Transcript rappresenta un processo di Poisson omogeneo Processi di Poisson

Laboratorio
Processi Stocastici
Annalisa Pascarella
Processi di Poisson
Processi di Poisson
X i  exp( )
v.a. indipendenti che rappresentano il tempo intercorrente
tra il verificarsi di due eventi consecutivi
n
Sn   X i
v.a. che modellizza il tempo di arrivo dell’n-esimo evento
i 1
N (t )  max{n : sn  t}
numero eventi che occorrono fino all’istante t;
rappresenta un processo di Poisson omogeneo
( t ) k
P( N (t )  k ) 
exp( t )
k!
Processi di Poisson

Il Processo di Poisson è un processo discreto di conteggio,
continuo nel tempo



è caratterizzato da una funzione N(t), definita per t>0 e detta processo di
conteggio che rappresenta il numero degli eventi che si sono verificati nel
periodo da 0 a t
per t=0 intendiamo il momento in cui cominciamo ad osservare se gli
eventi casuali specificati si verificano o meno
N(t) è una v.a. a valori interi
come si genera una variabile di Poisson?
Simulazione

Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di
Poisson di parametro , genero variabili esponenziali di
parametro  fino a quando la loro somma non superi l’estremo
superiore. Poi conto gli eventi occorsi

campiono le variabili esponenziali Xi una alla volta e mi arresto quando
n
Sn   X i
i 1

supera l’istante T
il processo è interamente descritto dalla sequenza dei tempi di arrivo Si, dal
numero di eventi verificatesi tra 0 e gli istanti Si (il numero di eventi è una
funzione crescente che incrementa di 1 ogni qual volta si verifica un
evento)
Simulazione

Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0,T] con  = 1 e
T = 30



memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N
contenente il numero cumulativo di eventi
scrivere una function
Verificare ripetendo un numero elevato di volte la simulazione
del processo di Poisson che la v.a. N(T) ha una distribuzione di
Poisson con parametro 

usare la function poisspdf e poisscdf
Simulazione

Si può dimostrare che condizionando a N(T) = n le n v.a. Sn
sono indipendenti e uniformemente distribuite in [0, T]. Si può
sfruttare questo fatto per simulare un processo di Poisson nel
modo seguente




campionare la variabile N(T) ~ P(T)
campionare N(T) variabili indipendenti uniformi in [0,T]
ordinare i valori ottenuti al punto precedente; i valori cosi ottenuti
rappresentano un campionamento delle variabili Sn ,n = 1, …, N(t)
Utilizzare questo metodo per simulare un processo di Poisson di
parametro  = 1 in [0,30]