Transcript ppt
Le modèle de Black & Litterman Equilibre et croyances Les motivations du modèle de BlackLitterman La performance limitée des exercices d’optimisation. In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black: o “Our asset allocation optimizer is extremely sensitive to its inputs. What can we do?” Les fondements statistiques Mixer diverses informations Les fondations statistiques La réponse statistique : Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation” Les fondations statistiques Les fondations statistiques Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information : La théorie économique Pour Fischer Black, le CAPM décrivait l’état autour duquel devait graviter l’économie réelle. Les fondations statistiques Exemples de seconde source d’information (suite) : Des opinions informées (views) Sur les niveaux des rendements Sur les différences des rendements. Exemples de views Un univers de 3 titres 1, 2, 3 2 opinions d’analystes financiers : Le rendement moyen du titre 1 est de 5% Celui du titre 3 de -2% Comment entrer ces opinions dans un modèle économétrique? Exemples de views Exemples de views Exemples de views Dont la matrice P décrit les portefeuilles associées aux views Si l’on a N views et J titres alors P sera une matrice (N,J) Dans l’exemple, P sera alors Exemples de views L’équation sera donc : Exemples de views Un exemple de views relatives 2 opinions d’analystes financiers : Le rendement moyen du titre 2 dépassera celui du titre 3 de 2% Le rendement des valeurs bancaires (par exemple le titre 1) sera inférieur de 2% à celui des valeurs technologiques (les titres 2 et 3 dans notre univers). Exemples de views Exemples de views L’équation sera donc : Les fondations statistiques Les fondations statistiques Les fondations statistiques Les fondations statistiques Pour le système : Les fondations statistiques Pour le système : Les fondations statistiques Pour le système : Le modèle de B & L Black & Litterman (1992) Black and Litterman (1992) “Global Portfolio Optimization” use the same formula to combine a prior, “Equilibrium” with an investor’s “Views” Le modèle de B&L L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions, Notamment pour gérer les erreurs d’estimation B & L : un a priori L’ « information » additionnelle de Black & Litterman : l’a priori que l’économie doit graviter autour du CAPM, Donc les rendements des titres doivent être liées à ceux du CAPM B & L : un outil L’estimation mixte Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation” La formule de B&L La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé au rendement d’équilibre P la matrice des opinions (KxJ) définissant les actifs impliqués dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans les opinions Q le vecteur des opinions (Kx1) La formule de B&L E[R] 1 T 1 () P Q ()1 PT 1P B&L Comment calculer les rendemnts du CAPM? Quelles views? Les rendements du CAPM Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing expected security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 46372 Deux approches pour déterminer le rendement implicite le CAPM le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta l’optimisation inverse (Sharpe (1974)) L’optimisation inverse Les conditions marginales (avec actif sans risque) wmkt w Où mkt est le portefeuille de marché L’optimisation inverse (suite) Le coefficient d’aversion au risque R B rf B2 Le portefeuille de marché US Bonds Global Bonds xUSD World Equity xUS Emerging Equity US Large Cap Growth US Large Cap Value US Small Cap Growth US Small Cap Value $8,360,741,000,000 $11,583,275,710,000 $9,212,460,000,000 $964,647,000,000 $5,217,844,438,500 $5,217,844,438,500 $459,897,061,500 $459,897,061,500 20.16% 27.93% 22.21% 2.33% 12.58% 12.58% 1.11% 1.11% Total $41,476,606,710,000 100.00% Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient. Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman. Quelles views ? Par exemple : les rendements historiques (bruités) La contribution de B & L : « ancrer » les données observées à la théorie pour filtrer le bruit. Un exemple A partir d’un échantillon initial Resampling des données pour créer des échantillons artificiels Et comparaison des résultats obtenus en appliquant Markowitz, Black & Litterman, ou en sélectionnant le portefeuille equipondéré. périodicité début fin observ. capitalisati on US LARGE CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 21,74% US MID CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 3,02% US SMALL CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61% US LARGE CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 18,01% US MID CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61% US SMALL CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 1,85% EM ASIA mensuelle déc-92 sept-07 177 3,19% EM EUROPE mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61% EM LATIN AMERICA mensuelle déc-92 sept-07 177 2,12% EMU mensuelle déc-92 sept-07 177 19,25% JAPAN mensuelle déc-92 sept-07 177 15,62% UNITED KINGDOM mensuelle déc-92 sept-07 177 10,36% nom Markowitz Eu ratio de Sharpe equipondér é 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06% 2,53% marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86% 2,43% optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83% moyenne 3,10% 0,55 12,23% 18,40% -18,03% 3,58% écart-type 5,28% 0,20 2,80% 5,18% 8,37% 1,84% 5,00% -6,84% 0,17 6,67% 12,75% -32,53% 0,47% 25,00% -1,22% 0,42 11,26% 13,61% -25,17% 1,98% 50,00% 4,65% 0,57 12,73% 17,23% -16,16% 3,61% 75,00% 7,60% 0,70 14,21% 22,10% -10,38% 4,96% 95,00% 9,65% 0,85 16,25% 29,50% -7,90% 6,65% Er volatilité VAR 5% TE BL Eu ratio de Sharpe equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06% marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86% optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83% moyenne 7,30% 0,67 11,59% 13,10% -9,96% écart-type 0,25% 0,02 0,22% 0,28% 0,45% 5,00% 6,95% 0,65 11,16% 12,58% -10,48% 25,00% 7,22% 0,67 11,54% 13,01% -10,17% 50,00% 7,30% 0,67 11,64% 13,16% -10,02% 75,00% 7,40% 0,68 11,70% 13,26% -9,80% 95,00% 7,60% 0,70 11,80% 13,39% -9,23% Er volatilité VAR 5% Au-delà du problème d’erreurs d’estimation, La richesse de B & L : sa capacité à intéger n’importe quel type de views. Le mécanisme de B&L Évaluation des « rendements du marché » par l’optimisation inverse Prise en compte des opinions : opinion absolue : « l’actif A aura un rendement de x% » opinion relative : « l’actif A surperformera l’actif B par x points de % » Le mécanisme de B&L La nature des opinions Des intuitions d’investisseurs Des données empiriques (valeurs des rendements moyens récents) Des prévisions économétriques des rendements Un exemple (Idzorek) Portfolio 0.08% 0.67% 6.41% 4.08% 7.43% 3.70% 4.80% 6.60% Implied Equilibrium Return Vector 0.08% 0.67% 6.41% 4.08% 7.43% 3.70% 4.80% 6.60% Asset Class US Bonds Int’l Bonds US Large Growth US Large Value US Small Growth US Small Value Int’l Dev. Equity Int’l Emerg. Equity Historical 3.15% 1.75% -6.39% -2.86% -6.75% -0.54% -6.75% -5.26% CAPM CAPM GSMI 0.02% 0.18% 5.57% 3.39% 6.59% 3.16% 3.92% 5.60% Weighted Average Standard Deviation -1.97% 3.73% 2.41% 2.28% 3.00% 2.53% 3.00% 2.53% High Low 3.15% -6.75% 6.59% 0.02% 7.43% 0.08% 7.43% 0.08% Asset Class US Bonds Int’l Bonds US Large Growth US Large Value US Small Growth US Small Value Int’l Dev. Equity Int’l Emerg. Equity Weight Based on Historical 1144.32% -104.59% 54.99% -5.29% -60.52% 81.47% -104.36% 14.59% Weight Based on Weight Implied Based on Equilibrium CAPM GSMI Return wGSMI Vector 21.33% 19.34% 5.19% 26.13% 10.80% 12.09% 10.82% 12.09% 3.73% 1.34% -0.49% 1.34% 17.10% 24.18% 2.14% 3.49% Market Capitalization Weight 19.34% 26.13% 12.09% 12.09% 1.34% 1.34% 24.18% 3.49% High Low 1144.32% -104.59% 21.33% -0.49% 26.13% 1.34% 26.13% 1.34% Un exemple 3 opinions : Intern’ Developped Equity va avoir un rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%) Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%) US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%) Mise en oeuvre 5,25 1 Q 0,25 2 3 2 La matrice de covariance des erreurs des opinions 1 0 0 0 2 0 0 0 3 La matrice de « participation » Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft) P 0 -1 0 0 1 0 0 0 0,5 0 0 -0,5 0 0 0,5 0 0 -0,5 1 0 0 0 0 0 Idzorek 0 -1 0 0 1 0 0 0 0,9 0 0 -0,9 0 0 0,1 0 0 -0,1 1 0 0 0 0 0 Variances des « individual portfolio view » p1p12,836% p2p20,563% p3p33,462% ? et La solution de He & Litterman (1999) k / pkpk Numériquement : 0,025 0 0,000709 0 0 0,000141 0 0 0 0,000866 Asset Class US Bonds Int’l Bonds US Large Growth US Large Value US Small Growth US Small Value Int’l Dev. Equity Int’l Emerg. Equity New Combined Return Vector 0.07% 0.50% 6.50% 4.32% 7.59% 3.94% 4.93% 6.84% Implied Equilibrium Return Vector 0.08% 0.67% 6.41% 4.08% 7.43% 3.70% 4.80% 6.60% Difference -0.02% -0.17% 0.08% 0.24% 0.16% 0.23% 0.13% 0.24% Sum New Weight 29.88% 15.59% 9.35% 14.82% 1.04% 1.65% 27.81% 3.49% 103.63% Market Capitalization Weight 19.34% 26.13% 12.09% 12.09% 1.34% 1.34% 24.18% 3.49% 100.00% Difference 10.54% -10.54% -2.73% 2.73% -0.30% 0.30% 3.63% 0.00% 3.63% Propriété de BL: La déformation du portefeuille induit par la prise en compte des opinions dépend de l’importance relative des sur-performances (selon l’opinion et le rendement implicite) Exemple de l’opinion 3 Opinon 3 : actifs sur-performants Asset Class US Large Growth US Small Growth Market CapitalizationRelative (Billions) Weight $5,174 90.00% $575 10.00% $5,749 100.00% Implied Equilibrium Return Vector P 6.41% 7.43% Total Weighted Excess Return 5.77% 0.74% 6.52% Opinon 3 : actifs sur-performants Asset Class US Large Value US Small Value Market CapitalizationRelative (Billions) Weight $5,174 90.00% $575 10.00% $5,749 100.00% Implied Equilibrium Return Vector P 4.08% 3.70% Total Weighted Excess Return 3.67% 0.37% 4.04% Un exemple Mêmes données que précédemment L’opinion : US Equity sur-performera World Equity par 150 pts Avec une confiance de 75% Les fondements de B&L La statistique bayésienne A priori sur les paramètres + vraissemblances C. Robert La décision bayésienne Les modèles bayésiens de choix de portefeuille Scherer & McDouglas