Transcript Document

Pertemuan
8
2009
bilqis
1
The Basics of Counting
bilqis
2
Prinsip dasar:
Dua macam cara menghitung (counting)
1. Aturan Perkalian
The Product Rule
2. Aturan Penambahan
The Sum Rule
bilqis
3
Aturan Perkalian
Sebuah proses dibagi dalam beberapa subproses yang
berlanjut (subproses-1, subproses-2, …, dan seterusnya).
Jika subproses-1 dapat diselesaikan dalam n1 cara,
subproses-2 dapat diselesaikan dalam n2 cara,
……………..
subproses-p dapat diselesaikan dalam np cara,
maka ada
(n1) (n2) …..… (np)
cara untuk menyelesaikan proses tersebut
bilqis
4
Kaidah Perkalian
• Rule of Product
–
–
–
–
–
bilqis
Percobaan 1  p kemungkinan
Percobaan 2  q kemungkinan
Maka jika percobaan 1 dan 2 dilakukan
Maka terdapat p x q kemungkinan
P x q  jika perc. 1 dan 2 dilakukan scr
simultan
5
Contoh R O P
• Restauran menyediakan 5 makanan : nasi
goreng, roti, soto, sate, sop dan 3 jenis
minuman : susu, kopi, the. Jika setiap orang
boleh memesan 1 makan dan 1 minum,
berapakah kemungkinan pasangan makanan
dan minuman dpt di pesan ?
bilqis
6
Jawaban Soal R O P
Susu
Nasi goreng
kopi
teh
Susu
Roti
• Pasangan makanan
yang dapat di pesan
kopi
teh
Susu
Soto
kopi
teh
Susu
Sate
kopi
teh
Susu
Sop
bilqis
kopi
teh
7
Jawaban Soal R O P
• Pasangan makanan
yang dapat di pesan
– Nasi goreng
• Susu
• Kopi
• The
– roti
• Susu
• Kopi
• teh
bilqis
– soto
• Susu
• Kopi
• teh
– sate
• Susu
• Kopi
• teh
– sop
• Susu
• Kopi
• teh
8
Jawaban Soal R O P
• Pasangan makanan yang dapat di pesan :
– 15 pasang
• Orang harus memilih makanan dan
minuman,
• Sehingga dengan mengg aturan perkalian,
makanan dan minuman yang di pesan
adalah  15 pasang
bilqis
9
Contoh
0
0
1
....
• Ex:
9
– kursi di aula akan di beri nomor :
• Diawali huruf
• Diikuti dengan bil yang tidak lebih dari 50 ( < 50)
• Ex : A 14 , B 18
0
1
A
....
9
2
– Berapa jumlah max kursi yang dapat dinomeri
– Jawab :
3
• Kemungkinan huruf  26
• Angka kurang dari 50 
– Huruf kiri 0 1 2 3 4
– Huruf kanan  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
4
B
Idem
• Jadi jumlah maksimum kursi yang dinomori 26 x 5 x 10 = 1300
bilqis
10
Contoh
• Jika ada 10 pertanyaan, masing-masing bisa
di jawab B atau S, berapakah kemungkinan
kombinasi yang dapat dibuat ?
• Jawab
– 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210
bilqis
11
Contoh: lihat Example 1
Penomoran kursi di auditorium berbentuk satu huruf
disambung dengan integer positif tidak lebih dari 100.
n1 = 26, n2 = 100,
maka ada 2600 nomor kursi:
A001
B001
C001
…
…
Z001
bilqis
A002 …
B002 …
C002 …
A100
B100
C100
Z002 …
Z100
12
Contoh: lihat Example 7
Format nomor telepon NXX-NXX-XXXX
di mana N = 2 .. 9, X = 0 .. 9
NXX : 8 x 10 x 10
200, 201, …, 299
300, 301, …, 399
………
900, 901, …, 999
XXXX : 10 x 10 x 10 x 10
0000 … 9999
Contoh nomor telepon dengan format ini : 209-302-0089
Maka dengan format ini ada (800)(800)(10.000) =
6.400.000.000 nomor telepon
bilqis
13
Aturan Penambahan
Sebuah proses dapat dilakukan dalam beberapa cara,
tetapi cara-cara ini tidak dapat dilaksanakan pada waktu
yang sama.
Jika ada n1 cara-1,
n2 cara-2,
……………..
np cara-p,
maka ada
n1 + n2 + …..… + np
kemungkinan cara untuk menyelesaikan proses tersebut
bilqis
14
Kaidah Penjumlahan
• Rule of Sum
–
–
–
–
–
bilqis
Percobaan 1  p kemungkinan
Percobaan 2  q kemungkinan
Maka jika percobaan 1 atau 2 dilakukan
Maka terdapat p + q kemungkinan
P + q  jika perc. 1 dan 2 dilakukan scr tidak
simultan
15
Contoh: lihat Example 10
Dalam sebuah panitia, wakil dari suatu jurusan
bisa dipilih dari dosen atau dari mahasiswa.
Jurusan Matematika punya 37 dosen
dan 83 mahasiswa.
n1 = 37, n2 = 83
Maka ada 37 + 83 = 120 calon yang dapat
mewakili jurusan Matematika.
bilqis
16
Soal R O Sum
• Kahima dpt di pegang oleh angkatan 1997 atau
1998. Jika ada 45 angkatan 1997 dan 52 angkatan
1998, berapa cara memilih jabatan kahima
• Jawab :
– Kahima dari angk. 1997 atau 1998
– Kahima hanya satu, jadi caranya adalah menggunakan
+
– 45 + 52 = 97 cara
bilqis
17
Perluasan kaidah Perkalian dan
Penjumlahan
• Kaidah X dan + dpt diperluas menjadi lebih
dari 2 percobaan
• Sehingga hasil percobaan yang mungkin
terjadi adalah :
– Perkalian  p1 x p2 x p3 . . . pn
– Penjumlahan  p1 + p2 + p3 . . . pn
bilqis
18
Contoh soal
• Ex :
– Perpustakaan memp:
•
•
•
•
•
6 buku bhs inggris
8 buku bhs perancis
10 buku bhs jerman
Masing-masing buku berbeda judul
Bagaimana cara memilih :
– 3 buah buku, masing-masing dari bhs yang berbeda
– 1 buah buku sembarang bahasa
bilqis
19
Contoh soal
• Jawaban :
– Jumlah cara memilih 3 buah buku, masingmasing dari tiap bahasa adalah : 6 x 8 x 10 =
480 cara
– Jumlah cara memilih satu buah buku dari
sembarang bahasa  6 + 8 + 10 = 24 cara
bilqis
20
Contoh soal
• Password panjangya 6-8 digit. Boleh angka
ataupun huruf. Tidak membedakan huruf
besar dan kecil. Berapa banyak password yg
dpt dibuat ?
• Jawab :
– Banyak huruf  26
– Banyak angka  10,
– jadi total 36 karakter
bilqis
21
Contoh soal
• Jawab :
– Untuk password panjang 6 digit , jumlah
kemungkinan password :
• 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 6 =2.176.782.336
– Untuk password panjang 7 digit , jumlah
kemungkinan password :
• 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 7
=78.364.164.096
bilqis
22
Contoh soal
– Untuk password panjang 8 digit , jumlah kemungkinan
password :
• 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 * 36 = 36 8
=2.821.109.907.456
– Sehingga jumlah total password adalah
2.901.650.833.888
bilqis
23
Diagram pohon:
Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian.
Contoh: lihat Example 17
Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi
substring “11” ?
Daftar bit-string dengan panjang 4
bilqis
0000
0100
1000
1100
0001
0101
1001
1101
0010
0110
1010
1110
0011
0111
1011
1111
24
0
1
0
0
0
1
1
1
bilqis
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
25
Soal 48 halaman 312:
Dengan diagram pohon, hitung berapa bit-string dengan
panjang 4 tidak berisi substring “000”
0000
0100
1000
1100
0001
0101
1001
1101
0010
0110
1010
1110
0011
0111
1011
1111
Gambarkan tree-nya.
bilqis
26
Prinsip Rumah Merpati
(The Pigeonhole Principle)
bilqis
27
Prinsip rumah merpati
(the pigeonhole principle):
Jika (k+1) obyek ditempatkan dalam k kotak, maka
paling sedikit satu kotak berisi dua atau lebih obyek
Obyek  merpati (pigeons)
Kotak  rumah merpati (pigeonholes)
bilqis
28
Contoh: examples 1 – 3 halaman 313
1. Jika ada 367 orang, maka minimal ada berapa
orang yang lahir pada tanggal yang sama ?
Jawab  2 orang
367 orang  merpati
 rumah merpati
366 hari
1. Jika paling sedikit ada 2 kata yang dimulai dengan
huruf yang sama, maka minimal ada berapa kata ?
Jawab  27 kata.
27 kata
bilqis
 merpati
26 huruf  rumah merpati
29
3. Jika nilai ujian 0 . . 100, berapa banyak minimal
mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya
paling sedikit ada dua orang yang nilainya sama ?
Jawab  102 mahasiswa
bilqis
102 mahasiswa
 merpati
101 nilai (0..100)
 rumah merpati
30
• Example 1: among any group of 367
people, there must be at least two people
with the same birthday, because there are
only 366 possible birthday
• Example 2: If you have 6 classes from
Monday to Friday, there must be at least
one day on which you have at least two
classes.
bilqis
31
Bentuk umum prinsip rumah merpati
(the Generalized Pigeonhole Principle)
Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka
paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k
obyek
Contoh :
10 buah jeruk ditempatkan dalam 6 keranjang
N = 10, k = 6
Kalau penempatannya “merata” dan tidak ada keranjang
yang kosong, maka distribusinya sbb.:
1
bilqis
1
2
2
2
2
32
Bentuk umum prinsip rumah merpati
(the Generalized Pigeonhole Principle)
Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit
satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek
Bukti (dengan kontradiksi)
Asumsi: tidak ada kotak yang berisi lebih dari N/k -1
maka total obyek tidak lebih dari k ( N/k -1)
k ( N/k – 1) < k ( ( N/k + 1) – 1) karena N/k < N/k + 1
k ( N/k – 1) < k (N/k) atau total obyek < N
Padahal total obyek = N
Maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek (terbukti)
bilqis
33
(N/k)
(N/k)+1




N/k
40/3 = 13 1/3
40/3
12
bilqis
13
14
15
34
Contoh 5 & 6 halaman 315:
5. Jika ada 100 orang, paling sedikit ada
berapa orang yang lahir pada bulan
yang sama ?  100/12 = 9 orang .
6. Jika ada nilai A, B, C, D, E dan dalam
suatu kelas ada paling sedikit 6 orang
yang mendapat nilai sama. Berapa
minimal mahasiswa di kelas itu ? 
minimum 26 orang.
A:5
bilqis
B:5
C:5
D:5
E:5
25 + 1
35
Jawab : N/5 = 6, è N/5 adalah pembulatan keatas, jadi N = 5.5 + 1 = 26
The Pigeonhole Principle
•Example 3: Assume you have a drawer containing a
random distribution of a dozen brown socks and a dozen
black socks. It is dark, so how many socks do you have to
pick to be sure that among them there is a matching pair?
•There are two types of socks, so if you pick at least 3
socks, there must be either at least two brown socks or at
least two black socks.
bilqis
36
• Di dalam laci ada :
– 1 lusin kaos kaki putih
– 1 lusin kaos kaki hitam
Lampu mati. Saya ingin memakai sepasang kaos
kaki, tidak masalah apakah sepasang kaos kaki
putih atau hitam.
Berapa kali saya harus mengambil kaos kaki di
laci, agar saya yakin saya sudah mendapatkan
sepasang kaos kaki ?...
 3 kali ambil
bilqis
37
PR (lihat buku)
• 4.1  5, 9, 11, 13, 21, 27, 31
• 4.2  5, 9, 15, 19
bilqis
38