Transcript Equipamiento Radiologico Guia de Ondas

Generadores de Radiación Ionizante
1.4 Guía de Ondas
Dr. Willy H. Gerber
Instituto de Fisica
Universidad Austral
Valdivia, Chile
Objetivos: Comprender como opera una guía de ondas
acelera las partículas que viajan atreves de
esta.
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Elementos
Generación de
electrones
(Filamento)
Emitir Rayos
Gamma o
Partículas
Aceleración
Generación de
Rayos Gamma
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Aceleradores básicos
Principio básico:
Campo eléctrico
Ánodo (positivo)
Cátodo (negativo)
Carga eléctrica
Mayor energía mientras mayor diferencia de potencial.
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Aceleradores básicos
Problema: descarga entre las placas
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Guía de Ondas
1925 Propone usar un campo alternante
1928 Construye el acelerador propuesto
Ernst Ising
(1900-1998)
Rolf Wideröe
(1902-1996)
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Guía de Ondas
La idea es formar un pulso e ir variando el campo de modo que este siempre
se encuentre en cavidades con un campo que lo acelera:
o en forma grafica
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Guía de Ondas
Principio basic
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Guía de Ondas
Periodo de la oscilación del generador RF:
Distancia entre disco:
En que la fase depende del diseño, o sea de la solución formal de la ecuación de
las cavidad.
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Guía de Ondas
Para energías superiores a m0c2 la velocidad del electrón es
aproximadamente aquella de la luz con lo que:
Empleando el modelamiento del Klistrón se tiene que el factor de propagación es
y el ángulo de transición queda como
La energía ganada por el electrón después de la n-esima cavidad bajo un potencial V es:
La pregunta es como se puede generar este campo magnético alternante (onda)
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Guía de Ondas
Ecuaciones de Maxwell
(Coulomb)
(Monopolos)
(Ampere)
(Ohm)
(Faraday)
(Lorentz)
Teoremas claves
Green
Stockes
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Paréntesis derivadas parciales
Una derivada “normal” o “total” es una derivada en que se considera como
varia la función pero también las restantes variables de la variable con que se
esta derivando:
Una derivada parcial es una derivada en que solo se considera la forma como la
función varia en la variable a derivar:
En particular es:
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Paréntesis Ecuaciones de Maxwell
Con el teorema de Green
El campo eléctrico sobre una superficie es igual a la suma
de todas las cargas
Q
No existen “cargas magnéticas”
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Paréntesis Ecuaciones de Maxwell
Con el teorema de Stockes
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Sin cargas ρ = 0 y J = 0 y en el vacio (ε=1, μ=1) por lo que:
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Guía de Ondas
En forma análoga para el caso sin cargas desplazándose (J = 0):
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Guía de Ondas
Solución del tipo
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Caso sin cargas
o
Ondas libres no pueden acelerar cargas en la dirección en que se desplazan
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Guía de Ondas
Otra situación se da en un cilindro con paredes conductoras
b
y
z
r
θ
x
Con condiciones de borde en la superficie r = b
Sin campo
en la
superficie
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Paréntesis derivadas parciales vectoriales
Ecuaciones vectoriales de utilidad en este caso (coordenadas cilíndricas)
función escalar
función vectorial
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Ecuación en coordenadas cilíndrica:
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Solución onda del campo eléctrico:
Jn es la función de Bessel de orden n
Condición de borde:
znp raíces de la función de Bessel de n orden. Solución que cumple condiciones de
borde
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Solución onda del campo magnético:
Jn es la función de Bessel de orden n
Condición de borde:
znp raíces de la función de Bessel de n orden. Solución que cumple condiciones de
borde
Las raíces de la solución para el campo eléctrico y magnético son distintas por lo que
no puede existir un modo en que existan simultáneamente componentes en z.
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Modos
Si
hablamos de ondas eléctricas transversales (TE) y sus modos se denota por TEnp
Si
hablamos de ondas magnéticas transversales (TM) y sus modos se denota por
TMnp
Como
Buscamos modos del tipo TM.
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Raíces:
Frecuencia cut-off
k real, oscilación
k imaginario, amortiguación
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Velocidades
Problema: la velocidad de grupo (partícula) es menor que la de fase (onda) con lo
que esta ultima sobrepasa a la primera no permitiendo la aceleración de partículas.
Para evitar esto se debe trabajar con otras condiciones de borde: la cavidad
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Caso con cavidad; solución general
r
d
con la condición de borde
lleva a que
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Los modos ahora son descritos por 3 parámetros; ejemplo TMnpj
TM010
TM011
siendo ahora el espectro discreto con:
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Trabajemos con la solución TM010:
como
y
nos da las soluciones
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Como la densidad de energía en la cavidad es:
Con las soluciones se
obtiene
Que en particular para el tiempo t=0 da
y la integral en la cavidad
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Guía de Ondas
Si se integra el producto de las funciones de Bessel se obtiene la energía
por cavidad:
Como la energía ganada por los electrones es igual a:
Se obtiene una relación entre el cuadrado de la energía ganada y la energía
contenida en la cavidad cuyo factor de proporcionalidad solo depende de la
geometría de la cavidad:
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Uso de Guía de Ondas
Synchrotron
Linac
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Construcción de la Guía de Ondas
d1 d2
d3
d4
dn
dn+1
1
3
4
n
n+1
2
Haz
Generador de
Radiofrecuencia
Rango MeV - GeV
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