Transcript permbahet ne

Fakulteti I shkencave te Aplikuara
Dega: Makineri Industriale
Viti akademik 2006/07
Matematika elementare
Mesimdhenesi: Faton Merovci
1
Literatura
[1] Isak Hoxha
Matematika elementare ,Prishtine 2003
[2].Terry Wesner Harry Nustad
Intermediate Algebra with Application
[3] N.Braha, A.Shabani
Permbledhje detyrash nga Matematika elementare,
Prishtine 2006
[4] Faton Merovci
Ligjerata dhe ushtrimet te publikuara ne
www.fatonmerovci.com
2
Hyrje ne Bashkesi
• Bashkesia
• Kuptim Themelor
• Ska perkufizim
3
Bashkesite
• Radhitja e elemnteve ne bashkesi nuk eshte
e rendesishme
– A = {a, e, i, o, u} dhe
– B = {e, o, u, a, i} jane dy bashkesi te njejta.
• Ne bashkesi nuk preferohet te perseritet
elemneti
F = {a, e, i, o, a, u} ‘a’ perseritet.
4
Bashkesite numerike
N = Bashkesia e numrave natyral = {1, 2, 3, …}
Z = Bashkesia e numrave plote= {…,-2, -1, 0, 1, 2, …}
– R = Bashkesia e numrave reale
– Q = Bashkesia e numrave racional
– C = Bashkesia e numrave kompleks
5
Disa shenime
• Le te jete A = {a, e, i, o, u} atehere
• Ne shenojme “‘a’ eshte element I ‘A’” si:
– aA
• Ne shenojme “‘b’ nuk eshte element I ‘A’”
si:
– bA
– Shenim: b  A   (b  A)
6
Bashkesia univerzale dhe bashkesia
boshe
• Bashkesdia univerzale shenohet me ‘U’.
• Bashkesia qe nuk ka asnje element quhet
bashkesi boshe . Shenohet me  ose {}.
– P.sh. {x | x2 = 4 dhe x eshte numer tek} = 
7
Diagrami I Venit
– P.sh A = {a, e, i, o, u}
A
a u i
e
o
8
Bashkesite e Barabarta
• Bashkesia ‘A’ eshte e barabarte me bashkesine ‘B’ atehere
dhe vetem atehere nese te dy bashkesite i kane elementet e
njejta. Nese bashkesite ‘A’ and ‘B’ jane te barabarta
atehere shenojme: A = B. Nese bashkesite ‘A’ dhe ‘B’ nuk
jane te barabarta shenojme A  B.
• Me fjale te tjera mund te themi:
A = B  (x, xA  xB)
– P.sh.
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 1, 2, 5}, C = {1, 3, 5, 4}
D = {x : x  N  0 < x < 6}, E = {1, 10/5, 9, 22, 5} atehere
A = B = D = E dhe A  C.
9
Numri kardinal I bashkesise
• Numri I elementeve te nje bashkesie quhet
numri kardinal I saj bashkesie. Le te jete ‘A’
ndonje bashkesi atehere numri kardinal I saj
shenohet si |A| ose cardA.
• P.sh. A = {a, e, i, o, u} then |A| = 5.
10
Nenbashkesia ( ang. Subset)
• Bashkesia ‘A’ quhet nenbashkesi e bashkesise ‘B’
atehere dhe vetem atehere kur çdo element i
bashkesise ‘A’ eshte gjithashtu element I
bashkesise ‘B’. Ne mund te themi ‘A’ permbahet
ne ‘B’ ose si ‘B’ e permban ‘A’. Kjo shenohet:
• A  B or B  A.
• Me fjale te tjera mund te themi:
(A  B)  (x, x  A  x  B)
11
Nenbashkesia vazhdim…
• Nese ‘A’ nuk eshte nenbashkesi e ‘B’
atehere kete e shenojme si A  B or B  A
– P.sh. A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3} dhe
–
C = {2, 4, 6} atehere B  A and C  A
A
B
5
1 3
2
4
C
6
12
Disa veti te bashkesive
•
•
•
•
Per çdo bashkesi ‘A’,   A  U
Per çdo bashkesi‘A’, A  A
AB B  C AC
A=BABBA
13
Nenbashkesia e vertete(ang.Proper Subsets)
• Nese A  B atehere eshte e mundur qe
• A = B.
• Themi se ‘A’ eshte nenbashkesi I vertete e
bashkesise ‘B’ atehere dhe vetem atehere
nese A  B and A  B. Dhe shenojme
• A  B or B  A.
• Me fjale te tjera mund te themi:
(A  B)  (x, xA  xB  AB)
14
• Nese A B
B
A
15
Bashkesia partitive (ang. Power set)
• Bashkesia e te gjitha nenbashkesive te bashkesise
‘S’ quhet bashkesi partitive e bashkesise ‘S’. Kjo
shenohet P(S) .
P(S) = {x : x  S}
• P.sh. A = {1, 2, 3} then
P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
• Shenim |P(S)| = 2|S|.
• P.sh |P(A)| = 2|A| = 23 = 8.
16
Komplementi (ang. Complement)
• Komplementi I bashkesise A eshte
bashkesia e te gjitha elementeve qe I
takojne bashkesise Univerzale dhe nuk I
takojne bashkesisa A. Shenohet Ac or Ā ose
Á.
• Ac = {x : xU  xA}
17
Diagrami I Venit per bashkesine A
Pjesa e hijezuar eshte komplementi I A
A
Ac
18
- nioni
A  B = {x : xA  xB}
• P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}
A  B = {3, 5, 7, 2, 3, 5} = {2, 3, 5, 7}
19
Paraqitja e Unionit me diagramin e
Venit
• Unioni
A
AB
7
35
2
B
20
Prerja() - Itersection
A  B = {x : xA  xB}
• P.sh. A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}
A  B = {3, 5}
21
Paraqitja e prerjes me diagramin e
Venit
AB
A
7
35
2
B
22
Diferenca
A B = {x : xA  xB}
• P.sh A = {3, 5, 7}, B = {2, 3, 5}
A B = {3, 5, 7} {2, 3, 5} = {7}
23
Diferenca
A B
A
7
35
2
B
24
Vetite
•
•
•
•
•
•
A  AB dhe B  AB
AB  A dhe AB  B
|AB| = |A| + |B| - |AB|
AB  BcAc
A B = ABc
Nese AB =  atehere themi ‘A’ dhe ‘B’
jane disjunkte.
25
Algjebra e Bashkesive
• Ligji I Idempotentes
– AA=A
– AA=A
• Ligji Asociativ
– (A  B)  C = A  (B  C)
– (A  B)  C = A  (B  C)
26
• Ligji komutativ
– AB=BA
– AB=BA
• Ligji distributiv
– A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
– A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
27
• Ligjet e Identitetit
–
–
–
–
A=A
A U =A
AU=U
A=
– (Ac)c = A
28
• Ligji I komplementit
–
–
–
–
A  Ac = U
A  Ac = 
Uc = 
c = U
29
• Ligjet e De Morgan – it
• (A  B)c = Ac  Bc
– (A  B)c = Ac  Bc
– Vertetojme se
– (A  B)c = Ac  Bc
30
Vertetimi
x(AB)c  xAB
 xA  xB
 xAc  xBc
 xAcBc
 (AB)c  AcBc
()
31
xAcBc  xAc  xBc
 xA  xB
 xAB
 x(AB)c
 AcBc  (AB)c
()
()  ()  (AB)c = AcBc
32
Detyra lidhur me bashkesite
• Detyrat per ushtrime nga bashkesite jepen
ne pjesen e veqante te pergatitura ne Word.
• Me emrin
• Ushtrimet nga Bashkesite
33