Transcript Oferta y dualidad

ECONOMIA AGRARIA
ANALISIS ECONOMICO DE LA
OFERTA
EL ENFOQUE DUAL Y SUS
APLICACIONES
Daniel Lema
UCEMA
La Función de Producción
• Dados los insumos x=(x1,x2,…,xn), y el
producto y, tenemos:
y  f (x1,..., x n )  f (x)
• Propiedades:
f / x  0
• Creciente:
• Cuasi-cóncava:
f (x 0 )  f (x1 )
•
Si
•
Entonces
y
0   1
f (x 0  (1  )x1)  f (x 0 )
La Función de Producción

Isocuantas y Convexidad:
X2
x1
f(x)=y1>y0
x0+(1-)x1
f(x)=y0
x0
X1
Retornos a Escala

Supongamos que la función de producción es:
y  f (x)  x

=1  retornos a escala constantes

Duplicando los insumos, se duplica el producto

>1  retornos a escala crecientes: duplicando los
insumos más que se duplica el producto

<1  retornos a escala decrecientes: duplicando los
insumos menos que se duplica el producto
DUALIDAD EN PRODUCCION
DUALIDAD EN PRODUCCION


Concepto de Dualidad: si existe una función de
costo que cumpla ciertas condiciones de
regularidad, también existe una función de
producción y ambas representan la misma
tecnología.
La misma relación se encuentra entre la función
de beneficios y la función de producción.
DUALIDAD EN PRODUCCION
Esto implica que hay diferentes maneras de
representar la misma tecnología:
 A través de la función de producción (enfoque
primal)
 A través de las funciones de costos y beneficios
(enfoque dual).
Usos del Enfoque Dual





Es un camino más fácil para obtener funciones de ofertas
de productos y de demanda de insumos.
El dual se puede usar también para estimar y descomponer
la ineficiencia en costos, a través de una frontera de costos
y sus respectivos componentes, eficiencia técnica y
asignativa.
El dual hace posible también la medición de la eficiencia
en beneficios.
Las funciones de Costo y de beneficios pueden trabajar
fácilmente con múltiples productos e insumos.
Las funciones de Costos y beneficios facilitan una clara
distinción entre insumos fijos y variables.
xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto
P = precio
Función de beneficios Dual
Sustituyendo en y = f(x)
y w1 , w2 , p 
x w1 , w2 , p 
*
*
i
Demanda de Insumos
(no condicionada)
Función de oferta
Resolver
Max p * y  C w1 , w2 , y 
Resolver
Max p * f ( x1 , x2 )  x1 w1  x2 w2 
y
x1 , x2
Sustituyendo y* en
π = p*y – C(wi,y)
Sustituyendo x* en
π = p*f(xi) – x1w1-x2w2
Diferenciando π con respecto a wi
Lema de Hottelling

*
  xi w1 , w2 , p   0
wi
Diferenciando π con respecto a p
w1, w2 , p 
Función de beneficios
Lema de Hottelling

 y * w1 , w2 , p   0

Función de Costos Dual
Minw1 x1  w2 x2 
Resolver
_
st : y  f ( x1 , x2 )


x i  w1 , w2 , y 


_
Demanda
Condicional de
insumos
Sustituyendo en w1x1+w2x2
Diferenciando con respecto a wi
Lema de Shephard
__
__
C ( wi , y )


 xi  w1 , w2 , y 
wi


donde:
xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto
_


C  w1 , w2 , y 


Función de
Costos dual
Funciones de Dualidad:
Corto y Largo Plazo

Costo Total (CT)
= f(wi; y)

Costo Variable Total (CVT)
= f(wi; y, z)

beneficiosTotal (π)
= f(p, wi)

beneficios Variable Total (πVT) = f(p, wi; z)
Costos y Beneficios
Función de Costos: Propiedades
Si f es continua y estrictamente creciente, entonces c(w,y)
es
1. Cero cuando y=0
2. Creciente en w.
3. Homogénea de grado uno en w.
4. Cóncava en w.
5. Si f es estrictamente cuasi-cóncava podemos aplicar
el lema de Shephard: c(w,y) es diferenciable en w
(w0, y0 ) siempre que w>>0 y
xi (w , y )  c(w , y ) / wi
0
0
0
0
Maximización de beneficios

Mercado Competitivo: Los productores
individuales son tomadores de precios de los
insumos y productos (bienes).

Comportamiento Racional: Las firmas
maximizan beneficios (beneficio es la
diferencia entre ingresos y costos de
producción)
Propiedades de la Función de beneficios

Dado f, y considerando un p0 y w0, la función
de beneficios (p,w), estará bien definida, será
continua y
1. creciente en p
2. Decreciente en w.
3. Homogénea de grado uno en (p,w)
4. Convexa en (p,w)
5. Lema de Hotelling
 ( p, w)
 y( p, w) and
p
  ( p, w)
 xi ( p, w)
wi
Dualidad

Maximización de beneficios:
max x   maxpf x   w x  x* w, p 
x

max y  max py  C ( w, y )  y* w, p 

y
Minimización de costos
min C x   min w' x 

*
x

x
( w, y)


s.a. y  y

Teorema de la Envolvente
1) Sin restricciones
 Función objetivo:
max y  max f x1 , x2 ; 
x1 , x2
x1 , x2
f1  f 2  0  xi  xi ( ) i  1,2
*

Función objetivo indirecta:
    f

*
x1
 , x2  ;  ( funciónde m áxim ovalor)
*
x1
x2
    f1
 f2
 f


    f x  x*( )
*
*
Teorema de la Envolvente
1) Sin restricciones
 Función objetivo indirecta:
f  x  ;  
f  efecto directo
  
x  f  efecto indirecto  0
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones
 Función objetivo:
max f x ,   

*
x






 
L
x
,

,


f
x
,



g
x
,


x

s.a. g x ,    0


Función objetivo indirecta:

    f x1* ( ) , x2* ( ) , 

d
dx1
dx2
 f1
 f2
 f
d
d
d
*
*
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones
 Función objetivo indirecta:

Condición de primer orden:
d
dx1
dx2
 g1
 g 2
 f
d
d
d
*
g
*

*
*
x1 ( ) , x2 ( ) ; 
*
*
  0  óptim o
dx1
dx2
g1
 g2
 g  0
d
d
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones
 Función objetivo indirecta:

Condición de primer orden:
d
L
   g  f  
d

 ( )   L( x* , * ,  ) x  x
*
 *
L  efecto directo

 x 
   efecto indirecto L  0
 
Maximización del beneficio
max  x   maxpy  w1 x1  w2 x2 
x
s.a. y  f  x1 , x2 
(1) Condicione
s
f  x 
p
 wi
xi
de prim erorden :
i  1,2
MR  MC  x ( p, w) , y ( p, w)
*
*
Maximización del beneficio
y
Isobeneficio: Pendiente w/p
y= f(x)

p
x*
x
Maximización del beneficio
(2) Condición de segundo orden:
 f ( x) 
D f ( x)  
  negativasem idefinida
 xi x j 
2
h' D f ( x ) h  0
2
Maximización del beneficio

Función de beneficios:
  p, w  p y ( p, w)  w x ( p, w)
*


*


 p, w  max p y  w x

y, x

s.a. y  Y
Maximización del beneficio

Propiedades de la Función de beneficios:
1. No decreciente en p , no creciente en w
 
2. Homogénea de grado 1 en p, w
Maximización del beneficio

Propiedades de la Función de beneficios:
 Convexa en p, w
 
p  tp  (1  t ) p' ; 0  t  1
  p  t ( p)  (1  t ) ( p)
π
t  p   (1  t )  p'
  p' '
p
p’’
p’
Maximización del beneficio

π
Propiedades de la Función de beneficios:
 Convexa en p, w
 
π(p)
  p  py*  wx*
Función de beneficios de
corto plazo
π(p*)
p*
p’
p
p   ( p) más que proporcional (efectosubstitución)
Maximización del beneficio

Propiedades de la Función de beneficios:
3. Convexa en p, w
 
π
  p  py*  wx*
π(w*)
Función de beneficios de corto plazo
π(w)
w*
w’
w
Maximización del beneficio

Propiedades de la Función de beneficios:
 
4. Continuidad de  p, w ,  p  0, w  0
5. Lema de Hotelling
  p, w  p y  p, w  w x p, w

 p, w
pi

 p, w
w j
  y  p, w 
i  1,...,m
   x  p, w
j  1,...,n
i
j
Maximización del beneficio

Propiedades de la Función de beneficios:
5. Lema de Hotelling
  p, w  maxp f x   w x funciónobjetivo
x, y
f  x 
p
 w  x * p, w
x


 p, w  p f x p, w wxp, w  funciónobjetivoindirecta
Maximización del beneficio

Propiedades de la Función de beneficios:
5. Lema de Hotelling

 p , w
  p f
x
x
w
 x p, w
w
 x w
w
 p , w

 x  f
 p

 w   x p, w 
  x p, w
w   x
w


=0 por c.p.o.

Maximización del beneficio

Propiedades de la Función de beneficios:
5. Lema de Hotelling

 p, w
wi

 p, w
p j
   x  p, w 
  x  efecto directo
w 
 x   efecto indirecto 0
  f x p, w
j
  y  efecto directo
p 
 y   efecto indirecto 0
i
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
1) π es función monótona en precios:
  p, w
0
pi
  p, w
0
w j
2) yi , –xj son homogéneas de grado 0 en precios
y
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
y
3) Matriz de segundas derivadas de π(p,w) = matriz de
primeras derivadas de x*(p,w) e y*(p,w) y es
semidefinida positiva.
  2
 2   y j

 
 pi p j w j pi   p j
2
D  p, w  
   x
2
2
 
 
 j
 pi w j wi w j   pi


yi 

w j 
x j 

wi 
Matriz de substitución
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
3) a) Elementos de la diagonal principal no negativos
 2
yi

0
2
pi
pi
 2
w j
2
-
x j
w j
 oferta : pendientepositiva
 0  dem anda: pendientenegativa
y
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
y
3) b) Los efectos cruzados son simétricos (matriz de
substitución simétrica)
y j
yi
 2
 2



p j pi p j p j pi pi
x j
xi
 2
 2



w j
wi w j
w j wi
wi
y j
xi
 2
 2



p j wi p j p j wi wi
Ejemplo de maximización de beneficios

Un producto – Un insumo:
max py  wx
x
s / a : y  f x   x a
; a0
Condiciónde prim erorden :
paxa 1  w
Condiciónde segundoorden : paa  1x a  2  0
1
 a 1
w
x  p, w    
 ap 
*
a
 a 1
w
; y  p, w    
 ap 
*
a
 a 1
w
  p, w  py  wx  p  
 ap 
*
*
1
 a 1
w
 w 
 ap 
Principio de Le Chatelier
z factor fijo
x factoresvariables
 cp  p, z   corto plazo
 lp  p   largo plazo z  z  p 
Principio de Le Chatelier
 

 
 lp p*   cp p* , z p*
h p    lp  p    cp  p, z   0
en p*  z *  z *  p*   h p   0  CP  LP
Principio de Le Chatelier
h p 
a)
 0 mínimo
p p  p*
Largo plazo es envolvent ede cort oplazo (t angent e)
b) Segunda derivada en p  p* es no negat iva
 2 lp
p
2

 2 cp
p 2
 


y p * y p * , z


0
p
p
Principio de Le Chatelier:
Ejemplo – Cobb-Douglas
CP
z  z 
LP
p
p’
 


y p* y p* , z

0
p
p
po
yo
yCP
yLP
y
Función de beneficios restringida

y  ym , yr

x  x m , x r 


m  variables;r  racionados



 p m , wm , y r , x r  max p m y m  p r y r  wm x m  wr x r
ym ,xm
s.a. ( y, x)  Y ( y r , x r )

Función de beneficios restringida



 p m , wm , y r , x r  p r y r  wr x r  max p m y m  wm x m
y m , xm
s.a. ( y, x)  Y ( y r , x r )
 .
 ym i p m , wm , y r , x r
pmi


 .
  xm j p m , wm , y r , x r
wm j

i  1,...,I

j  1,...,J

Función de beneficios restringida
 .
  prs  pm , wm , yr , xr  s  1,...,S
yrs
 .
 wrl  pm , wm , yr , xr 
xrl
l  1,...,L
P reciossombra o inversade la oferta
Aplicaciónteoremade la envolvent e
Función de Ingresos


Todos los insumos son fijos
x, p, w están dados, fijos
 

y( p,x )
  
r p,x  max p y : x, y  T
*
 
y

y p, x oferta condicionada de productos
Función de Ingresos

x: escalar


y
s.a. V  y   x
m ax p y

 
L  p y   x  V y
Función de Ingresos
Condiciones de prim erorden :
V y
L
i  1,...,I
0
 pi  
yi
yi


L
 x V y  0

V  y 
 
yi
pi
 y p, x

p j V  y 
y j
Función de Ingresos
y2
Función de isoingreso
R  p10 y1  p20 y2
0
y1
V  y1 , y2   x
Frontera de posibilidades de producción
Función de Ingresos
Condición de segundo orden :
D 2V  y  posit iva semidefinida
Propiedades de la función de ingresos
y2



r p0 , x  p0 y p0 , x




r p1, x  p1 y p1, x




r p2 , x  p2 y p2 , x
0
y1
Frontera de posibilidades de producción

Propiedades de la función de ingresos
(FPP no convexa)
y2



r p0 , x  p0 y p0 , x




r p1, x  p1 y p1, x




r p2 , x  p2 y p2 , x
0
y1

Propiedades de la función de ingresos
 
r p, x  maxp. y : y Y x, p  0
1. No decreciente en precios
2. No decreciente en insumos
3. Homogénea de grado 1 en precios
   
r tp, x  tr p, x
; t 0
Propiedades de la función de ingresos
 
r p, x
4. Convexa en precios
r tp  1  t  p' , x  tr  p, x  1  t r  p' , x
 
r
 
r
r p, x
r p, x
B
r
r ( p)
m
R  p1 y1   pi y i
i 2
A
p
p
p'
p10
p11
p1
Propiedades de la función de ingresos
 
r p, x
5. Es una función continua
6. Lema de Shephard: oferta condicionada
   y p, x ; i  1,...,m
r p, x
pi
i
Propiedades de la oferta condicionada
 
yi p, x
1. Es monótona en precios
 0
r p, x
pi
2. Homogénea de grado cero en precios
Propiedades de la oferta condicionada
 
yi p, x
3. Matriz de transformación simétrica y positiva
definida:
a) Efecto propio positivo
b) Simétrica - efectos cruzados
   yi
 r p, x
2
pi p j
arios
 0 com plem ent

p j  0 sustitutos
Econometría
 Modelo Estructural:
 Modelo Reducido:
q D  a0  a1 p  a2 z1  1 

S
q  b0  b1 p  b2 z2   2 

D
S
q q

a0  b0
a2
b2
 2  1
p

z1 
z2 
a1  b1 a1  b1
a1  b1
a1  b1
p   0  1 z1   2 z2   3
Econometría
 Maximización de beneficios
 1 insumo, x
 1 producto, y
y  xa ; a  0
1
 a 1
w
x  p, w    
 ap 
a
 a 1
w
y p, w   
 ap 
Econometría
1
1
 1

log x 
log w  
log a 
log p 
a 1
a 1
 a 1

a
a
 a

log y 
log w  
log a 
log p 
a 1
a 1
 a 1

Econometría
log x  01  11 log w  21 log p
log y  02  12 log w  22 log p
02  a01
12  a11
Econometría
1
 a 1
 1  a  w
  w
 
 a  ap 
1
1
1 a 
log  log w  log
log w 
log a

a 1
 a  a 1
1

log p
a 1
Econometría
log   0   1 log w   2 log p
1
1 a 
 0  log
log a

 a  a 1
a
1 
a 1
1
2  
a 1
Econometría: Leontieff Generalizada
  p, w   bii wi   aii pi    bij wi w j 
n
m
i 1
m m
i 1

   aij pi p j
i 1 j i
bij  b ji
n n
1
2
i 1 j i
 2    cij  pi w j  2
1
aij  a ji
m n
1
i 1 j 1
cij  c ji
Econometría: Leontieff Generalizada
n
 wj 

  xi p, w  bii   bij  
wi
j 1  wi 


1
2
 pj 
  cij  
j 1  wi 
1
m
2
i  1,...,n
m
 pj 

 yi p, w  aii   aij  
pi
j 1  pi 
i  1,...,m


1
2
 wj
  cij 
j 1  pi
n



1
2
Econometría: Translogarítmica


n
m
i 1
i 1
log p, w  a0   ai log wi   bi log pi
1 n n
   aij log wi log w j
2 i 1 j 1
1m m
   bij log pi log p j
2 i 1 j 1
1 n m
   cij log wi log p j
2 i 1 j 1
Econometría: Translogarítmica
 Simetría
bij  b ji
aij  a ji
 Homogeneidad de grado 1 en precios
m
n
  ai   bi  1
i 1
i 1
m
n
  aij   cij  0
j 1
 j 1
n
m
  bij   cij  0
j 1
 j 1
cij  c ji
Econometría: Translogarítmica
 ln   pi yi pi


 ln pi pi 

 
m
n
j 1
j 1
 Si p, w  bi   bij ln p j   cij ln w j
i  1,...,m
Econometría: Translogarítmica
xi wi
 ln 
 wi


 ln wi wi 



n
m
j 1
j 1
  Si p, w  ai   aij ln w j   cij ln p j
i  1,...,n
Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)
 ( p, r; z )  max{ py  rx;( y, x; z )  T }
xy

p, is a vector of m output prices
 r,is a vector of n input prices
 x,is a vector of n input quantities
 z, is a vector of l fixed factors
 T is a production possibility set
Fulginiti and Perrin (AJAE, 1990)
Fulginiti and Perrin

Modelo: translogarítmica
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Parameters are estimated using time series data for years 19401980
Output categories:
wheat, corn, grain sorghum, sunflower, linseed, soybeans
and beef.
Variable inputs:
Labor, capital, and aggregate of fertilizers, seeds and
chemicals
Fixed inputs:
Land, precipitation, and time in years,( proxy for tech change)
Fulginiti and Perrin
Table 1. Condiciones de Homogeneidad y Simetría Impuestas
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)