Transcript [칸토어가 들려주는 무한이야기]책의 내용

1학년 영재학급 김정윤
김정윤
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목차
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수학자 ‘칸토어’ 소개
[칸토어가 들려주는 무한이야기]책
의 내용
무한이란 무엇인가?
무한집합의 기수법1,2
‘칸토어’ 와 힐베르트 호텔문제
이 책을 읽고나서 느낀점
김정윤
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수학자 ‘칸토어’ 소개
1845~1918 독일의 수학자. J. W.
R. 데데킨트와 함께 집합론의 창
시자이다.
집합이론에 대한 기여(1878)에서
의식적으로 집합론 구성을 시도,
우선 개수개념의 확장으로서 무
한집합의 기수의 개념을 도입해
설수 전체의 가산기수와 연속체
의 기수를 구별하고, 직선 위의
점 전체와 평면 내지 n차원 유클
리드 공간의 점 전체가 다같이
연속체의 기수를 갖는다는 것을
증명했으며, 가산기수와 연속기
수의 중간에 별도의 기수가 있는
가 하는 연속체 문제를 제기했다
주요 저서로 초월적 집합론의 기
초에 대한 기여가 있다.
김정윤
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[칸토어가 들려주는 무한이야기]책의 내용
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[칸토어가 들려주는 무한 이야기]는 집합과 무한에 관한 여러
성질을 생각하기 쉬운 수학적인 예나 수학 역사 속의 이야기를
통해 재미있게 알려준다.
칸토어와 함께 이곳저곳 여행을 하거나 집, 박물관을 구경하면
서 무한집합을 차츰 알게 되고 직선과 선분, 직선과 평면의 점
의 개수가 같다는 마술 같은 무한의 성질을 깨닫게 된다.
이 과정에서 집합에 관한 개념과 기호, 대응과 함수, 수열, 극한
등 중고등학교에서 배우는 어려운 수학 개념을 알게 될 것이다.
집합에 관련된 내용을 토대로 우리가 수학 시간에 다루던 수들
을 관찰하며 무한의 성질을 탐구하다 보면 우리가 가지고 있는
생각의 힘도 무한히 커지는 것을 느낄 수 있을 것이다.
김정윤
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무한이란 무엇인가?
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무한 ( 無限) infinite, limitless, boundless,
inexhaustible
1 . 수(數), 양(量), 공간, 시간 따위에 제한이나 한계
가 없음.
<수학> 집합의 원소를 다뫼비우스의
헤아릴 띠
수모양을
없음.본떴다.
(무한대의 기호.)
김정윤
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무한집합의 기수1
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자연수는 무한집합으로, 그 기수를 (알레프 0, aleph
0) 이라한다.
김정윤
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무한집합의 기수2
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자연수 집합의 기수에 2배를 하여도 여진히 그 기수는
이다.
자연수 집합의 기수에 역시 2를 더해도 똑같이
이다.
김정윤
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무한의 원리를 이용한 문제
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지금부터 유명한 문제인 ‘힐베르트의 호텔’ 이라는
문제를 소개하겠습니다. 위에서 봤던 무한의 원리를
잘 이해했나 확인하는 의미로 한번 풀어봅시다.
김정윤
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‘칸토어’와 힐베르트의 호텔문제
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수학자 힐베르트가 호텔을 열었다.
이 호텔은 방이 자연수 개수 만큼 무한히 많았고
방이 꽉 차있었다.
김정윤
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문제1
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Q:그러던 어느날 손님이 찾아 온다. 손님은 호텔
이 꽉 차 있다는 사실을 알고 돌아서려 할때! 로
비에 있던 힐베르트는 손님을 잡는다 "손님! 저희
호텔에서 묵으실 수 있습니다“ "예? 방이 꽉 차
있는 것으로 보이는 데요?” "걱정마십시요. 제가
빈방을 만들어 보이겠습니다“
김정윤
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답
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A:그러더니 방송을 통해서 “모든 객실의 손님께
서는 다음방으로 방을 옮겨주시기 바랍니다. 1호
실은 2호실로! 2호실은 3호실로! 이렇게 한호실
씩(n)옮겨주세요.” 라고 전파 한다..그러자 신기
하게 1호실이 남는다! 새로운 손님은 1호실로 가
게 되었다.
김정윤
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문제
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Q:호텔에 이번에는 단체 관광객 무한명이 오게
되었다.이 호텔은 무한개의 방이 있는 호텔인데,
그러면 무한명의 손님은 어떻게 해야할까?
김정윤
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답
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A:힐베르트는 침착하게 다시 방송을 했다." 탁
탁 탁! 전 호실 분들에게 다시 전파 합니다. 모
든 손님들은 짝수번호(2n)의 객실로 옮겨주시
기 바랍니다“ 그리고 돌아서며 “자~ 이제 홀수
호실(2n-1)호실이 남았으니 앞에서 부터 한 분
씩 방에 들어가 주세요.” 손님도 새 손님도 당
황하며 각자의 방에 들어간다.
김정윤
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‘칸토어’의 무한이야기를 읽고..
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처음 이 책을 읽을 때, 무한이라는 개념을 집중적으로
다뤄보거나 생각해본 적이 없어서 많이 생소했다.하지
만 책속에 있는 알기 쉬운 설명들과 힐베르트의 호텔
같은 문제를 풀어보다 보니, 무한에 대해 잘 이해할수
있게 되었고, 칸토어에 대해서도 많이 알게된 유익한
시간이었다.
김정윤
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