r4
……….(1) ，
 將(3)式代入(1)得
I
T  2
K'
K'
L

……….(3)
2 l K  ……………..(4)
S
 r4
……….(2)
 由(2)、(4)式消去得
8 l I
S 2 4
T r
……….......(5)