IAR234 Robótica UNIDAD 02: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Y FÍSICOS.

(1 ra parte)

Contenidos

1. Descripción de la posición: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas 2. Descripción de la orientación y matrices asociadas. 3. Traslación y rotación.

4. Velocidad, aceleración momento de inercia, centro de masa y tensor de inercia. 5. Cinemática del robot: cinemática directa e inversa.

6. Cinemática del movimiento.

7. Fuerzas que actúan sobre el robot y equilibrio.

8. Dinámica del robot: métodos de Lagrange y de Newton-Euler 9. Ejercicios sobre dinámica de robots.

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Objetivos específicos • Explicar el funcionamiento de la arquitectura de un robot y de las partes que integran esa arquitectura.

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Localización espacial del robot • • La necesidad de manipular piezas demanda el movimiento espacial del extremo del robot, lo que muestra la necesidad de disponer de herramientas matemáticas para especificar la posición y orientación de dicho extremo.

Por nuestros estudios previos, conocemos que podemos representar una posición en el espacio empleando un sistema de coordenadas, siendo comunes el cartesiano y el polar.

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Representación espacial: Posición • • Se establece un sistema de coordenadas con el cual podemos localizar cualquier punto en el espacio mediante un vector de posición

(3x1).

Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido.

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Representación de la posición en coordenadas cartesianas Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 6

Representación de la posición en coordenadas polares/cilíndricas Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 7

Representación de la posición en coordenadas esféricas • Otra alternativa 3D son las coordenadas esféricas: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 8

• Orientación Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 9

Descripción de la orientación relativa • • Luego se da la “descripción” de este sistema de coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia.

Existen varios métodos para representar orientaciones: – Matriz de Rotación.

– Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ) – Roll, pitch and yaw.

– Par de rotación (o Vector - ángulo).

– Cuaternios: Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado.

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Representación de la orientación.

Matrices de Rotación 2D • • La orientación de un objeto respecto a una referencia se realiza empleando una matriz.

Una matriz de rotación es ortonormal: R -1

=R

T Primavera-2008 R es conocida como matriz de cosenos directores Dr. Juan José Aranda Aboy 11

Matrices de Rotación 3D (1) Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 12

Matrices de Rotación 3D (2) Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 13

Composición de rotaciones Orden de la composición: 1. Rotación sobre OX 2. Rotación sobre YO 3. Rotación sobre OZ Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 14

Ángulos de Euler 1. Girar el sistema OUVW un ángulo f con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU'V'W'.

2. Girar el sistema OU'V'W' un ángulo q con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W''.

3. Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo y respecto al eje OW'‘ convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W''' Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 15

Roll, Pitch y Yaw 1. Girar el sistema OUVW un ángulo y con respecto al eje OX. (Yaw) 2. Girar el sistema OUVW un ángulo q con respecto al eje OY. (Pitch) 3. Girar el sistema OUVW un ángulo f con respecto al eje OZ. (Roll) Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 16

Par de rotación • Mediante la definición de un vector k (kx,ky.kz) y un ángulo de giro q , tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo q sobre el eje k Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 17

Cuaternios • • Alta eficiencia computacional Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB)

Q=[q0,q1,q2,q3]=[s,v]

• Giro de un ángulo 2 sobre el vector k: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 18

Coordenadas homogéneas • • Coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional para representar sólidos en el espacio n-dimensional.

p(x,y,z)

p(wx,wy,wz,w) con w=factor de escala Vector en coordenadas homogéneas: • • Ejemplo: 2i+3j+4k Vector nulo:[0,0,0,n] T

[4,6,8,2]

T

ó [-6,-9,-12,-3]

T Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 19

• Matrices de transformación homogénea Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

Primavera-2008 R 3x3 : matriz de rotación p 3x1 : vector de traslación f 1x3 : transformación de perspectiva w 1x1 : escalado global (1) Dr. Juan José Aranda Aboy 20

Aplicación de las matrices de transformación homogénea • • • Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ.

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Traslación con matrices homogéneas • Matriz básica de traslación: • Cambio de sistema de coordenadas: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 22

Ejemplo de traslación (1) • • Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son

r uvw (-2,7,3)

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Ejemplo de traslación (2) • Calcular el vector r’

xyz

resultante de trasladar al vector r

xyz

(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8) Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 24

Rotación con matrices homogéneas • Matrices de rotación básicas: • Cambio de sistema de coordenadas: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 25

Ejemplo de rotación • • Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector r

xyz [4,8,12]

T si r

uvw =

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• • Combinación de rotaciones y traslaciones (1) Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes El producto NO es conmutativo: rotar y trasladar ≠ trasladar y rotar Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 27

• Combinación de rotaciones y traslaciones (2) Rotación seguida de traslación: • Traslación seguida de rotación: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 28

Ejemplo de combinación traslación rotación (1) • • Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,- 4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas r

uvw (-3,4,-11)

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• • Ejemplo de combinación traslación rotación (2) Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,- 4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx , ry , rz) del vector r de coordenadas r

uvw (-3,4,-11)

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Significado geométrico de las matrices homogéneas n,o,a: terna ortonormal que representa la orientación p: vector que representa la posición ||n||=||o||=||a||=1

n x o = a

[n o a] -1

=[n o a]

T Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 31

Inversa de una matriz de transformación homogénea Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 32

Composición de matrices homogéneas (1) • • • Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples: giros básicos y traslaciones.

Una matriz que representa un giro de un ángulo a sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo f sobre el eje OY y de un giro de un ángulo q sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 33

Composición de matrices homogéneas (2) Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 34

• • • Criterios de composición de matrices homogéneas Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I

4

Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.

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Ejemplo de composición de matrices homogéneas (1) • PREMULTIPLICACIÓN Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector p xyz (5,5,10) y un giro de 90º sobre el eje OZ: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 36

Ejemplo de composición de matrices homogéneas (2) • POSMULTIPLICACIÖN Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo de referencia: – – – traslación de un vector p

xyz (-3,10,10);

giro de -90º sobre el eje O'U del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 37

Gráficos de transformación Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 38

Comparación entre métodos de localización espacial Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 39

Descripción de “frame” • La información necesaria para especificar completamente la ubicación del efector final (o cualquier elemento) de un manipulador puede definirse por medio de un “Frame”: Conjunto de 4 vectores que dan información de posición y orientación.

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Mapeos: cambiando la descripción de un frame a otro • Mapeos sobre frames trasladados de igual orientación: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 41

Mapeos: cambiando la descripción de un frame a otro • Mapeos sobre frames rotados sin traslación: Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 42

Mapeo general: Traslación + Rotación Primavera-2008 Dr. Juan José Aranda Aboy 43

Referencias de archivos en .PDF

• • • • • • Fundamentos de Robótica (Cap3, p49 (57 de 314)) curso_biom_ar/Cap_2_2007 curso_umh_es/Tema3 upm_disam_es/Herramientas matemáticas robotica/Apuntes de Robotica (Tema 2, 18 de 177) robots_springer_2008/07_PositionOrientation y 08_EulerRPYHomogeneous Primavera-2009 Dr. Juan José Aranda Aboy 44

Sitios en Internet • • • • • • http://www.worldrobotics.org/ ISO 25.040.30: Industrial robots. Manipulators INDUSTRIAL ROBOTS AND ROBOT SYSTEM SAFETY Academic Websites The Robotics WEBook ROBOTICA I - Curso 2004-05 Primavera-2009 Dr. Juan José Aranda Aboy 45