Transcript 11. Örnek problem çözümleri 3.

FİNAL HAZIRLIK SORULARI
22.05.2014
M.FERİDUN DENGİZEK
S1. (10 puan)
Yandaki kesit alanının
Atalet momentini bulunuz.

 
 I  I1  A1 * d12  I2  A2 * d 22
bh 3 12 *123
I1 

 1728
12
12
A1  b * h  12 *12  144
d1  0
bh 3 4 * 33
I2 

3
36
36
b * h 4*3
A2 

6
2
2
d2  0

 

I  1728 144* 0   3  6 * 0   1725mm
I  I1  A1 * d12  I 2  A 2 * d 22
2
I  1725mm4
2
4

SORU 2 (10 puan)
1X1X1 cm boyutlarında bakır bir malzeme 20 kN bir kuvvet ile çekiliyor.
Çekilmeden sonra malzemenin boyu ve genişliği kaç mm olur.
Not: Bakır elastik modülü E=100,000N/mm2
Poisson oranı ν=0.30 dir.
CEVAP2
•
F=20kN=20,000N
•
A= 1X1cm2=1cm2 A=100 mm2

F
A

20,000 N
 200 N / mm 2
2
100 mm

200

 2X103
E 100,000
 L BOY   Boy * L BOY
 BOY 
 L BOY  2X103 *100mm  0.2mm
L 2 Boy  L BOY  L Boy  100 0.2  100.2mm
L 2 boy  100.2mm

 en
 en
 0.3  
 boy
2X103
 en  0.3X 2X103   en  6X10 4
L en   en XL1en  L en  6X10 4 X10
 L en  0.006mm
L 2en  L1en  L en  L 2en  10  0.006
L 2en  9.994mm
•
•
•
•
•
•
SORU 3 (10 puan)
6 metre boyunda bronz bir çubuk esnemeyecek sertlikte iki blok
arasında bulunmaktadır.
Başlangıçta 20 0C sıcaklıkta bulunan bronz çubuk ile bloklardan biri
arasında 5 mm boşluk bulunmaktadır.
Bronz çubuğun elastik modülü E=80 GPa dır
Sıcaklık kaç santigrat dereceye ulaştığında bronz çubuk kesitinde
40 MPa gerilim oluşur.
Bronz çubuğun termal genleşme katsayısı K=20X10-6 (1/0C)
CEVAP3
40MPa=40N/mm2
T * L * K  5 
F*L
 L
 5   * 
A*E
 E
6000 

 T * 6000* 20X106  5  40 *
 53
80,000

8
 T 
 66.67
6000* 20X106
T  66.67  T2  T1
 T2  T1  T
 T2  20  66.67  86.670 C
SORU 4(10 puan)
Kuvvet-Uzama diyagramı verilen ve kesit alanı A=100 mm2 olan çelik bir
malzeme F=12 kN değerinde bir kuvvet ile çekilmektedir.
Malzeme üzerinden çekme kuvveti kaldırıldıktan sonra malzemede kalan
kalıcı uzama ve gerilimleri hesaplayınız.
Önce malzemenin plastik bölgede ne kadar uzandığını buluruz
x 10  5

 x  2mm
2
5
Sonra kalıcı uzama miktarı hesaplanır
y
5
  y  6mm
12 10
 Kalıcı uzama K=7-6= 1 mm
Son olarak malzeme üzerinde ne kadar çekme kuvveti ve çekme
gerilimi kaldığı hesaplanır
z 10
  z  2kN
1 5
  res 
Fres 2,000

 20 N / mm 2
A
100
Soru 5 (20 puan)
Yukarıda verilen kirişte ortaya çıkabilecek maksimum momenti kN-m cinsinden bulunuz.
CEVAP4.
Birinci aşamada Reaksiyon kuvvetleri bulunur. Bunun için yayılı yük aşağıdaki gibi gösterilebilir.
B noktasına göre moment alırsak.
10x3+120x1=RAx2+40x0.75  RA=60 kN
ΣF=0 10+120+40=RA +RB  RB=110 kN
Reaksiyon kuvvetleri belirlendikten sonra kuvvet ve moment diyagramları çizilir
•Reaksiyon kuvvetler
belirlendikten sonra
kuvvet diyagramı çizilir.
• X ekseninin üstünde ve
altında kalan kapalı bölgelerin
alanları hesaplanır.
•Yayılı yükün x eksenini kestiği
nokta orta nokta olmayabilir. Bu
nokta hesaplanmalıdır.
x 2x

 x  0.833 m
50
70
•Moment diyagramında kapalı
alan büyüklükleri uç uca
eklenerek maksimum ve
minimum momentler belirlenir.
•Max moment mutlak değer
olarak büyük olandır.
Mmax=30kN-m
SORU 6 (10 PUAN)
Yanda görülen Elektirik motoru ile
B noktasına TB=557 N-m, C noktasına ise
TC=239 N-m tork aktarılmaktadır.
a)
b)
c)
Motor milindeki hız N=600 rpm
olduğuna göre motorun gücü kaç
KW olmalıdır.
Motor mil çapı 50 mm olduğuna göre
milde ortaya çıkacak maksimum
kesme gerilimi ne kadar olur
Motor milinde kaç derece burulma
meydana gelir.
Not: Motor mili burulma elastik modülü
G=80,000 N/mm2 dir
CEVAP 6
Önce motorun aktarması gereken toplam
(maksimum) tork bulunur
• TM+TB+TC=0
• TM=-557-239= -796N-m
• TM=796,000 N-mm
 * D 4  * 504
J

 613592mm4
32
32
a)
T( N  m) * N(rpm)
9550
796* 600
P
 50KW
9550
P  50KW
P(KW) 
b)   Tmax * R  796 ,000 * 25  32 .4 N / mm 2
J
613592
c) Toplam burulma açısını bulmak için tork
diyagramı çizilmelidir.

Ti Li
GiJi
Bu problemde iki tork bölgesi
var ve şaft çapı her iki bölge
için eşit olduğundan polar
atalet momenti J her bölge
için aynıdır

T(N-mm)
L(mm)
1
2
796,000
239,000
1,000
1,200
Ti L i
796,000*1000
239,000*1200


G i J i 80,000* 613,592 80,000* 613,592
1X106
796*1  239*1,2

80X613.6X106
   0.022radyan
   1,260
SORU 7 (10 puan)
•
7 Metre uzunluğunda dış çapı 150 mm, iç çapı 140 mm olan çelik bir
boru dikey yönde en fazla ne kadar yük kaldırır.
• Aynı boru ne kadar kısaltılırsa kaldırabileceği yük maksimum olur.
Malzemenin akma dayanımı σy=250Mpa ,Elastik modülü E=200Gpa.
Boru her iki uçta mafsallı olup dönebilir durumdadır.
CEVAP 6: Önce borunun hangi kuvvet altında burkulacağına bakalım
2 * E * I
Fcr 
K * L2
(D o4  D i4 ) (1504  1404 )
I

 5,993,078mm4
64
64
Her iki uç mafsallı (Dönebilir)  K=1
2 * E * I
 Fcr 
L2
 2 * 200,000* 5,993,078
 Fcr 
 241,400N
2
7000
 Fcr  241kN
A  (R o2  R i2 )  (752  702 )  725
  cr 
Fcr 241,400

 106 N / mm 2
A
725 
σcr<σy 250Mpa
Uzun bir elemanda σcr = σy ise kaldıracağı yük maksimum olur
 cr  y  250N / mm2  Fcr  Fy  y * A  250* 725  569kN
2 * E * I
2 * E * I
2
Fcr 
L 
2
L
Fcr
 2 * 200,000* 5,993,078
L
 4559mm
569,000
 Boru boyu 4.5 metreye düşürülür ise burkulma tehlikesi ortadan
kalkmış olacağından boru çeliğin akma dayanım noktasına kadar
yük kaldırabilir.
Aşağıdaki sistemde asılı olan 4 Tonluk yük hangi gerilimlere sebeb olur.
Bu sistem mavi şaftın dibinde A noktasında
• 4TonX3 m=4000KgfX3 m=12,000Kgf-m Tork oluşturur
• 4TonX2m=4000KgfX2 m=8,000Kgf-m Moment oluşturur.
Not: Moment mavi şaftın bağlı ucunda maksimumolup diğer uca doğru gitikçe
azalır ve sıfırlanır
Tork ise mavi şaft üzerinde boydan boya eşit şekilde etkindir
Bu Tork ve momentin oluşturduğu maksimum gerilimler
nerede ortaya çıkar.
• Moment şaftın dibinde ve
x yönünde, dış çapın üst tarafında
çekme, alt tarafında ise basma
gerilimi (σx) oluşturur.
• Tork ise dış çapta SKKP yüzeyine
paralel yönde kesme gerilimi (ζxy )
oluşturur.
PROBLEM 8: (20 puan)
Şaft çapı 150 mm, olduğuna göre şaft üstünde oluşacak
a) Asıl gerilimleri (Principal stress) .
b) Asıl gerilimlerin ortaya çıktığı düzlemin açısını
c) Maksimum ve minimum kesme gerilimlerini
Bulunuz.
T=12,000 Kgf –m.
g=10 m/sn2 kabul edilebilir
T=120,000 N-m = 120,000,000 N-mm
 * D 4  *1504
J

 49,700,978mm4
32
32
T * R 120X106 * 75
xy 

 181N / mm2
J
49,700,977
M=8,000 Kgf –m.
M=80,000 N-m = 80,000,000 N-mm
 * D 4  *1504
I

 24,850,489mm4
64
64
M * c 80X106 * 75
x 

 241N / mm2
I
24,850,489
ASIL GERİLİMLERİN BULUNMASI (PRINCIPAL STRESES)
Önce A,B noktaları işaretlenir
• σx =241 Mpa
• σy =0 Mpa
• ζxy= -181Mpa A(241,-181)
B(0,181)
OC 
x  y

2
241 0
 120.5
2
Sonra C noktası merkez alınarak mohr dairesi çizilir
R  ( x  OC) 2  xy
2
 R  (241  120 .5) 2  (181) 2  217 .5
 σ1=OC+R =120.5+217.5
 σ1=338 Mpa
 σ2=OC-R =120.5-217.5
 σ2=-97 Mpa
Asıl gerilimlerin etkin olduğu düzlem açısının (ϴ) bulunması
Sin 2 
 xy
R
181
Sin 2 
 0.83
217.5
 2  56.320
   28.16o
Asıl (principal) gerilimler normal düzlemden 280 eğik
bir düzlemda ortaya çıkarlar.
Maksimum kesme gerilimi ise asıl (principal)
gerilimlerin ortaya çıktığı düzlemden 450 eğik
düzlemde ortaya çıkar ve büyüklüğü mohr dairesinin
yarı çapına eşittir
ζmax=R=217.5Mpa
Asıl (principal) gerilimler bulunduktan sonra sıfır gerilim de
dahil edilerek gerilimler büyükten küçüğe sıralanır ve en
büyüğüne alt indis olarak 1 en küçüğüne ise alt indis olarak
3 vererek asıl gerilimler büyükten küçüğe sıralanır
 338 Mpa > 0 Mpa > -97 Mpa
σ1
> σ2 > σ3
Maksimum ve minimum gerilimlerin ters işaretli olması
nedeni ile maksimum kesme gerilimi iki boyutl mohr ile
elde edilen ile aynı olur.
Principal gerilimlerin buluduğu düzlemden 45 derece eğik
düzlemde ortaya çıkan kesme gerilimlerinin alt indisi olarak
mohr dairesi hangi alt indisli gerilimlerden geçiyorsa kalan
üçüncü gerilimin alt indisi verilir
1 
 2  3 0  (97 )

 48.5Mpa
2
2
2 
3 
1  3 338  (97 )

 217 .5Mpa
2
2
1   2 338  0

 169 Mpa
2
2