Transcript Ecuaciones_Exponenciales_y_logar_tmicas

Prof. Isaías Correa M.
2012
 Objetivo :
 A partir del conocimiento de la definición y propiedades
de los logaritmos, serás capaz de:
 Resolver ecuaciones exponenciales.
 Resolver ecuaciones logarítmicas
ECUACIONES EXPONENCIALES
A una ecuación en la que la incógnita aparece en un
exponente se la llama ecuación exponencial.
Ejemplos: Resolver
53-x = 125
53-x = 53 ,
entonces 3 - x = 3 ,
luego x = 0
Observemos que
ECUACIONES EXPONENCIALES CON LOGARITMOS Y
ECUACIONES LOGARITMICAS
Ya hemos resuelto ecuaciones exponenciales del tipo 53-x = 53 sin la
necesidad de ocupar logaritmos. Ahora resolveremos ecuaciones más
complejas utilizando las propiedades de logaritmos.
Ejemplo: Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones
exponenciales:
a) 101-x = 30 / log
Aplicamos logaritmos, porque no es posible igualar las bases y nos
queda:
log 101-x = log 30
Enseguida desarrollamos…
(1-x)log 10 = log 30
log 10 – x log 10 = log (10* 3)
- x log 10 = log 10 + log 3 – log 10 despejamos x
-x=
log 3
log10
pero log 10 =1 , por lo tanto
- x = log 3 / *-1
x = - log 3
o
x= log
1
3
Veamos otro ejemplo
b) 3x . 52x = 4
Aplicando logaritmos a ambos miembros de la
igualdad, obtenemos:
log ( 3x . 52x )
= log 4 logaritmo de un producto.
log 3x + log 52x
= log 4 logaritmo de una potencia
x log 3 + 2 x log 5 = log 4
x( log 3 + 2log 5) = log 2 2
factorizamos por x
x =
2 log 2
log 3  2 log 5
log 2 2
log 22
x=
=
=
2
2
log(3  5 )
log3  log5
y despejamos
log75 4
Cambio de base
Analicemos este caso:
c) 32x - 4 . 3x+1 = -27
acá no podemos aplicar logaritmos,
porque hay una resta.
(3x)2 - 4 . 3 . 3x + 27= 0
¡¡Debemos hacer un arreglo!!
Si z = 3x y reemplazamos en la ecuación, obtenemos
z2 - 12 z + 27 = 0
( incógnitas auxiliares )
Al resolver la ecuación, las raíces de ella son:
z1 = 9 , z2 = 3 .
Por lo tanto 3x = 9  3x = 32  x = 2
y 3x = 3  x = 1
d) Otro caso parecido:
25x + 5x = 20
(5x)2 + 5x = 20 hacemos el arreglo
Si z = 5x 
z2 + z – 20 = 0
Las raíces de la ecuación cuadrática:
z1 = 4 , z2 = -5 .
luego 5x = 4
como no podemos igualar bases
log 5x = log 4
aplicamos logaritmos
log 4
 x log 5 = log 4  x = log 5
 x =log5 4
Ecuaciones Logarítmicas
 Definición: Es aquella en que la incógnita se encuentra
en el argumento (número del logaritmo).
Ejemplo:
log2 (3x 1)  3
 Obs: Para resolver este tipo de ecuaciones debemos
“eliminar los logaritmos” y luego resolver como una
ecuación cualquiera.
En el ejemplo sería:
23  3x  1
8 + 1 =3x
9 = 3x
x=3
 Nota: Cada vez que resolvamos una ecuación
logarítmica, debemos verificar si el o los valores son
solución de la ecuación.
Ejemplo 2)
3log (x+1) – 2log (y – 2)= 1 *3 Sist. De Ec.
5log(x+1) + 3log (y – 2)= 27 *2
9log (x+1) – 6log(y – 2)=3
10log (x+1) + 6log(y – 2)=54
19log(x+1) = 57
log(x+1) = 57
19
log(x+1)= 3
 Luego aplicamos la definición de logaritmos, para
despejar x:
10  x  1
3
1000=x + 1
x=999
 Para despejar el valor de “y”, reemplazamos el valor de
log(x + 1) en cualquiera de las ecuaciones del sistema.
Por ejemplo: 5log(x+1) + 3log (y – 2)= 27
5* 3 + 3log(y – 2)= 27
15 + 3log(y – 2)= 27
3log(y – 2) = 27 – 15
3log(y – 2) = 12
log (y – 2)= 123
log(y – 2)= 4
 Luego, aplicando definición despejamos el valor de “y”
10  y  2
4
10000= y – 2
y= 10002
Finalmente al verificar los valores (x e y) en el sistema,
nos damos cuenta que ambos satisfacen al sistema.
Por lo tanto, las soluciones son:
x=999
y=10002