Transcript Document

Pertemuan 8
Transformasi Linier
4.2
bilqis
1
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan
mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat mengetahui matriks-matriks yang
digunakan untuk transformasi linier
– Dapat mengetahui aplikasi transformasi linier
bilqis
2
Fungsi:
Pemetaan (mapping) dari himpunan A ke himpunan B
f
A
b
a
B
1.
Notasi f : A  B
2.
Himpunan A disebut DOMAIN(f)
3.
Himpunan B disebut CODOMAIN(f)
4.
Tiap elemen A dipasangkan dengan (associated with) satu elemen B
5.
Himpunan semua elemen b yang punya pasangan di A disebut RANGE(f)
6.
Notasi f(a) = b, b disebut bayangan (image) dari a
bilqis
3
f : Rn  Rm disebut transformasi dan ditulis
T : R n  Rm
T adalah transformasi linier jika
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
penjumlahan dua vektor
2. T(cu) = cT(u)
perkalian skalar dengan vektor
Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n
c adalah skalar
T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m
bilqis
4
T : Rn  Rm
T adalah transformasi linier jika
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
penambahan vektor
2. T(cu) = cT(u)
perkalian skalar dengan vektor
Catatan: u, v vektor-vektor di Ruang-n, c adalah skalar
T(u + v), T(u), T(v), T(cu), cT(u) vektor-vektor di Ruang-m
T
Rn
T(u)
u
Rm
T(v)
v
T(u+v)
u+v
T(cu)
cu
bilqis
5
Ex 1 hal 182
bilqis
6
bilqis
7
bilqis
8
bilqis
9
bilqis
10
bilqis
11
bilqis
12
bilqis
13
T:
n
R

m
R
Transformasi T dapat “digantikan” oleh perkalian matrix
(matrix A berukuran m x n)
(x1, x2, x3, …, xn)

(w1, w2, …, wm)
jika x = (x1, x2, x2, …, xn)T dan w = (w1, w2, …, wm)T
maka transformasi dapat “digantikan” dengan
persamaan: Ax = w
di mana A disebut matriks standar untuk transformasi linier T
bilqis
14
Bilqis 5.10
bilqis
15
bilqis
16
Ex 2 hal 183
bilqis
17
Pencerminan
operator
pencerminan
terhadap sumbu-x
ilustrasi
(x, y)
(w1, w2)
persamaan
w1 = x
matriks standar
= 1x + 0y
w2 = – y = 0x + (–1)y
bilqis
1
0
0
–1
18
Pencerminan
operator
pencerminan
terhadap garis y = x
ilustrasi
garis y = x
(w1, w2)
(x, y)
persamaan
matriks standar
w1 = y = 0x + 1y
0
1
w2 = x = 1x + 0y
1
0
bilqis
19
Pencerminan
operator
pencerminan
terhadap bidang xy
ilustrasi
z
(x, y, z)
y
(x, y, –z)
x
persamaan
matriks standar
w1 = x = 1x + 0y + 0z
1
0
0
w2 = y = 0x + 1y + 0z
0
1
0
w3 = –z = 0x + 0y + (–1)z
0
0
–1
bilqis
20
Pencerminan
operator
pencerminan
terhadap bidang xz
ilustrasi
z
(x, –y, z)
(x, y, z)
y
x
persamaan
matriks standar
w1 = x = 1x + 0y + 0z
1
0
0
w2 = y = 0x + (–1)y + 0z
0
–1
0
w3 = –z = 0x + 0y + 1z
0
0
1
bilqis
21
Pencerminan
operator
pencerminan
terhadap bidang yz
ilustrasi
z
(– x, y, z)
(x, y, z)
y
x
persamaan
w1 = x = –1x + 0y + 0z
matriks standar
–1
0
0
w2 = y = 0x + 1y + 0z
0
1
0
w3 = –z = 0x + 0y + 1z
bilqis
0
0
1
22
Proyeksi Ortogonal
operator
ilustrasi
proyeksi ortogonal
pada sumbu-x
(x, y)
(w1, w2) = (x, 0)
persamaan
matriks standar
w1 = x = 1x + 0y
1
0
w2 = 0 = 0x + 0y
0
0
bilqis
23
Proyeksi Ortogonal
operator
ilustrasi
proyeksi ortogonal
pada sumbu-y
(w1, w2)
(x, y)
= (0, y)
persamaan
matriks standar
w1 = 0 = 0x + 0y
0
0
w2 = y = 0x + 1y
0
1
bilqis
24
Proyeksi Ortogonal
operator
proyeksi ortogonal
pada bidang xy
ilustrasi
z
(x, y, z)
y
(x, y, 0)
x
persamaan
matriks standar
w1 = x = 1x + 0y + 0z
1
0
0
w2 = y = 0x + 1y + 0z
0
1
0
w3 = –z = 0x + 0y + 0z
0
0
0
bilqis
25
Proyeksi Ortogonal
operator
proyeksi ortogonal
pada bidang xz
ilustrasi
z
(x, y, z)
(x, 0, z)
y
x
persamaan
matriks standar
w1 = x = 1x + 0y + 0z
1
0
0
w2 = y = 0x + 0y + 0z
0
0
0
w3 = –z = 0x + 0y + 1z
0
0
1
bilqis
26
Proyeksi Ortogonal
operator
proyeksi ortogonal
pada bidang yz
ilustrasi
z
(0, y, z)
(x, y, z)
y
x
persamaan
matriks standar
w1 = x = 0x + 0y + 0z
0
0
0
w2 = y = 0x + 1y + 0z
0
1
0
w3 = –z = 0x + 0y + 1z
bilqis
0
0
1
27
Rotasi
operator
ilustrasi
rotasi dengan
(w1, w2)
sudut rotasi Ө
Ө
persamaan
(x, y)
matriks standar
w1 = x cos Ө – y sin Ө
x cos Ө
– y sin Ө
w2 = x sin Ө + y cos Ө
x sin Ө
y cos Ө
bilqis
28
Rotasi
operator
rotasi melawan arah
jarum jam dengan
sumbu rotasi z positif
dan sudut rotasi 
ilustrasi
z
y
(w1, w2, w3)
(x, y, z)
x
persamaan
matriks standar
w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z
cos 
w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z
sin 
cos 
0
0
0
1
w3 =
0x
+
0y
+ 1z
bilqis
–sin 
0
29
Rotasi
operator
rotasi melawan arah
jarum jam dengan
sumbu rotasi z positif
dan sudut rotasi 
ilustrasi
z
(x, y, z)

(w1, w2, w3)
x
persamaan
y
matriks standar
w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z
cos 
0
sin 
w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z
0
1
0
–sin 
0
w3 =
0x
+
0y
+ 1z
bilqis
cos 
30
Rotasi
operator
rotasi melawan arah
jarum jam dengan
sumbu rotasi z positif
dan sudut rotasi 
ilustrasi
z
(x, y, z)
(w1, w2, w3)

y
x
persamaan
matriks standar
w1 = (cos ) x + (–sin ) y + 0z
cos 
w2 = (sin ) x + (cos ) y + 0z
sin 
cos 
0
0
0
1
w3 =
0x
+
0y
+ 1z
bilqis
–sin 
0
31
Kontraksi
operator
Kontraksi ( penyusutan)
dengan faktor 0  k  1
ilustrasi
z
(x, y, z)
(w1, w2, w3)
y
x
persamaan
matriks standar
w1 = kx + 0y + 0z
k
0
0
w2 = 0x + ky + 0z
0
k
0
w3 = 0x + 0y + kz
0
0
k
bilqis
32
Dilasi
operator
Dilasi (pemuaian/perbesaran)
dengan faktor k > 1
ilustrasi
z
(w1, w2, w3)
(x, y, z)
y
x
persamaan
matriks standar
w1 = kx + 0y + 0z
k
0
0
w2 = 0x + ky + 0z
0
k
0
w3 = 0x + 0y + kz
0
0
k
bilqis
33
bilqis
34
bilqis
35
bilqis
36
Komposisi dua transformasi:
u
T1
v
T2
w
T2 ° T1
v = T1(u)
w = T2(v) = T2(T1(u)) = ( T2 ° T1 ) (u)
bilqis
37
Komposisi dua transformasi:
u
T1
v
T2
w
T2 ° T1
Matriks standar untuk T1 = A1
Matriks standar untuk T2 = A2
Matriks standar untuk T2 ° T1 = (A2)(A1)
bilqis
38
Komposisi dua / lebih transformasi:
Tr ° T r-1 ° ……..T2 ° T1
Contoh: u = (–3, 4)
1.
T1 refleksi terhadap sumbu-y
A1 =
2.
-1
0
0
1
T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x
A2 =
1
0
0
0
Hasilnya : (3, 0) ?
(cek dengan menghitung dan menggambar)
bilqis
39
Komposisi dua / lebih transformasi:
–3
Contoh: u =
4
1.
T1 refleksi terhadap sumbu-y
A1 =
-1
0
A1u = v =
0 1
2.
3
4
T2 proyeksi ortogonal pada sumbu-x
A2 =
1
0
0
0
A2  A1 =
A2 v = w =
3
0
–1 0
0
(A2  A1 ) u =
0
3
0
bilqis
40
bilqis
41
Ex 7 hal 193
bilqis
42
Ex 8 hal 194
bilqis
43
Ex. 5 hal 202
bilqis
44
PR 4.2
2,a
2.D
3
4.D
6.D
7.B
8.B
9.C
12.B
13.b
bilqis
45