Transcript Risk Management - Ingénierie Economique et Financière

Le modèle de Black Litterman
Ingénierie Economique et Financière, Paris-Dauphine
L’optimisation moyenne-variance






Inputs :
rendements
volatilités
corrélations
calcul de la frontière des portefeuilles
efficients
résultat : sélection du portefeuille
optimal sur la frontière
Conséquences



Conséquence de la structure des modèles
des prévisions sont nécessaires sur les
rendements moyens, les volatilités, les
corrélations futurs.
en général, les optimisateurs utilisent soit
les variables historiques, soit permettent de
créer ses propres prévisions.
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Les valeurs historiques comme
prévisions



Justification : stationnarité (présumée)
des rendements  littérature sur la
marche aléatoire des rendements et des
prix
Avantage : simplicité
Inconvénient : la structure des
portefeuilles efficients
Un exemple


Source : Zephyr Allocation Advisor
Données 1986-1995



Leçons des simulations sur données
historiques :
les portefeuilles sont très concentrés;
les allocations sont très sensibles aux
prévisions.
Les alternatives



Les méthodes de resampling
(rééchantillonages)
Les approches bayésiennes dont
Le modèle de Black & Litterman (1992)
est un cas particulier.
Le resampling



Une technique Monte Carlo pour estimer les
inputs de l’optimisation moyenne variance
et éventuellement la frontière.
Elle conduit à des portefeuilles diversifiés.
Elle est une technique brevetée par Richard
Michaud depuis 1999.
La procédure



Estimation du rendement, des écart-types
et des corrélations.
Nouvelles simulations calibrées sur les
statistiques précédentes conduisant à de
nouvelles estimations.
Estimations des portefeuilles efficients
correspondants à ces nouvelles estimations
et pour différents niveaux de volatilité.
La procédure (suite)



Répétition de 2 et 3 (>1000 simulations)
Calcul de l’allocation moyenne ainsi obtenu
et estimation du rendement moyen pour
chaque niveau de volatilité.
Détermination de la « frontière
rééchantillonnée » à l’aide du portefeuille
moyen et des statistiques initiales.
Critique du resampling




Critiques de Scherer (2002):
les portefeuilles obtenus subissent les
erreurs d’estimation initiales.
L’absence de théorie – pourquoi choisir les
« portefeuilles rééchantillonnées ».
la frontière obtenue peut comporter des
parties croissantes.
Critique du resampling (2)


En l’absence d’opinions, le resampling conduit
à des écarts par rapport au benchmark et
donc à une gestion active – mais pourquoi
prendre un pari sans avoir de raisons ou
d’opinions?
A la différence de B&L et des approches
bayésiennes, il n’existe pas de cadre théorique
permettant de mixer opinions et données
Le resampling peut conduire à de fortes variations au
cours du temps.
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Le modèle de B&L

L’objectif : un cadre permettant de
mixer les informations issues des
données et les opinions.
Les rendements implicites



Un point de départ de Black &
Litterman :
les rendements implicites
(ou d’équilibre, du CAPM, le consensus,
etc.)
Les rendements implicites

Sharpe (1974) « Imputing expected
security returns from portfolio
composition », Journal of Financial &
Quantitative Analysis, June, pp. 463-72



Deux approches pour déterminer le
rendement implicite
le CAPM  le rendement implicite = le
rendement théorique défini notamment
par le béta
l’optimisation inverse (Sharpe (1974))
L’optimisation inverse

Les conditions marginales (avec actif
sans risque)
wmkt
Où
mkt
marché
w
est le portefeuille de
L’optimisation inverse (suite)
Le coefficient d’aversion au risque
R
B rf

 B2
Le portefeuille de marché
US Bonds
Global Bonds xUSD
World Equity xUS
Emerging Equity
US Large Cap Growth
US Large Cap Value
US Small Cap Growth
US Small Cap Value
$8,360,741,000,000
$11,583,275,710,000
$9,212,460,000,000
$964,647,000,000
$5,217,844,438,500
$5,217,844,438,500
$459,897,061,500
$459,897,061,500
20.16%
27.93%
22.21%
2.33%
12.58%
12.58%
1.11%
1.11%
Total
$41,476,606,710,000
100.00%


Le point de la frontière efficiente dont le
ratio de Sharpe est le plus élevé est
supposé être le benchmark efficient.
Les rendements implicites constituent
les valeurs de référence de Black &
Litterman.
Le modèle de Black & Litterman


Fischer Black & Robert Litterman « Global Portfolio
Optimization », Financial Analysts Journal,
September / October 1992, pp. 28-43
Robert Litterman and the Quantitative Resources
Group, GS Asset Management Modern Investment
Management : an equilibrium approach, John
Wiley & Sons, 2003


Le problème de la prise en compte
d’opinions différentes du consensus.
La solution de B&L : la combinaison des
opinions et du consensus
Le mécanisme de B&L




Évaluation des « rendements du
marché » par l’optimisation inverse
Prise en compte des opinions :
opinion absolue : « l’actif A aura un
rendement de x% »
opinion relative : « l’actif A surperformera l’actif B par x points de % »
La formule de B&L
La détermination du rendement espéré:
 un scalaire mesurant le poids accordé au
rendement d’équilibre
P la matrice des opinions (KxJ) définissant
les actifs impliqués dans chaque opinion
la matrice de covariance des erreurs dans
les opinions
Q le vecteur des opinions (Kx1)

La formule de B&L
E[R]

1
T

1
()  P  Q
()1 PT 1P
Un exemple (Idzorek)
Portfolio
0.08%
0.67%
6.41%
4.08%
7.43%
3.70%
4.80%
6.60%
Implied
Equilibrium
Return
Vector
0.08%
0.67%
6.41%
4.08%
7.43%
3.70%
4.80%
6.60%
Asset Class
US Bonds
Int’l Bonds
US Large Growth
US Large Value
US Small Growth
US Small Value
Int’l Dev. Equity
Int’l Emerg. Equity
Historical
3.15%
1.75%
-6.39%
-2.86%
-6.75%
-0.54%
-6.75%
-5.26%
CAPM
CAPM GSMI
0.02%
0.18%
5.57%
3.39%
6.59%
3.16%
3.92%
5.60%
Weighted Average
Standard Deviation
-1.97%
3.73%
2.41%
2.28%
3.00%
2.53%
3.00%
2.53%
High
Low
3.15%
-6.75%
6.59%
0.02%
7.43%
0.08%
7.43%
0.08%
Asset Class
US Bonds
Int’l Bonds
US Large Growth
US Large Value
US Small Growth
US Small Value
Int’l Dev. Equity
Int’l Emerg. Equity
Weight
Based on
Historical
1144.32%
-104.59%
54.99%
-5.29%
-60.52%
81.47%
-104.36%
14.59%
Weight
Based on
Weight
Implied
Based on
Equilibrium
CAPM GSMI Return
wGSMI
Vector
21.33%
19.34%
5.19%
26.13%
10.80%
12.09%
10.82%
12.09%
3.73%
1.34%
-0.49%
1.34%
17.10%
24.18%
2.14%
3.49%
Market
Capitalization
Weight
19.34%
26.13%
12.09%
12.09%
1.34%
1.34%
24.18%
3.49%
High
Low
1144.32%
-104.59%
21.33%
-0.49%
26.13%
1.34%
26.13%
1.34%
Un exemple




3 opinions :
Intern’ Developped Equity va avoir un
rendement excédentaire de 5.25%
(confiance = 25%)
Intern’ Bonds vont sur-performer les US
Bonds par 25 pts (confiance = 50%)
US Large Growth et US Small Growth vont
sur-performer US Large Value et US Small
par 2% (confiance = 65%)
Mise en oeuvre
5,25 1 
Q 0,25 2

3
2





La matrice de covariance des erreurs des opinions
1 0 0 
 0 2 0 
0
0

3


La matrice de « participation »
Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)
P
0
-1
0
0
1
0
0
0
0,5
0
0
-0,5
0
0
0,5
0
0
-0,5
1
0
0
0
0
0
Idzorek
0
-1
0
0
1
0
0
0
0,9
0
0
-0,9
0
0
0,1
0
0
-0,1
1
0
0
0
0
0

Variances des « individual portfolio
view »
p1p12,836%
p2p20,563%
p3p33,462%



et  ?
La solution de He & Litterman (1999)
k /  pkpk
Numériquement :
 0,025
0
0,000709 0


0
0,000141 0

0
0
0,000866

Asset Class
US Bonds
Int’l Bonds
US Large Growth
US Large Value
US Small Growth
US Small Value
Int’l Dev. Equity
Int’l Emerg. Equity
New
Combined
Return
Vector
0.07%
0.50%
6.50%
4.32%
7.59%
3.94%
4.93%
6.84%
Implied
Equilibrium
Return
Vector
0.08%
0.67%
6.41%
4.08%
7.43%
3.70%
4.80%
6.60%
Difference
-0.02%
-0.17%
0.08%
0.24%
0.16%
0.23%
0.13%
0.24%
Sum
New
Weight
29.88%
15.59%
9.35%
14.82%
1.04%
1.65%
27.81%
3.49%
103.63%
Market
Capitalization
Weight
19.34%
26.13%
12.09%
12.09%
1.34%
1.34%
24.18%
3.49%
100.00%
Difference
10.54%
-10.54%
-2.73%
2.73%
-0.30%
0.30%
3.63%
0.00%
3.63%
Propriété de BL:
La déformation du portefeuille induit par
la prise en compte des opinions dépend
de l’importance relative des surperformances (selon l’opinion et le
rendement implicite)
Exemple de l’opinion 3

Opinon 3 : actifs sur-performants
Asset Class
US Large Growth
US Small Growth
Market
CapitalizationRelative
(Billions) Weight
$5,174
90.00%
$575
10.00%
$5,749
100.00%
Implied
Equilibrium
Return
Vector
P
6.41%
7.43%
Total
Weighted
Excess
Return
5.77%
0.74%
6.52%
Opinon 3 : actifs sur-performants
Asset Class
US Large Value
US Small Value
Market
CapitalizationRelative
(Billions) Weight
$5,174
90.00%
$575
10.00%
$5,749
100.00%
Implied
Equilibrium
Return
Vector
P
4.08%
3.70%
Total
Weighted
Excess
Return
3.67%
0.37%
4.04%
Un exemple



Mêmes données que précédemment
L’opinion : US Equity sur-performera
World Equity par 150 pts
Avec une confiance de 75%