Transcript Click here to get the file - mech

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů
APLIKOVANÁ MECHANIKA
STATIKA
Prof. Ing. Josef Jíra, CSc.
Fakulta dopravní ČVUT Praha
Na Florenci 25, Praha 1
Tel. 224 214 605
E-mail
Prof. Ing. Josef Jíra, CSc.
[email protected]
Přednáška 1.
1
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
2
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Mechanika
klasická
( Newtonova )
relativistická
( Einsteinova )
kvantová
( Planckova )
Pro technika je důležité:
● umět problém dobře fyzikálně formulovat do
matematického tvaru
● výsledek dobře fyzikálně vyložit, rozpoznat podstatné
vlivy a tomu uzpůsobit řešení daného problému.
Přednáška 1.
3
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
1. ZÁKLADNÍ POJMY
Kontinuum je spojité prostředí, jehož vlastnosti lze popsat
matematickými funkcemi.
Těleso je souvislá množina geometrických bodů v trojrozměrném
Euklidovském prostoru, tzn., že každé dva body tělesa lze spojit
čarou, jejichž všechny body patří do tělesa. Těleso má vnitřní body
(tzn., že existuje okolí, jehož všechny body patří do tělesa) a
hraniční body (jakékoli okolí má body patřící do tělesa a body,
které do tělesa nepatří ).
Přednáška 1.
4
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Prostor je geometrické kontinuum, v němž hmota existuje. Lze v
něm definovat délky [ m ] a jejich součiny.
Euklidovský prostor prostor, kde metrika je definována jako
vzdálenost dvou libovolných bodů A a B:
s

xiA

B 2
 xi
A B
kde xi , xi
jsou souřadnice bodů
v trojrozměrném prostoru.
Přednáška 1.
5
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Poloha a pohyb hmotného objektu jsou vztaženy k souřadnicovému systému
(SS). Obvyklý souřadnicový systém používaný v mechanice je pravoúhlý,
přímočarý, tzv. kartézský.
z
z
x
y
x
pravotočivý
souřadnicový systém
( obvyklý )
y
levotočivý souřadnicový
systém
Kartézský souřadnicový systém
Přednáška 1.
6
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Hmota je ve fyzikálním smyslu všechno, co podléhá základním zákonům
mechaniky. V klasické ( Newtonově ) mechanice se hmota řídí
Newtonovými zákony. Mírou množství hmoty je hmotnost ( skalár ) [ kg ].
Hmotný objekt je geometrický objekt s přiřazenou hmotností. Podle velikosti
a tvaru lze rozdělit hmotné objekty takto:
Hmotný objekt
Hmotný bod
Hmotná křivka
Hmotné těleso
bod s
přiřazenou
hmotností
geometrické body křivky
nahrazeny hmotnými body
geometrické těleso, jehož
objem je vyplněn hmotou
Přednáška 1.
7
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Dokonale tuhé těleso je hmotné těleso, které se účinkem sil nedeformuje.
Tuhá deska je hmotné těleso, jehož jeden rozměr je podstatně menší než
druhé dva rozměry. tento rozměr je tloušťka desky t<a,b. Je zvláštním
případem tuhého tělesa.
b
t
a
Čas je negeometrické kontinuum, v němž se vyskytuje hmota [ 1s ].
Přednáška 1.
8
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
SÍLA = VEKTOR
VEKTOR
• Uspořádaná trojice reálných čísel, pro kterou je definována
 rovnost,
součet a součin se skalárem. Značíme ho např. A nebo A .
• Vektor se znázorňuje úsečkou určité délky a určitého
(orientovaného) směru.
• Délkou (modulem) vektoru nazýváme jeho absolutní hodnotu
AA
• Nulové vektory mají absolutní hodnotu rovnou nule a směr neurčitý.
• Radiusvektory jsou vektory s počátečním bodem v počátku
souřadnic.
• Jednotkové vektory mají absolutní hodnotu rovnou jedné.
• Kolineární vektory jsou rovnoběžné a touž přímkou.
• Opačné vektory jsou si rovny, mají-li stejné délky a stejné
(orientované) směry.
Doc.Ing. Michal Micka, CSc.
Přednáška 1.
9
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
VYJÁDŘENÍ VEKTORU POMOCÍ SLOŽEK
z
Az
A
Ay
Ax
y
Průměty vektoru A do tří os soustavy
souřadnic x,y,z dávají vektorové složky
vektoru A, které se označují Ax, Ay, Az.
Má-li počáteční, resp. koncový bod vektoru
A souřadnice x1, y1,z1, resp. x2, y2, z2, platí
Ax  x2  x1, Ay  y2  y1, Az  z2  z1,
Čísla Ax, Ay, Az se nazývají souřadnice
vektoru A. Píšeme také
A  x2  x1, y2  y1, z2  z1   Ax , Ay , Az 
x
Obdobně pro jednotkové vektory i  1,0,0, j  0,1,0, k  0,0,1
Vektor A můžeme tedy zapsat těmito způsoby:
A  Ax , Ay , Az   Ax i  Ay j  Az k
Absolutní hodnota A  Ax2  Ay2  Az2  A (Pythagorova věta v prostoru)
Přednáška 1.
10
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
SMĚROVÉ KOSINY
Úhly, které svírá vektor A s kladnými směry os souřadnic,
dostaneme z tzv. směrových kosinů vektoru A
z
cos 
Az
cos  
A
A
cos   z
A

 A
y
Ax

Ax
A
Ay
y
Práce s vektory – viz vektorový počet
x
Přednáška 1.
11
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Axiomy statiky
A.1. Axiom o rovnováze sil
F
F
Stejně velké opačné síly
působící v jednom paprsku
Dvě síly F a  F  , které působí na
tuhé těleso v jednom paprsku, mají
stejnou velikost, ale jsou opačně
orientovány, jsou navzájem
v rovnováze (jejich účinek se ruší).
Z axiomu o rovnováze sil plyne pro
tuhá tělesa
1. Věta o posunu působiště síly:
Účinek síly na tuhé těleso se
nezmění, posune-li se její
působiště po paprsku, v němž síla
působí.
! Tato věta neplatí pro netuhá
( tvárná ) tělesa !
Přednáška 1.
12
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
A.2. Axiom o rovnoběžníku sil
Výslednicí dvou různoběžných sil F 1 a F 2 je síla R , jejíž vektor je určen
úhlopříčkou rovnoběžníku, jehož stranami jsou vektor sil F 1 a F 2 .
Grafickým znázorněním vektorového součtu sil je tzv. složkový
obrazec.
F2
R
F1
F1 
R
R
 
F1
F1
R
F2
F2
F2
Rovnoběžník sil
Složkový obrazec
- nezáleží na pořadí skládaných
vektorů
Přednáška 1.
13
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
2. ÚČINKY SÍLY A DVOJICE SIL
2.1. Statický moment síly
Definice statického momentu síly k bodu ( k momentovému středu):
Vektorový součin polohového vektoru s počátkem v bodu S a
koncem v působišti síly a vektoru síly nazveme moment síly k
bodu S.
MS  r F
Ms
r
S
r0


F
 
 S, F
Složky vektoru M S vyjádříme
pomocí rozvoje determinantu
i
M S  det rx
Fx
j
ry
Fy
k
rz
Fz
Přednáška 1.
14
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
i
M S  det rx
Fx
Ms
r
S
r0


F
 
 S, F
j
ry
Fy
k
rz
Fz
kde i, j, k jsou jednotkové vektory
ve směru souřadných os, tedy
M S  Fz ry  Fy rz  i  Fx rz  Fz rx  j  Fy rx  Fx ry  k
 M xi  M y j  M z k
Velikost M S momentu M S je
M S  r  F  sin   r0  F
Vektor M S směřuje na tu stranu, z níž se otáčení jeví kladné. Jednotkou je
[ Nm, kNm ].
Dřívější definice: Statickým momentem síly F k libovolnému bodu A
nazýváme součin velikosti síly F a kolmé vzdálenosti r0 paprsku síly od
bodu A.
Pravidlo pravé ruky (k určení směru a smyslu momentu)
Přednáška 1.
15
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Moment síly k ose (mimoběžné přímce ).
Momentová osa je mimoběžná přímka,
k níž moment vztahujeme.
O ( momentová osa )
Ms
M0
e
Velikost momentu síly k ose je
skalár, daný smíšeným součinem
jednotkového vektoru e ve
směru osy otáčení polohového
vektoru r , který má počátek
kdekoli na ose otáčení a vektoru
síly F .
F
r
r

r0




M0  e r  F

[ Nm, kNm ]
Ms
M0  e  M s  1 M s cose
resp.
M0  r  F  sin   cose  r0  F  cose
Přednáška 1.
16
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
je-li
ex
M 0  rx
Fx

e ex , e y , ez
ey
ry
Fy

jednotkový vektor, pak
ez
rz  Fz  ry  Fy  rz  ex  Fx  rz  Fz  rx   e y  Fy  rx  Fx  ry  ez 
Fz




 M ex  ex  M ey  e y  M ez  ez
Velmi často bývá výhodné vypočítat statický moment síly k bodu nebo k
ose tak, že vektor síly F rozložíme na složky Fx , Fy , Fz a sečteme jejich
momenty k ose.
Přednáška 1.
17
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Momentová věta ( Varignonova )
Statický moment soustavy sil k bodu ( k ose ) je dán
statickým momentem výslednice k témuž bodu ( k téže ose ).
Důkaz:
F i 
i  1,2 jsou 2 různoběžné síly v rovině ( mohou mít stejný průvodič ).
F1
Fr
F2
r
S
Podle axiomu o rovnoběžníku sil F r  F 1  F 2
Dle momentové věty platí
M  M1  M 2


r  F  F1  F 2  0 ,
F  F
1


 
r  F  r  F1  r  F 2
 F2  0 
r0

proto musí platit
F  F1  F 2  F r
Přednáška 1.
18
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
2.2. Dvojice sil
Dvě stejně veliké rovnoběžné síly
opačně orientované tvoří dvojici sil.
Její moment k libovolnému bodu
roviny je konstantní:
M  F h
F
S
( h = rameno sil )
Důkaz:
vyjádříme moment dvojice sil k bodu S
F
h1
h2
h
M  F  h1  F  h2  F  h1  h2   F  h
Přednáška 1.
19
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Silové dvojici lze přiřadit
vektor umístěný v libovolném bodě
roviny (tzv. volný vektor )
M D  rF
•kolmý na rovinu dvojice sil
•který má velikost M  F  h
•směřuje na tu stranu roviny, z níž
se jeho otáčení jeví kladné
h
MD
r
F
F
MD
F
F
F
F


MD
Smysl a směr vektoru dvojice sil
Dvojici sil lze přemístit do libovolné jiné roviny, která je s původní rovinou
silové dvojice rovnoběžná.
Přednáška 1.
20
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
2.3. Redukce síly k bodu
Redukcí síly rozumíme úlohu, která vyjadřuje statický účinek síly na
daný bod tělesa.
Výsledný účinek síly F na bod S ( který neleží na paprsku této
síly) je silový a momentový.
M FD
F
MS
S
F
r
F
h
Vedeme bodem S paprsek rovnoběžný
s paprskem síly a na tento paprsek
umístíme dvě síly - F a F .
Obě síly splňují axiom o rovnováze dvou
sil a původní silová soustava se vlastně
nezměnila, neboť jsme přidali nulovou
sílu.
Potom síly - F a F tvoří silovou dvojici
M FD  F  h
a zbývá síla + F s působištěm v bodu S .
Přednáška 1.
21
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Účinek síly na bod S je pak
• silový (posuvný) vyjádřený vektorem  F s působištěm v bodě S
• momentový ( otáčivý ) určený statickým momentem M S
síly F k bodu S
M s  M FD  r  F
Přednáška 1.
22
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Klasifikace silových soustav
Při vyšetřování silových účinků se používají následující termíny:
• Soustava sil - rozumíme tím seskupení sil působících na hmotný
objekt.
• Svazek sil - síly působí v paprscích, které procházejí jedním
bodem.
• Obecná soustava sil - síly leží na paprscích, které neprocházejí
jedním bodem (v prostoru např. mimoběžky).
• Soustava rovnoběžných sil - paprsky sil jsou rovnoběžné,
společný bod mají v nekonečnu.
• Rovinná soustava sil - paprsky působících sil leží v jedné rovině.
Přednáška 1.
23
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Základní úlohy řešení silových soustav
Určení výsledného účinku soustavy sil
Jedná se o nahrazení obecné soustavy sil soustavou sil
s nejmenším počtem členů.
Výsledkem skládání sil (proces nahrazování) je jediná síla,
nazýváme ji výslednicí.
Výsledkem je větší počet členů (2 mimoběžné síly), nazýváme jej
výsledný účinek soustavy.
Přednáška 1.
24
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Stanovení podmínek ekvivalence
Znamená to nalezení takových 2 silových soustav, které mají při
působení na totéž těleso stejný (ekvivalentní) účinek.
Stanovení podmínek rovnováhy
Znamená to nalezení takových 2 soustav sil, jejichž výsledný
účinek je nulový.
Tyto 3 základní úlohy se nazývají také geometrie sil.
Přednáška 1.
25
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů
GEOMETRIE SIL
ROVINNÁ SOUSTAVA SIL
SVAZEK SIL V ROVINĚ
OBECNÁ SOUSTAVA SIL V ROVINĚ
F1
y
F2
F3
0
x
F4
F3
0
F4
F1
F2
Přednáška 1.
26
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
SVAZEK SIL V ROVINĚ
Výslednice rovinného svazku sil
Svazek sil v rovině je soustava sil, které leží
ve společné rovině a protínají se v jednom
bodě. Proto nevyvozují řádný momentový
účinek.
y
Fy

0
Každá síla se rozloží pomocí
směrových kosinů do složek ve směru
souřadnicových os.
F

x
Fx
V rovině platí
Fx  F  cos
cos   sin 
Fy  F  cos   F  sin 
Přednáška 1.
27
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Složkový obrazec
F2
F3
F1
y
F4
F2
0
x
0
F1
Fr
F4
F3
Přednáška 1.
28
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Určení výslednice
y
n
Fr  Fi
F2
F1
Fi
F iy
i
i 1
 i F ix
n
Frx   Fi cos i
i 1
velikost výslednice
směrové kosiny výslednice
x
Složky výslednice ve směru
souřadnicových os dostaneme
jako součet složek jednotlivých sil
ve směru těchto os.
n
n
i 1
i 1
Fry   Fi cos  i   Fi sin  i
F r  Frx2  Fry2
Frx
cos r 
Fr
cos  r  sin  r 
Fry
Fr
Přednáška 1.
29
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Ekvivalence v rovinném svazku sil
V případě rovinného svazku sil se jedná o nahrazení známé soustavy sil
v rovině (resp. její výslednice) dvěma silami působícími v daných
paprscích protínajících se v jednom bodu. Za počátek souřadnicového
systému lze opět zvolit průsečík těchto paprsků a řešíme proto pouze
rovnost výslednic sil.
n
2
F  R
i 1
ix
j 1
n
jx
2
F  R
i 1
iy
j 1
jy
V případě rovinného svazku lze sílu rozložit jednoznačně jen do dvou
směrů.
Přednáška 1.
30
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Rovnováha v rovinném svazku
Rovinný svazek sil je v rovnováze, když její výsledný silový účinek je
nulový. Dostačují dvě součtové podmínky rovnováhy:
n
Fi cos i  0

i 1
n
Fi sin  i  0

i 1
Svazek sil, který není v rovnováze, uvedeme do rovnováhy přidáním
maximálně dvou sil. Opět v případě svazku sil pouze součtové podmínky
rovnováhy. V rovnováze sil musí být výsledný silový účinek nulový, tedy i
složky výslednice musí se rovnat nule.
n
2
F  R
i 1
ix
j 1
jx
0
n
2
F  R
i 1
iy
j 1
jy
0
Přednáška 1.
31
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL
Paprsky všech sil leží v jedné rovině, avšak obecně netvoří svazek sil, tj.
nemají společný průsečík.
Za souřadnicovou rovinu zvolíme
xy. Provede se redukce síly
v rovině k počátku souřadnic.
Výsledkem je rovnoběžně
posunutá síla tak, aby statický
moment síly k bodu 0 byl roven
y
Fi
F iy
F i
x
M 0i
0
i
i
i
F ix
M 0i  r i  F i
ri
y
x
Pro jednu sílu vyjádříme statický
moment ve složkách síly takto
M 0i  M zi  Fiy  x  Fix  y  Fi  xi cos i  yi cosi   Fi  xi sin i  yi cosi 
Přednáška 1.
32
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Určení výslednice v rovinné soustavě sil
Složky výslednice se dostanou opět jako součet složek všech sil v soustavě
a výsledný moment jako součet momentových účinků všech sil k počátku
souřadnic.
Rozepsáno ve složkách
n
Frx   Fi cos i
n
n
i 1
i 1
Fry   Fi cos  i   Fi sin  i
i 1
n
n
i 1
i 1
M 0  M z   Fi  xi cos  i  yi cos i    Fi  xi sin  i  yi cos i 
Výslednicí je
• jediná síla F r v rovině xy
• jediná silová dvojice M 0, přičemž je vektor M 0 je kolmý na rovinu xy .
Fr  F  F
2
rx
2
ry
Frx
cos 
Fr
cos   sin  
Fry
Fr
Přednáška 1.
33
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Poloha výslednice se určí ze vztahu
M 0  Fry  x  Frx  y
což odpovídá rovnici přímky
ax  by  c  0
Můžeme tedy určit dva body na osách x a y , kterými prochází přímka,
na které výslednice leží:
na ose x
na ose y
y0
x0
M0
Fry
M
y0   0
Frx
x0 
y
Fr
y0
x
0
x0
Přednáška 1.
34
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Rovnice pro výpočet výsledného účinku můžeme zapsat v maticovém
tvaru
S  AF 
i
 3,1  3,n  n ,1
kde
S 
Frx , Fry , M 0
T
cos1
.....
cos n



A  
cos 1
.....
cos  n

 x1 cos 1  y1 cos1 ..... xn cos  n  yn cos n 
Přednáška 1.
35
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Ekvivalence v obecné rovinné soustavě sil
Hledáme velikosti sil R j v daných paprscích, které jsou ekvivalentní
s výslednicí rovinné soustavy sil F r . Jsou jen 3 nezávislé podmínky
ekvivalence a proto počet neznámých je 3 a matice A je typu (3,3).
S  A R
3
kde
R  R1 , R2 , R3
T
 3,1  3,3  3,1
a inverzí
R  A3 
1
S 
s podmínkou řešitelnosti
det  A3   0
Rozepsáno ve složkách
Frx  R1 cos1  R2 cos 2  R3 cos 3
Fry  R1 sin 1  R2 sin  2  R3 sin  3
M 0  R1   x1 sin 1  y1 cos1   R2   x2 sin  2  y2 cos 2 
 R3   x3 sin  3  y3 cos 3 
Přednáška 1.
36
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Sílu v rovině lze rozložit nejvýše do 3 různoběžných směrů, které
se neprotínají v jednom bodě.
Lze zvětšovat počet momentových podmínek ekvivalence na úkor
podmínek součtových, lze tedy napsat 3 momentové podmínky, které
však musí být napsány ke 3 bodům neležícím na jedné přímce.
Přednáška 1.
37
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Rovnováha v obecné rovinné soustavě sil
Soustava rovinných obecných sil je v rovnováze, když její výsledný
silový a momentový účinek je nulový. To je splněno za podmínky, že
nulové jsou složky výslednice ve směru souřadnicových os a také
výsledný moment k počátku souřadnic je nulový.
AF   0
i
V maticovém zápisu
 3,n  n ,1  3,1
Jsou pouze 3 podmínky rovnováhy: 2 součtové ( lze je nahradit
momentovými podmínkami ) a 1 momentová:
n
Fi cos i  0

i 1
n
Fi sin  i  0

i 1
n
Fi  xi sin  i  yi cos i   0

i 1
Přednáška 1.
38