Oferta y dualidad
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Transcript Oferta y dualidad
ECONOMIA AGRARIA
ANALISIS ECONOMICO DE LA
OFERTA
EL ENFOQUE DUAL Y SUS
APLICACIONES
Daniel Lema
UCEMA
La Función de Producción
• Dados los insumos x=(x1,x2,…,xn), y el
producto y, tenemos:
y f (x1,..., x n ) f (x)
• Propiedades:
f / x 0
• Creciente:
• Cuasi-cóncava:
f (x 0 ) f (x1 )
•
Si
•
Entonces
y
0 1
f (x 0 (1 )x1) f (x 0 )
La Función de Producción
Isocuantas y Convexidad:
X2
x1
f(x)=y1>y0
x0+(1-)x1
f(x)=y0
x0
X1
Retornos a Escala
Supongamos que la función de producción es:
y f (x) x
=1 retornos a escala constantes
Duplicando los insumos, se duplica el producto
>1 retornos a escala crecientes: duplicando los
insumos más que se duplica el producto
<1 retornos a escala decrecientes: duplicando los
insumos menos que se duplica el producto
DUALIDAD EN PRODUCCION
DUALIDAD EN PRODUCCION
Concepto de Dualidad: si existe una función de
costo que cumpla ciertas condiciones de
regularidad, también existe una función de
producción y ambas representan la misma
tecnología.
La misma relación se encuentra entre la función
de beneficios y la función de producción.
DUALIDAD EN PRODUCCION
Esto implica que hay diferentes maneras de
representar la misma tecnología:
A través de la función de producción (enfoque
primal)
A través de las funciones de costos y beneficios
(enfoque dual).
Usos del Enfoque Dual
Es un camino más fácil para obtener funciones de ofertas
de productos y de demanda de insumos.
El dual se puede usar también para estimar y descomponer
la ineficiencia en costos, a través de una frontera de costos
y sus respectivos componentes, eficiencia técnica y
asignativa.
El dual hace posible también la medición de la eficiencia
en beneficios.
Las funciones de Costo y de beneficios pueden trabajar
fácilmente con múltiples productos e insumos.
Las funciones de Costos y beneficios facilitan una clara
distinción entre insumos fijos y variables.
xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto
P = precio
Función de beneficios Dual
Sustituyendo en y = f(x)
y w1 , w2 , p
x w1 , w2 , p
*
*
i
Demanda de Insumos
(no condicionada)
Función de oferta
Resolver
Max p * y C w1 , w2 , y
Resolver
Max p * f ( x1 , x2 ) x1 w1 x2 w2
y
x1 , x2
Sustituyendo y* en
π = p*y – C(wi,y)
Sustituyendo x* en
π = p*f(xi) – x1w1-x2w2
Diferenciando π con respecto a wi
Lema de Hottelling
*
xi w1 , w2 , p 0
wi
Diferenciando π con respecto a p
w1, w2 , p
Función de beneficios
Lema de Hottelling
y * w1 , w2 , p 0
Función de Costos Dual
Minw1 x1 w2 x2
Resolver
_
st : y f ( x1 , x2 )
x i w1 , w2 , y
_
Demanda
Condicional de
insumos
Sustituyendo en w1x1+w2x2
Diferenciando con respecto a wi
Lema de Shephard
__
__
C ( wi , y )
xi w1 , w2 , y
wi
donde:
xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto
_
C w1 , w2 , y
Función de
Costos dual
Funciones de Dualidad:
Corto y Largo Plazo
Costo Total (CT)
= f(wi; y)
Costo Variable Total (CVT)
= f(wi; y, z)
beneficiosTotal (π)
= f(p, wi)
beneficios Variable Total (πVT) = f(p, wi; z)
Costos y Beneficios
Función de Costos: Propiedades
Si f es continua y estrictamente creciente, entonces c(w,y)
es
1. Cero cuando y=0
2. Creciente en w.
3. Homogénea de grado uno en w.
4. Cóncava en w.
5. Si f es estrictamente cuasi-cóncava podemos aplicar
el lema de Shephard: c(w,y) es diferenciable en w
(w0, y0 ) siempre que w>>0 y
xi (w , y ) c(w , y ) / wi
0
0
0
0
Maximización de beneficios
Mercado Competitivo: Los productores
individuales son tomadores de precios de los
insumos y productos (bienes).
Comportamiento Racional: Las firmas
maximizan beneficios (beneficio es la
diferencia entre ingresos y costos de
producción)
Propiedades de la Función de beneficios
Dado f, y considerando un p0 y w0, la función
de beneficios (p,w), estará bien definida, será
continua y
1. creciente en p
2. Decreciente en w.
3. Homogénea de grado uno en (p,w)
4. Convexa en (p,w)
5. Lema de Hotelling
( p, w)
y( p, w) and
p
( p, w)
xi ( p, w)
wi
Dualidad
Maximización de beneficios:
max x maxpf x w x x* w, p
x
max y max py C ( w, y ) y* w, p
y
Minimización de costos
min C x min w' x
*
x
x
( w, y)
s.a. y y
Teorema de la Envolvente
1) Sin restricciones
Función objetivo:
max y max f x1 , x2 ;
x1 , x2
x1 , x2
f1 f 2 0 xi xi ( ) i 1,2
*
Función objetivo indirecta:
f
*
x1
, x2 ; ( funciónde m áxim ovalor)
*
x1
x2
f1
f2
f
f x x*( )
*
*
Teorema de la Envolvente
1) Sin restricciones
Función objetivo indirecta:
f x ;
f efecto directo
x f efecto indirecto 0
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones
Función objetivo:
max f x ,
*
x
L
x
,
,
f
x
,
g
x
,
x
s.a. g x , 0
Función objetivo indirecta:
f x1* ( ) , x2* ( ) ,
d
dx1
dx2
f1
f2
f
d
d
d
*
*
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones
Función objetivo indirecta:
Condición de primer orden:
d
dx1
dx2
g1
g 2
f
d
d
d
*
g
*
*
*
x1 ( ) , x2 ( ) ;
*
*
0 óptim o
dx1
dx2
g1
g2
g 0
d
d
Teorema de la envolvente
2) Con restricciones
Función objetivo indirecta:
Condición de primer orden:
d
L
g f
d
( ) L( x* , * , ) x x
*
*
L efecto directo
x
efecto indirecto L 0
Maximización del beneficio
max x maxpy w1 x1 w2 x2
x
s.a. y f x1 , x2
(1) Condicione
s
f x
p
wi
xi
de prim erorden :
i 1,2
MR MC x ( p, w) , y ( p, w)
*
*
Maximización del beneficio
y
Isobeneficio: Pendiente w/p
y= f(x)
p
x*
x
Maximización del beneficio
(2) Condición de segundo orden:
f ( x)
D f ( x)
negativasem idefinida
xi x j
2
h' D f ( x ) h 0
2
Maximización del beneficio
Función de beneficios:
p, w p y ( p, w) w x ( p, w)
*
*
p, w max p y w x
y, x
s.a. y Y
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
1. No decreciente en p , no creciente en w
2. Homogénea de grado 1 en p, w
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
Convexa en p, w
p tp (1 t ) p' ; 0 t 1
p t ( p) (1 t ) ( p)
π
t p (1 t ) p'
p' '
p
p’’
p’
Maximización del beneficio
π
Propiedades de la Función de beneficios:
Convexa en p, w
π(p)
p py* wx*
Función de beneficios de
corto plazo
π(p*)
p*
p’
p
p ( p) más que proporcional (efectosubstitución)
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
3. Convexa en p, w
π
p py* wx*
π(w*)
Función de beneficios de corto plazo
π(w)
w*
w’
w
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
4. Continuidad de p, w , p 0, w 0
5. Lema de Hotelling
p, w p y p, w w x p, w
p, w
pi
p, w
w j
y p, w
i 1,...,m
x p, w
j 1,...,n
i
j
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
5. Lema de Hotelling
p, w maxp f x w x funciónobjetivo
x, y
f x
p
w x * p, w
x
p, w p f x p, w wxp, w funciónobjetivoindirecta
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
5. Lema de Hotelling
p , w
p f
x
x
w
x p, w
w
x w
w
p , w
x f
p
w x p, w
x p, w
w x
w
=0 por c.p.o.
Maximización del beneficio
Propiedades de la Función de beneficios:
5. Lema de Hotelling
p, w
wi
p, w
p j
x p, w
x efecto directo
w
x efecto indirecto 0
f x p, w
j
y efecto directo
p
y efecto indirecto 0
i
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
1) π es función monótona en precios:
p, w
0
pi
p, w
0
w j
2) yi , –xj son homogéneas de grado 0 en precios
y
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
y
3) Matriz de segundas derivadas de π(p,w) = matriz de
primeras derivadas de x*(p,w) e y*(p,w) y es
semidefinida positiva.
2
2 y j
pi p j w j pi p j
2
D p, w
x
2
2
j
pi w j wi w j pi
yi
w j
x j
wi
Matriz de substitución
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
3) a) Elementos de la diagonal principal no negativos
2
yi
0
2
pi
pi
2
w j
2
-
x j
w j
oferta : pendientepositiva
0 dem anda: pendientenegativa
y
Propiedades, funciones de
demanda derivada de factores
oferta
y
3) b) Los efectos cruzados son simétricos (matriz de
substitución simétrica)
y j
yi
2
2
p j pi p j p j pi pi
x j
xi
2
2
w j
wi w j
w j wi
wi
y j
xi
2
2
p j wi p j p j wi wi
Ejemplo de maximización de beneficios
Un producto – Un insumo:
max py wx
x
s / a : y f x x a
; a0
Condiciónde prim erorden :
paxa 1 w
Condiciónde segundoorden : paa 1x a 2 0
1
a 1
w
x p, w
ap
*
a
a 1
w
; y p, w
ap
*
a
a 1
w
p, w py wx p
ap
*
*
1
a 1
w
w
ap
Principio de Le Chatelier
z factor fijo
x factoresvariables
cp p, z corto plazo
lp p largo plazo z z p
Principio de Le Chatelier
lp p* cp p* , z p*
h p lp p cp p, z 0
en p* z * z * p* h p 0 CP LP
Principio de Le Chatelier
h p
a)
0 mínimo
p p p*
Largo plazo es envolvent ede cort oplazo (t angent e)
b) Segunda derivada en p p* es no negat iva
2 lp
p
2
2 cp
p 2
y p * y p * , z
0
p
p
Principio de Le Chatelier:
Ejemplo – Cobb-Douglas
CP
z z
LP
p
p’
y p* y p* , z
0
p
p
po
yo
yCP
yLP
y
Función de beneficios restringida
y ym , yr
x x m , x r
m variables;r racionados
p m , wm , y r , x r max p m y m p r y r wm x m wr x r
ym ,xm
s.a. ( y, x) Y ( y r , x r )
Función de beneficios restringida
p m , wm , y r , x r p r y r wr x r max p m y m wm x m
y m , xm
s.a. ( y, x) Y ( y r , x r )
.
ym i p m , wm , y r , x r
pmi
.
xm j p m , wm , y r , x r
wm j
i 1,...,I
j 1,...,J
Función de beneficios restringida
.
prs pm , wm , yr , xr s 1,...,S
yrs
.
wrl pm , wm , yr , xr
xrl
l 1,...,L
P reciossombra o inversade la oferta
Aplicaciónteoremade la envolvent e
Función de Ingresos
Todos los insumos son fijos
x, p, w están dados, fijos
y( p,x )
r p,x max p y : x, y T
*
y
y p, x oferta condicionada de productos
Función de Ingresos
x: escalar
y
s.a. V y x
m ax p y
L p y x V y
Función de Ingresos
Condiciones de prim erorden :
V y
L
i 1,...,I
0
pi
yi
yi
L
x V y 0
V y
yi
pi
y p, x
p j V y
y j
Función de Ingresos
y2
Función de isoingreso
R p10 y1 p20 y2
0
y1
V y1 , y2 x
Frontera de posibilidades de producción
Función de Ingresos
Condición de segundo orden :
D 2V y posit iva semidefinida
Propiedades de la función de ingresos
y2
r p0 , x p0 y p0 , x
r p1, x p1 y p1, x
r p2 , x p2 y p2 , x
0
y1
Frontera de posibilidades de producción
Propiedades de la función de ingresos
(FPP no convexa)
y2
r p0 , x p0 y p0 , x
r p1, x p1 y p1, x
r p2 , x p2 y p2 , x
0
y1
Propiedades de la función de ingresos
r p, x maxp. y : y Y x, p 0
1. No decreciente en precios
2. No decreciente en insumos
3. Homogénea de grado 1 en precios
r tp, x tr p, x
; t 0
Propiedades de la función de ingresos
r p, x
4. Convexa en precios
r tp 1 t p' , x tr p, x 1 t r p' , x
r
r
r p, x
r p, x
B
r
r ( p)
m
R p1 y1 pi y i
i 2
A
p
p
p'
p10
p11
p1
Propiedades de la función de ingresos
r p, x
5. Es una función continua
6. Lema de Shephard: oferta condicionada
y p, x ; i 1,...,m
r p, x
pi
i
Propiedades de la oferta condicionada
yi p, x
1. Es monótona en precios
0
r p, x
pi
2. Homogénea de grado cero en precios
Propiedades de la oferta condicionada
yi p, x
3. Matriz de transformación simétrica y positiva
definida:
a) Efecto propio positivo
b) Simétrica - efectos cruzados
yi
r p, x
2
pi p j
arios
0 com plem ent
p j 0 sustitutos
Econometría
Modelo Estructural:
Modelo Reducido:
q D a0 a1 p a2 z1 1
S
q b0 b1 p b2 z2 2
D
S
q q
a0 b0
a2
b2
2 1
p
z1
z2
a1 b1 a1 b1
a1 b1
a1 b1
p 0 1 z1 2 z2 3
Econometría
Maximización de beneficios
1 insumo, x
1 producto, y
y xa ; a 0
1
a 1
w
x p, w
ap
a
a 1
w
y p, w
ap
Econometría
1
1
1
log x
log w
log a
log p
a 1
a 1
a 1
a
a
a
log y
log w
log a
log p
a 1
a 1
a 1
Econometría
log x 01 11 log w 21 log p
log y 02 12 log w 22 log p
02 a01
12 a11
Econometría
1
a 1
1 a w
w
a ap
1
1
1 a
log log w log
log w
log a
a 1
a a 1
1
log p
a 1
Econometría
log 0 1 log w 2 log p
1
1 a
0 log
log a
a a 1
a
1
a 1
1
2
a 1
Econometría: Leontieff Generalizada
p, w bii wi aii pi bij wi w j
n
m
i 1
m m
i 1
aij pi p j
i 1 j i
bij b ji
n n
1
2
i 1 j i
2 cij pi w j 2
1
aij a ji
m n
1
i 1 j 1
cij c ji
Econometría: Leontieff Generalizada
n
wj
xi p, w bii bij
wi
j 1 wi
1
2
pj
cij
j 1 wi
1
m
2
i 1,...,n
m
pj
yi p, w aii aij
pi
j 1 pi
i 1,...,m
1
2
wj
cij
j 1 pi
n
1
2
Econometría: Translogarítmica
n
m
i 1
i 1
log p, w a0 ai log wi bi log pi
1 n n
aij log wi log w j
2 i 1 j 1
1m m
bij log pi log p j
2 i 1 j 1
1 n m
cij log wi log p j
2 i 1 j 1
Econometría: Translogarítmica
Simetría
bij b ji
aij a ji
Homogeneidad de grado 1 en precios
m
n
ai bi 1
i 1
i 1
m
n
aij cij 0
j 1
j 1
n
m
bij cij 0
j 1
j 1
cij c ji
Econometría: Translogarítmica
ln pi yi pi
ln pi pi
m
n
j 1
j 1
Si p, w bi bij ln p j cij ln w j
i 1,...,m
Econometría: Translogarítmica
xi wi
ln
wi
ln wi wi
n
m
j 1
j 1
Si p, w ai aij ln w j cij ln p j
i 1,...,n
Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)
( p, r; z ) max{ py rx;( y, x; z ) T }
xy
p, is a vector of m output prices
r,is a vector of n input prices
x,is a vector of n input quantities
z, is a vector of l fixed factors
T is a production possibility set
Fulginiti and Perrin (AJAE, 1990)
Fulginiti and Perrin
Modelo: translogarítmica
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Parameters are estimated using time series data for years 19401980
Output categories:
wheat, corn, grain sorghum, sunflower, linseed, soybeans
and beef.
Variable inputs:
Labor, capital, and aggregate of fertilizers, seeds and
chemicals
Fixed inputs:
Land, precipitation, and time in years,( proxy for tech change)
Fulginiti and Perrin
Table 1. Condiciones de Homogeneidad y Simetría Impuestas
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin
Fulginiti and Perrin (AJAE 1990)