Transcript Matematički opis talasa

Mehanički talasi
Tipovi mehaničkih talasa
• Mehanički talasi su poremećaji koji putuju kroz materijale ili
supstance koje zovemo sredina ili medijum za talase.
• Oni putuju kroz sredinu pomijerajući čestice te sredine
• putuju okomito na ili u pravcu kretanja čestica ili
kombinujući oba ova načina
Transverzalni talasi:
Talasi u užetu.
longitudinalni talasi:
Zvučni talasi.
Talasi u vodi etc.
Tipovi mehaničkih talasa
 Longitudinalni
i transverzalni talasi
Zvučni talas = longitudinalni talas
C = zgušnjavanje Zrak stisnut
R = razrjeđivanje Zrak razrijeđen
Tipovi mehaničkih talasa
 Longitudinalno-transverzalni
talasi
Tipovi mehaničkih talasa
 Periodični
(harmonijski) talasi
• Kada se čestice sredine u talasu periodično kreću tokom
širenja talasa, takav talas se zove periodični (harmonijski).
Talasna dužina
l
A amplituda
t=0
x=0
t=T/4
t=T
period
x
Matematički opis talasa
 Funkcija
talasa
• Talasna funkcija opisuje pomijeranje čestica u talasu
u zavisnosti od vremena i njihovog položaja:
y(x,t), y je pomijeranje na mjestu x u trenutku t
• Kosinusni talas je opisan funkcijom:
y ( x, t )  A cos[ (t  x / v )]
A cos[ ( x / v  t )]
 A cos2 f ( x / v  t )
Ugaona frekvencija 
  2 f
fl  v
Kosinusni talas koji se kreće
u +x pravcu
Brzina talasa, NE čestice
sredine
 A cos2 ( x / l  t / T )
Talasna dužina
y ( x, t )  A cos[(t  v / x)]
period
f  1/ T
Kosinusni talas koji se
Kreće u -x pravcu v->-v
Fazna brzina
Matematički opis talasa
 Talasna
funkcija
y ( x, t )  A cos2 ( x / l  t / T )
l
Talasna dužina
 y( x  l , t )
 y ( x, t  T )
t=0
x=0
t=T/4
t=T period
x
Matematički opis talasa
 talasni
broj i fazna brzina
Talasni broj:
k  2 / l
y ( x, t )  A cos(kx  t )
faza
Brzina talasa je brzina kojom se kreće tačka s datom fazom
Tako je za fiksiranu fazu,
kx  t  const .
dx / dt   / k  v
Brzina faze – fazna brzina
y( x, t )  A cos(kx  t )  A cos[k ( x  vt)]
Matematički opis talasa
 Brzina
čestice i ubrzanje u harmonijskom talasu
y ( x, t )  A cos(kx  t )
v y ( x, t )  y ( x, t ) / t  A sin(kx  t )
brzina
a y ( x, t )   2 y ( x, t ) / t 2   2 A cos(kx  t )
  2 y ( x, t )
Takođe je
ubrzanje
2 y( x, t ) / x2  k 2 Acos(kx  t )  k 2 y( x, t )
 2 y ( x, t ) / x 2  (k 2 /  2 ) 2 y ( x, t ) / t 2
  y ( x, t ) / v t
2
2
2
Jednačina talasa
Matematički opis talasa
 Opšte
rješenje talasne jednačine
 2 y ( x, t ) k 2  2 y ( x, t )  2 y ( x , t )
 2
 2 2
2
2
x

t
v t
rješenja:
y( x, t )  f ( x  vt)
Kao što je
Talasna jednačina
cos(kx  t )
Najopštiji oblik rješenja:
y( x, t )  f ( x  vt)  g ( x  vt)
Brzina transverzalnog talasa
 brzina
talasa na užetu
F2 y
•Masa tog segmenta je
F1x  F
F1
F2
•Posmatrajmo mali segment užeta čija je
dužina u ravnotežnom položaju  x.
F1 y
m  x.
F2 x  F • x komponenta sile zatezanja na oba kraja
 x x  x
x
2. Njutnov zakon
ima istu veličinu i suprotnog je smjera pošto je
Ovo transverzalni talas.
• F1y / F  (y / x) x , F2 y / F  (y / x) xx
• Ukupna komponenta sile:
Fy  F1 y  F2 y  F [(y / x ) x x  (y / x ) x ]
 x( 2 y / t 2 )
masa
ubrzanje
Brzina transverzalnog talasa
 brzina talasa na užetu
F2 y
F
F1
• Ukupna komponenta sile je:
F2
Fy  F1 y  F2 y  F [(y / x ) x x  (y / x ) x ]
 x( 2 y / t 2 )
F
F1 y
[(y / x) x x  (y / x) x ] / x 
x
(  / F )( 2 y / t 2 )
x  0
x
2 y / x2  (  / F )(2 y / t 2 )
v
F / 
( restoring force) /(inertia)
Talasna j.
Energija talasa
 Ukupna
F2 y
F1
F a
F1 y
energija malog segmenta užeta mase dm  dx
F2
F
x
x
  vk, v 2  F1 / 
• U tački a, sila F1 y vrši rad na segment
užeta desno od tačke a.
• snaga je brzina vršenja rada :
P( x, t )  F1 y ( x, t )(y ( x, t ) / t )
t 0
  F1 (y ( x, t ) / x)(y ( x, t ) / t )
y ( x, t )  A cos(kx  t )
(y / x )  kA sin(kx  t )
(y / t )  A sin(kx  t )
P( x, t )  dE / dt  F1kA2 sin 2 (kx  t )
 v 2 A2 sin 2 (kx  t )
 F1 2 A2 sin 2 (kx  t )
Energija talasa
 Kinetička
energija malog segmenta užeta mase dm  dx
Talasna funkcija:
y ( x, t )  A cos(kx  t )
Kinetička energija:
dK  (1 / 2)dm(y / t )2
dx Asin(kx  t )
dK  (1 / 2) dxA sin(kx  t )
dK / dt  (1 / 2)  (dx / dt) 2 A2 sin 2 (kx  t )
 (1 / 2) v 2 A2 sin 2 (kx  t )
 Kinetička energija malog segmenta užeta mase dm
dE / dt  dK / dt  dU / dt
dU / dt  (1 / 2)v2 A2 sin2 (kx  t )
Energija talasa
 Maksimalna
snaga harmonijskog talasa na užetu:
Pmax  F12 A2
 Srednja
snaga harmonijskog talasa na užetu
2
sin
(kx  t ) U toku perioda
• srednja vrijednost od
1
2

2
0
1
2
sin  d 
2
• Pa je srednja vrijednost snage :
je:
Pave  (1/ 2) F12 A2
Intenzitet talasa
 Intenzitet
talasa za trodimenzionalni talas koji nastaje iz
tačkastog izvora je:
P
I
2
4r
r1
in unit of W/m
4r I  4r I
2
1 1
r2
I1 r22
 2
I 2 r1
2
2 2
2
Interferencija talasa, rubni uslovi i
superpozicija
 Principi
superpozicije
• Kad se dva talasa preklope, stvarno pomijeranje bilo koje tačke
u bilo kojem vremenu se dobije dodavanjem pomijeranja koje bi
tačka imala pod utjecajem samo prvog talasa i pomjeranja koje bi ona
imala pod utjecajem samo drugog talasa:
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )
Interferencija talasa, rubni uslovi i
superpozicija
 Interferencija
• Konstruktivna interferencija (positivno-positivno ili negativno-negativno)
• Destructivna interferencija (positivno-negativno)
Interferencija talasa, rubni uslovi i
superpozicija
 Refleksija
• slobodni kraj
Upadni talas
Reflektovani talas
y( x, t )  A cos(k x  t )  B cos(k x  t )
Za x<xB
xB
At x=xB (y( x, t ) / x) x xB  0  B   A
Vertikalna komponenta sile
Na rubu je nula
Interferencija talasa, rubni uslovi i
superpozicija
 Refleksija
• Fiksirani kraj
y( x, t )  A cos(k x  t )  B cos(k x  t )
For x<xB
At x=xB
y( x, t ) x xB  0  B   A
Pomijeranje na granici je nula
Interferencija talasa, rubni uslovi i
superpozicija
 Refleksija
• Na visikoj/niskoj frekvenciji
Interferencija talasa, rubni uslovi i
superpozicija
 Refleksija
• Na niskoj/visokoj frekvenciji
Stojeći talasi na užetu
 Superpozicija
dva talasa koja se kreću u istom smjeru
 Superpozicija dva talasa koja se kreću u suprotnom smjeru
Stojeći talasi na užetu
 Superpozicija
dva talasa koji se kreću u suprotnom smjeru
stvara stojeći talas ako dva talasa imaju istu brzinu i
talasnu dužinu.
incident reflected
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )
  A cos(kx  t )  A cos(kx  t )
 2 A(sin k x)(sint )
N=čvor, AN=antičvor
sin kx  0 when kx  n
or x  n / k  nl / 2
(n  0,1,2,..)
Normalni modovi na žici
 Ima
beskonačno mnogo modova na žici
l1 / 2
Ln
l
2
( n  1,2,3,...)
l2
first
ln  2 L / n
overtone
3l3 / 2
second
overtone
v
1
fn  n
 f1 
2L
2L
2 l4
third
overtone
Fiksirani kraj
L
Fiksirani kraj
F

PRIMJERI
Zadatak 1: Transverzalni talas na užetu je opisan sa:
y( x, t )  (0.750cm) cos [(0.400cm1 ) x  (250s 1 )t ]
(a) Naći amplitudu, period, frekvenciju, talasnu dužinu, i brzinu
prostiranja.
(b) Skiciraj oblik užeta za slijedeće vrijednosti od t: 0.0005 s, i 0.0010 s.
(c) Da li talas putuje u +x or –x smjeru ? (d) Podužna masa (masa
jedinice dužine) užeta je 0.0500 kg/m. Naći silu zatezanja.
(e) Naći srednju snagu ovog talasa.
Rješenje: Upoređivanjem sa općom jednačinom funkcije talasa ),
y( x, t )  A cos2 ( x / l  t / T )
A=0.75 cm, l=2/0.400 = 5.00 cm, f=125 Hz, T=1/f=0.00800 s i v=lf=6.25 m/s.
(b) Za domaću zadaću
(c) Talas se prostire u –x pravcu.
(d) Iz izraza v  ( F /  )
sila zatezanja je: F  v2  (0.050kg / m)(6.25m / s)2  19.6 N.
(e)
Pav  (1/ 2) F2 A2  54.2 W.
Zadatak 2: Kada se transverzalni sinusiodalni talas prostire kroz žicu
čestice žice prave proste harmonijske oscilacije - SHM. Ovo je ista vrsta
kretanja kao što je ono koje vrši masa m prikačena na idealnu oprugu
konstante k čija je frekvencija oscilovanja   k ' / m
.
Posmatrajmo uže zategnuto silom F koje ima podužnu masu , duž
kojeg se prostire sinusoidalni talas amplitude A i talasne dužine l.
(a) Naći konstantu elastičnosti k’ restitucione sile na malom segmentu
žice x (where x << l).
(b) Kako konstanta k’ (a) zavisi od F, , A i l? Objasni fizikalni razlog za
ovakvu zavisnost.
Rješenje:
(a) y( x, t )  Acos(kx  t ), ay  2 y / t 2  2 y
k '  m2  x2 .
rješenje
(b) 2  (2f )2  (2v / l )2  (4 2 F ) /(l2 ).
Pa je
k '  (4 2 F / l2 )x.
Efektivna konstanta k’ ne zavisi od amplitude, pošto se radi o prostom
harmonijskom oscilatoru , i proporcionalna je naponu koji stvara
restituciona sila. Faktor 1/l2 znači da zakrivljenost žice stvara
restitucionu silu na segmentu žice:
Jedan faktor u iznosu od 1/l nastaje zbog zakrivljenosti, a faktor 1/(l)
predstavlja masu u jednoj talasnoj dužini koja određuje frekvenciju
ukupnog oscilovanja žice. Masa m=x takođe sadrži faktor , pa je
zato efektivna konstanta opruge po jedinici dužine nezavisna od .
Zadatak 3:
(a) Objasni zašto se talas opisan funkcijom oblika
y(x,t)=f(t-x/v) kreće u +x smjeru brzinom v.
(b) Pokaži da y(x,t)=f(t-x/v) zadovoljava talasnu jednačinu, bez obzira
kakav je oblik funkcije f. Da bi to uradili napišite y(x,t)=f(u), gdje je
u=t-x/v. Zatim, da bi napravili parcijalni izvod od y(x,t), koristi pravilo:
y ( x, t ) df (u ) u df (u )


,
t
du t
du
y ( x, t ) df (u ) u df (u ) 1


(  ).
x
du x
du
v
C2 ( t ( B / C ) x )2
f (u)  De
(c) Impulsni talas je opisan funkcijom
gdje su B, C, i D su pozitivne konstante. Naći brzinu ovog talasa?
Rješenje:
Rješenje
(a) Tokom vremena, neko ko se kreće sa talasom bi trebao da se kreće
tako da izgleda kao da talasi imaju isti oblik. Ako se ovo kretanje može
opisati sa x=vt+c, gdje je c konstanta, tada je y(x,t)=f(c/v),
and the waveform is the same to such an observer.
(b) Izvod se kompletira sa
2 y / x2  (1 / v2 )(d 2 f / du2 ),
2 y / t 2  (d 2 f / du2 ).
tako da je y(x,t)=f(t-x/v) rješenje talasne jednačine sa brzinom talasa v.
C ( t ( B / C ) x )
f (u) 
(c) Ona je oblika y(x,t)=f(u) with u=t-x/v i rezultat pod
b)Dese
može
iskoristiti da se odredi brzina v=C/B.
2
2
Zadatak 4
Metalna žica, gustine r i Youngovog modula Y, je zategnuta između
čvrstih držača. Na temperaturi T, brzina transverzalnog talasa je v1.
When the temperature is increased to T+T, brzina opadne na v2 < v1.
Odrediti koeficijent linearnog širenja žice.
Uzeti u obzir da se žica izdužuje porastom temperature po zakonu:
L  L0T .
Rješenje
 L 
stress F / A L
Y

,
 T  F  AY    AYT
strain L / L0 L0
 L0 
v12  F1 / , v22  F2 /   ( F1  YAT ) / .
  (v12  v22 ) /[Y ( A /  )T ]  (v12  v22 ) /[( y / r )T ].