Transcript here - hasih pratiwi

Proses Poisson
Hasih Pratiwi
LOGO
Pendahuluan
Proses Stokastik
Rantai Markov
Rantai Markov
waktu diskrit
Rantai Markov
waktu kontinyu
Proses kelahiran
dan kematian
PROSES POISSON
2
Proses Poisson
Review
 Proses Poisson adalah proses kelahiran murni dengan
n= untuk n0 dan n=0 untuk n0
 Dari persamaan Kolmogorov backward:
P0j’(t) = P1j(t) - P0j(t)
Pij’(t) = Pi+1,j(t) - Pij(t), untuk semua i>0
diperoleh:
Pij(s) = e-s (s)j-i/(j-i)!
3
Proses Poisson
Sistematika
1. Counting process
2. Poisson process
3. Poisson point process
4. Poisson point process dimensi dua
4
Proses Poisson
Counting process
 Proses stokastik {N(t), t0} adalah counting process
jika N(t) menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi
sampai dengan t.
 Jika Tn adalah waktu antara peristiwa ke-(n-1) dan ke-n
maka {Tn, n=1,2,…} merupakan waktu antar
kedatangan (inter-arrival times).
 Sn = i=1n Ti, n1 adalah waktu kedatangan (arrival
time) peristiwa ke-n atau waktu tunggu (waiting
time) peristiwa ke-n.
 Counting process mempunyai independent
increments jika banyaknya peristiwa yang terjadi
antara waktu s dan t, N(t) – N(s), independen dari
banyaknya peristiwa yang terjadi sampai dengan s.
 Counting process mempunyai stationary increments
jika distribusi banyaknya peristiwa yang terjadi dalam
sembarang interval hanya bergantung pada panjang
interval.
5
Proses Poisson
Proses Poisson
T1
T2
T3
t
0
1
2
3
peristiwa
 Suatu fungsi dikatakan o(h) (order h atau “little oh” h)
jika
o( h )
lim
0
h 0
h
 Counting process {N(t), t0} adalah proses Poisson
dengan rate >0 jika memenuhi
1. N(0) = 0
2. {N(t), t0} mempunyai independent increments
3. {N(t), t0} mempunyai stationary increments
4. P(N(t+h)-N(t)=1) = h + o(h)
P(N(t+h)-N(t)2) = o(h)
6
Proses Poisson
Proses Poisson
 Kondisi 3 dan 4 ekuivalen dengan
banyaknya peristiwa dalam sembarang interval dengan
panjang t berdistribusi Poisson dengan rate t:
P{N(t+s) – N(s) = n} = (t)n e–t/n!, n=0,1,2,…
N(t)
Waktu antar kedatangan T1, T2, …
merup. v.r. berdistribusi
eksponensial dengan mean 1/:
P(Ti>t) = P(N(t) =0) = e-t
S1 S2
S3 S4
T1 T2 T3 T4
t
Waktu kedatangan peristiwa ke-n
(waktu tunggu peristiwa ke-n)
berdistribusi gamma
S n   i 1 Ti
n
7
Proses Poisson
Compound Poisson process
 Counting process {X(t), t  0} adalah compound Poisson
process jika
N t

X  t    Yi , t  0
i 1
dengan {N(t), t  0} adalah proses Poisson dan {Yi, i = 1,2,
…} v.r. iid dan independen dengan {N(t), t  0}.
 Dengan sifat N(t) diperoleh
E  X  t   tE Y1 
2
Var  X  t   tE Y1 
 Contoh: Misalkan klaim yang terjadi pada suatu perusahaan
asuransi berdistribusi Poisson dan Yk adalah nilai klaim ke-k.
Maka X(t) =  Yk menyatakan besarnya klaim kumulatif
sampai dengan t.
8
Proses Poisson
Proses Poisson nonhomogen
 Proses Poisson nonstasioner atau nonhomogen
dengan fungsi intensitas (t), t  0 adalah counting process
{N(t), t  0} yang memenuhi
1. N(0) = 0
2. {N(t), t0} mempunyai independent increments
3. P{N(t+h)-N(t)2} = o(h)
4. P{N(t+h)-N(t)=1} = (t)h + o(h)
9
Proses Poisson
Poisson point process
 The Law of Rare Events: Jika suatu peristiwa terjadi dalam
sejumlah kemungkinan dengan probabilitas terjadinya
peristiwa tsb kecil, maka total banyaknya peristiwa yang
terjadi mendekati distribusi Poisson
P(X=k) = k e-/k!, k=0,1,…
 Misalkan N((s,t]) merupakan v.r. banyaknya peristiwa yang
terjadi selama interval (s,t]. Maka N((s,t]) adalah Poisson
point process dengan intensitas >0 jika
1. untuk setiap m=2,3,… dan titik2 waktu t0=0<t1<t2<…<tm,
v.r. N((t0,t1]), N((t1,t2]), …, N((tm-1,tm]) independen
2. untuk s<t, v.r. N((s,t]) berdistribusi Poisson
P{N((s,t])=k} = [(t-s)]k e-(t-s)/k!, k=0,1,…
10
Proses Poisson
Poisson point process
N((a,b]) = 3
t
a
b
11
Proses Poisson
Contoh
Plot data gempa tektonik di Jawa dan Bali (BMG, 2000)
(Magnitude +: M≤5,5, ∆: 5,5<M≤6,0, o: 6,0<M≤6,5, □: M>6,5)
12
Proses Poisson
Poisson point process
 Misalkan S adalah suatu himpunan dalam ruang dimensi n
dan A keluarga subset S. Suatu point process dalam S
adalah proses stokastik N(A) yang terindeks oleh
himpunan2 A dalam A dan mempunyai nilai integer
nonnegatif {0,1,2, …}.
N(A): banyaknya titik dalam A
 Misalkan S subset real, bidang dimensi 2 atau ruang
dimensi 3, A keluarga subset S, dan untuk sembarang AA
misalkan |A| menyatakan ukuran (panjang, luas, atau
volume) A. {N(A): A A } adalah homogeneous Poisson
point process dengan intensitas >0 jika
1. untuk setiap AA , v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan
parameter |A|
2. untuk setiap koleksi berhingga {A1,A2,…,An} dari subset
S yang saling asing, v.r. N(A1), N(A2),…, N(An) independen.
13
Proses Poisson
Compound & marked Poisson process
 Misalkan X(t) proses Poisson dengan rate >0, setiap
peristiwa dalam proses Poisson berkaitan dengan variabel
random yang menyatakan nilai, biaya atau harga.
Y1, Y2, … diasumsikan v.r. independen dengan fungsi
distribusi bersama G(y) = P{Yk  y}.
Compound Poisson process adalah proses nilai kumulatif
yang didefinisikan oleh
Z(t) = k=1X(t) Yk
Marked Poisson process adalah barisan pasangan
(W1,Y1), (W2,Y2), … dengan W1, W2, … adalah waktu tunggu
atau waktu kejadian dalam proses Poisson X(t).
14
Proses Poisson
Marked Poisson process
y
Y2
Y3
Y1
t
w1
w2
w3
w4
15
w5
Proses Poisson
Data gempa: Plot magnitude vs waktu
6.8
6.5
6.2
5.9
5.6
5.3
5
1966
1971
1976
1981
1986
1991
1996
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
3
5
4
7
4
1
5
1
6
6
15
11
9
21
3
14
16
36
27
24
48
16
36
40
70
70
49
136
25
16
Proses Poisson
Poisson point process
 Misalkan =(x,y) adalah fungsi nonnegatif yang terdefinisi
pada daerah S pada bidang (x,y). Untuk setiap AS,
misalkan (A) = A (x,y) dx dy adalah volume A.
Nonhomogeneous Poisson point process dengan fungsi
intensitas (x,y) adalah point process {N(A);A S} yang
memenuhi
1. untuk setiap A S, v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan
mean (A)
2. untuk subset A1,…, Am dari S yang saling asing, v.r.
N(A1),…, N(Am) independen.
Homogeneous Poisson point process: (x,y) =  untuk
semua x, y.
17
Proses Poisson
Poisson point process
Teorema(Taylor & Karlin, 1994)
Misalkan (W1,Y1), (W2,Y2), … adalah marked Poisson
process dengan W1, W2, … adalah waktu tunggu atau
waktu kejadian dalam proses Poisson dengan rate  dan
Y1, Y2, … v.r. kontinu berdistribusi identik dan independen
dengan fungsi densitas probabilitas g(y),
maka (W1, Y1), (W2, Y2), … membentuk Poisson point
process nonhomogen dimensi dua dalam bidang (t,y).
Rata-rata banyaknya titik dalam suatu daerah A adalah
A =   A g(y) dy dt.
18
Proses Poisson
LOGO